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UNIVERSITE PARIS-SUD FACULTE DES SCIENCES D’ORSAY
MEMOIRE
 Présenté pour obtenir  LE DIPLOME D’HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN SCIENCE DE L’UNIVERSITE PARIS XI
Spécialité : Mathématiques par Laurent Fargues
Géométrie et cohomologie de certains espaces de modules p-adiques
 Soutenu le 30 novembre 2009 devant la commission d’examen :
M. Henri CARAYOL (université de Strasbourg) M. Jean-Marc FONTAINE (université Paris 11) M. Michael HARRIS (université Paris 7) M. Gérard LAUMON (Rapporteur, CNRS) M. Michael RAPOPORT (Rapporteur, université de Bonn) M. Richard TAYLOR (Rapporteur, université d'Harvard, absent)
´ ´ GEOMETRIE ET COHOMOLOGIE DE CERTAINS ESPACES DE MODULES p-ADIQUES LAURENT FARGUES
` Table des matieres 1.Espacesdemoduleslocaux:ge´n´eralit´es1 2.Re´sultatssurlacohomologiedesespacesdeRapoport-Zinkobtenuspardesm´ethodes globales 3 3. L’isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld 4 4. Description de l’isomorphisme entre les deux tours au niveau des squelettes et ramification des groupes de Lubin-Tate 9 5.Autodualite´delacohomologiedelatourdeDrinfeldsouslinvolutiondeZelevinsky18 6.Invarianceparcompl´etionformelledelaltrationdemonodromiesurlescycles evanescents 22 ´ 7.FiltrationsdeHarder-Narasimhandessche´masengroupesnisetplatsetapplication aux groupesp-divisibles 23 8. Espaces de Banach-Colmez 27 Articlespr´esent´es31 R´ef´erences31
´ ´ ´ 1.Espaces de modules locaux : generalites Dansmestravauxjemesuisint´eresse´auxespacesdemodulesdegroupesps-´dseineividlbis parRapoportetZink([22]),leurcohomologieetlare´alisationge´ome´triquedecorrespondancesde Langlandslocalesdanscesespacesdecohomologie.Commen¸consparrappelerquelquesde´nitions et notations concernant ces espaces. 1.1..noie´DtinSoitpenlcoˆutF.xinousepremierunnombrbe´glaereuqirQpdeQp. On suppose donn´euntriplet(G, b) o` , u : Gungrestepuode´ritcurusfQp – siL=W(Fp)[p1] etσAut(LnesonFrobenius,)´dsegibest une classe deσ-conjugaison dans G(L) ` :Gm−→Qpulepnuscaris`ocnuaracetcimersteG(Qpnouj)c-norpagsis.`e NotonsEaisondeedocjnguallcsaese´dedspednoitinorecl,uneexte´rgeineoisndedn ˘ deQpdansQp. On noteEmaxisionxtenele´tdelpe´cemoledee´imarnonelamEdansQp. On noteJbleσ-centralisateur debdansG(L). Il s’agit desQpreeuri´eund-poitndsuenofmrietn sous-groupedeLevidelaformeint´erieurequasid´eploy´eedeG´nodaLemaltuenenpregd´ . nnee com mode`leentierGdeG. SoitG(Zp) le sous-groupe compact ouvert deG(Qpesruq.eoLco´iss)aGest nonrami´eGnocefdtosse´reasuppuctir´edG(Zpsapesoppeme´crofiaecp´rssuneOnl.yhep)ntG nonrami´eandinclurelecasdesespacesdeLubin-TateetdeDrinfeld. Sous certaines conditions sur le triplet (G, b, ) Rapoport et Zink on construit dans [22] des espaces de modulespilntntsoisecme´eulP.´rpsida-seuquitrnscot: Date: 4 mars 2009. 1
2G´eom´etrieetcohomologiedecertainsespacesdemodulesp-adiques c Unsche´maformelMlocalement formellement de type fini sur Spf(OE˘) muni d’une action ˘ continue deJbeetdcenteddoensn´ueendeMcMc(σ)deEa`E. ˘ ˘ – Une tourJb×G(Qpinumetnairaviuqe-´)eseectndenn´eedededunedoE`aEdeE-espaces analytiques au sens de Berkovich (MK)K ou`Kparcourt les sous-groupes ouverts deG(Zp) et telle que c Man=MG(Zp) c c ou`Mane´neuqireded´esignelabreg´Mau sens des espaces analytiques de Berkovich. Rappelonsrapidementlad´enitiondecesespacesdanslecasleplussimple.Soientn, ddeux n. Soient nombres entiers tels quen1 et 0dG= GLnQp,G= GLnZp, (z) = diag(z,    , z,1,    ,1) { } dfois etbGLn(L) tel que l’isocristal (Ln, bσ) soit l’isocristal covariant d’un groupep-divisible de dimensiondet hauteurnsurFp. SoitHun groupep-divisible surFpmuni d’un isomorphisme (D(H)[p1], ϕ)(Ln, bσ) qui induit une identification Jb= End(H)×Qc On aE=QporaflmescLeemh´.Mest alors tel que siSest unW(Fp-sch)lqeeuuslre´ampest localement nilpotent c M(S) ={(H, ρ)}ou`Hest un groupep-divisible surSet ρ:H×Spec(Fp)S−→H×SS estunequasi-isoge´niedegroupesp-divisibles,Stioneduclomodusegi´dal´rantnpdeS. L’action de c c JbsurMse fait viaρet l’action deJb sur ´ i spar quasi-isoH. SurManlacoleme`tsysnaulyi gen e e´talep-adique de rangnedaTudelal´detedmatieforiveronuneL.elleseteˆverssntmeelomperano´nd c (MK)KGLn(Zp)deMano-emononsdostnboetnuspartrivialisanoitrapsleitdselarelr´epenestita dromieassocie´e(enlaforc¸ant`avivredanslesous-groupeKecis´eme.Pluspr´)tns,iKGLn(Zp) c est un sous-groupe ouvert alorsMKsuleta´ereletneseuaecsiafr´rpeMan Isom(pkZZ)n, Huniv[pk]anK ou`k +0 est tel que IdpkMn(Zp)KetHuniv´edisnglegeorpuepivisibleassoci´ela`da-c de´formationuniversellesurM. 1.2.Cohomologie.Soitre´edentieemirderrponbmnup. On noteWEle groupe de Weil deE. Lobjetprincipalauqueljemesuisint´eress´eestlesuivant.PourKoe´xgernmohogilodearcolae ´etaleapeine´deuqellevikoerrBmidilarVuq`ea-idacttcompportasupch Hc(MKˆCp,Q)Celle-ci est une munie d’une action deJb×WEnde`oaluoitcJt lisse de type fini (je renvoie ` bes a math`ese[F2]pourlesproprie´te´sdebasedecesrepr´esentationsquisontde´duitesdediversr´esultat deBerkovichpourlage´ome´trieetdeBernsteinpourlathe´oriedesrepresentations). ´ Bienquelarepre´sentationdeJb,epr´ec´edentHc(MKˆCp,Q), soit de type fini elle n’est pas enge´n´eraldelongueurniei.e.nestpasadmissible. AndeconstruiredescorrespondancesdeLanglandsjairegarde´laconstructionsuivante.Soit πledeunatnenoitperese´rdu´eibctsslirreiJb`aciencoesnstadQsoneris´dC.no lim ExtJHc(MK, π−→bˆCp,Q) K