DEA de mathematiques “Algebre categorielle” decembre

Description

DEA de mathematiques 02-03, “Algebre categorielle” 19 decembre 2002 Examen Duree : 3 heures Les deux problemes sont independants. On tiendra le plus grand compte de la redaction. Probleme I 1. Soient C une categorie, A?, A, B et C des objets de C, f, g une paire de morphismes de A? dans A, enfin q1 : A? B et q2 : B ? C des morphismes. 1.a Montrer que si q2 est un epimorphisme et si la composee q2q1 est un coegalisateur de la paire (f, g) alors q2 est un coegalisateur de la paire (q1f, q1g). 1.b. Montrer que si q2q1 est un epimorphisme alors q2 est un epimorphisme. 1.c. Deduire de (a) et de (b) que si q2q1 est un epimorphisme regulier alors q2 est un epimorphisme regulier. 2. On suppose que C possede un generateur P , c'est-a-dire un objet P tel que pour toute paire de morphismes distincts f, g : A? ?? A, il existe un morphisme ? : P ? A? tel que f? 6= g?. On suppose de plus que pour tout ensemble E, le coproduit unionsqEP de la famille d'objets de C indexee par E constante egale a P existe dans C. 2.a.

• c0 ?


• complexe de ab


• equivalence d'homotopie


• categorie


• morphisme


• relation d'homotopie entre mor- phismes


• c1 ???

Sujets

• Catégorie
• Morphisme

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 décembre 2002
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Français

Extrait

DEAdemath´ematiques02-03,“Alge`brecat´egorielle”19de´cembre2002 Examen Dur´ee:3heures Lesdeuxprobl`emessontind´ependants.Ontiendraleplusgrandcomptedelar´edaction. Proble`meI

0 1.SoientC,egt´ieorucaneA,A,BetCdes objets deC,f, gune paire de morphismes 0 deAdansA, enfinq 1 :A→Betq 2 :B→Cdes morphismes. 1.aMontrer que siq 2 s´poomaceeipomprihmseestliestun´eq 2 q 1 ge´ocnutuetasilardees la paire (f, g) alorsq 2 (reledriapasilauetase´ogeutcnq 1 f, q 1 g). 1.b.Montrer que siq 2 q 1 imorphisestun´epsrolaemq 2 e.smhirpmopie´nutse 1.c.iquese(b)e)dteda(iuer´Ddeq 2 q 1 peismtoun´esmerrphiilree´ugslaroq 2 est un ´epimorphismere´gulier.

2.On suppose queCposs`eednu´gnee´aretruPc’,t-es-d`aeuirjbontePtel que pour toute 0 0 paire de morphismes distinctsf, g:A → A, il existe un morphismeϕ:P→Atel que f ϕ6=gϕ. Onsuppose de plus que pour tout ensembleE, le coproduitt E Pde la famille d’objets deCparee´xedniEala`econse´egtantPexiste dansC. 2.a.Soitf:A→Bun morphisme.Montrer que si Hom C (P, f) : Hom C (P, A)→ Hom C (P, B) est injective alorsfest un monomorphisme. 2.b.Montrer que pour tout objetAdeCle morphisme canoniquep A :t Hom C (P,A) P→A estun´epimorphisme. (On rappelle quep A eihmsdenotselomprtiic`aonartltresetnaocalsopmPdnieparex´e ϕ∈Hom C (P, A) est le morphismeϕ.) 2.c.uetqdiOnruetare´ne´gelPts´rgelueisrpiuoretoutobjetAdeCle morphismep A estun´epimorphismer´egulier. Supposons quePtiosteestrlier´egufun morphismeA→Bque si Hom. Montrer C (P, f) : Hom C (P, A)→Hom C (P, B) est surjective alorsfpemirohpseut´nr.ieulegr´meis (Onpourrae´crirep B )..1)ces(ritileeutos´ecompeunecomm 2.d..a(2td)e2.e(quc)´DiudeederlefenotcueHrmo C (P,−) :C → Eseletnsd´etec isomorphismes.

Probl`emeII

1.SoientC,uorie´tgeenacIessmhirpeuxloaededergmo´reiceatf´oseome1dt0stejbte d 0 ,d 1 : 1→0 ets: 0→auisxselsulp(1esidentimorphismed)1osmu´tde0ete I relationsd 0 s= id 0 =d 1 s. Onappelle 1-complexe deCeirogjetdunobat´eelacC → desI-diagrammes deCnote. OnC 1 ← C 0 un tel objet et on note encored 0 , d 1 , sles → morphismes deC 1 dansC 0 et deC 0 dansC 1 qui le constituent.