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L IMAGE DU PRODUIT  
Caractériser les solutions d’une équation fonctionnelle classique.  Dérivabilité. Dérivabilité de la fonction composée. Notion de primitive.  
 
   Objectif Outils     Caractériser les fonctions vérifiant la rela f t(i x o y n)  = f  ( x ) + f  ( y ).      A. Soit f une fonction définie sur R et vérifiant : « pour tous réels x et y , f ( xy ) =  f ( x ) +  f ( y ) ». Montrer que f ( 0 ) =  0 et que f est la fonction nulle.  B. Soit f  une fonction définie et dérivable sur ] 0 +   [  et vérifiant : « pour tous réels x  et y ,  f ( xy ) =  f ( x ) +  f ( y ) ».   1. Montrer que f ( 1 ) =  0.  2. Soit  y  ] 0 +   [,  y fixé. Montrer que les fonctions h : x  6  f ( x ) +  f ( y ) et g :  x  6   f ( xy ) sont dérivables sur ] 0 +   [ et que, pour tout x  ] 0 +   [, y f ’ ( xy ) = f ’ ( x ). 3. En déduire que, pour tout y  ] 0 +   [, f '( y ) = f '(1) (prendre x  = 1 ) . y  Conclusion : En posant k =  f ’ ( 1 ), on a : pour tout y  ] 0 +   [, f '( y ) = k . Autrement dit, f est la y primitive sur ] 0 +   [ de la fonction y 6 k qui s’annule en 1. y  C. Réciproquement, soit k un réel et f une fonction définie et dérivable sur ] 0 +   [ telle que f ( 1 ) = 0  et, pour tout x  ] 0 +   [ , f '( x ) = k . 1. Soit y  ] 0 +   [ , y fixé. Montrer que les fonctions f et h : x  6  f ( xy ) ont la même dérivée.  2. En déduire qu’il existe un réel C tel que, pour tout x  ] 0 +   [, f ( xy ) = f ( x ) + C .  3. Montrer que C = f ( y ).  Conclusion : La primitive, sur ] 0 +   [ , de x 6 k qui s’annule en 1 vérifie : pour tous réels x et y  de ] 0 +   [ , f ( xy ) =   f ( x ) +   f ( y ).
VIII – Problèmes de synthèse L’image du produit
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