Université Pierre et Marie Curie Master 1 - Mathématiques-Section ...

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Université Pierre et Marie Curie Master 1 - Mathématiques-Section ...

Sujets

• mathématiques
• mathématique

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• Publié par: yhafutup
• Nombre de lectures: 305
• Langue: Français

Extrait

UniversitePierreetMarieCurie Master1-Mathematiques-SectionB ProbabilitesApprofondies

Serie Esperances

 d’exercices N 3 et lois conditionnelles

Annee2008-2009

Exercice 1 (Questions de cours) Soient ( ,A, Porabdepepscau)ente,biliAun evenement etXune v.a.r. positive,resp.integrable. c 1) SoitB∈ Atel que l’on aitP(B)>0 etP(B)>0. On introduit la sous-tribu c BdeA:rapeinedB={ ,∅, B, B). Donner c -lesprobabilitesconditionnellesdeAsachantB, deAsachantB. -laprobabiliteconditionnelledeAsachantB. c -l’esperanceconditionnelledeXsachantB, deXsachantB. -l’esperanceconditionnelledeXsachantB. 2) Soit (B 1 , B 2 , . . . , B k , . . .e ndnsda)unepartitiondenmorbbaelneiuoonA telle que lesP(B 1 ), P(B 2 ), . . . , P(B k ), . . .soient>0. On introduit la sous-tribu BdeAusti(elaarepedrenngeB 1 , B 2 , . . . , B k , . . .). Donner -laprobabiliteconditionnelledeAsachantB. -l’esperanceconditionnelledeXsachantB. 3) SoitYuen.rid.v.alavssruerscepetnarelenty 1 , y 2 , . . . , y k , . . .Donner -laprobabiliteconditionnelledeAsachantY. -l’esperanceconditionnelledeXsachantY.

Exercice 2 Soient ( ,A, Pcepaprde)esune,bobalitiXetYdes v.a.r.,Tunev.a.ava- d leursRetBune sous-tribu deAsesepothnd-oe,irue.Qutpeevreyh’dsuosser convenables,desesperancesconditionnellessuivantes: d a)E(f(T)|T) avecf:R→Rborelienne ; b)E(X|T) avecX (T)-mesurable,E(X|B) avecXB-mesurable ; c)E(X Y|T) avecX (T)-mesurable,E(X Y|B) avecXB-mesurable ; d)E(X|T) quandXetTnitnpedos,endantesE(X|B) quandXetBsont independantes; e)E(E(X|T)),E(E(X|B)). Exercice 3 SoitA’dnuemtneennveirteuubF mceidunne’uobprsnuruapsebalitieP etGune sous-tribu deF.OncredisnoeB={ω:E(1I A | G)(ω)6= 0}montrer queABuremuesˆent.erqsp,

Exercice 4: SoitXnev.uru (insede.a.r,F, Pnteirarec)dteelbageGune sous-tribu de 2 2 F. Que peut-on dire deXsi (E(X| G)) =E(X| G) ?

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