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DEA de mathematiques “Algebre categorielle” decembre

3 pages
DEA de mathematiques 02-03, “Algebre categorielle” 19 decembre 2002 Examen Duree : 3 heures Les deux problemes sont independants. On tiendra le plus grand compte de la redaction. Probleme I 1. Soient C une categorie, A?, A, B et C des objets de C, f, g une paire de morphismes de A? dans A, enfin q1 : A? B et q2 : B ? C des morphismes. 1.a Montrer que si q2 est un epimorphisme et si la composee q2q1 est un coegalisateur de la paire (f, g) alors q2 est un coegalisateur de la paire (q1f, q1g). 1.b. Montrer que si q2q1 est un epimorphisme alors q2 est un epimorphisme. 1.c. Deduire de (a) et de (b) que si q2q1 est un epimorphisme regulier alors q2 est un epimorphisme regulier. 2. On suppose que C possede un generateur P , c'est-a-dire un objet P tel que pour toute paire de morphismes distincts f, g : A? ?? A, il existe un morphisme ? : P ? A? tel que f? 6= g?. On suppose de plus que pour tout ensemble E, le coproduit unionsqEP de la famille d'objets de C indexee par E constante egale a P existe dans C. 2.a.

  • c0 ?

  • complexe de ab

  • equivalence d'homotopie

  • categorie

  • morphisme

  • relation d'homotopie entre mor- phismes

  • c1 ???


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DEAdemath´ematiques02-03,Alge`brecat´egorielle19de´cembre2002 Examen Dur´ee:3heures Lesdeuxprobl`emessontind´ependants.Ontiendraleplusgrandcomptedelar´edaction. Proble`meI
0 1.SoientC,egt´ieorucaneA,A,BetCdes objets deC,f, gune paire de morphismes 0 deAdansA, enfinq1:ABetq2:BCdes morphismes. 1.aMontrer que siq2s´poomaceeipomprihmseestliestun´eq2q1ge´ocnutuetasilardees la paire (f, g) alorsq2(reledriapasilauetase´ogeutcnq1f, q1g). 1.b.Montrer que siq2q1imorphisestun´epsrolaemq2e.smhirpmopie´nutse 1.c.iquese(b)e)dteda(iuer´Ddeq2q1peismtoun´esmerrphiilree´ugslaroq2est un ´epimorphismere´gulier.
2.On suppose queCposs`eednu´gnee´aretruPc,t-es-d`aeuirjbontePtel que pour toute 0 0 paire de morphismes distinctsf, g:AA, il existe un morphismeϕ:PAtel que f ϕ6=. Onsuppose de plus que pour tout ensembleE, le coproduittEPde la famille d’objets deCparee´xedniEala`econse´egtantPexiste dansC. 2.a.Soitf:ABun morphisme.Montrer que si HomC(P, f) : HomC(P, A)HomC(P, B) est injective alorsfest un monomorphisme. 2.b.Montrer que pour tout objetAdeCle morphisme canoniquepA:tHomC(P,A)PA estun´epimorphisme. (On rappelle quepAeihmsdenotselomprtiic`aonartltresetnaocalsopmPdnieparex´e ϕHomC(P, A) est le morphismeϕ.) 2.c.uetqdiOnruetare´ne´gelPts´rgelueisrpiuoretoutobjetAdeCle morphismepA estun´epimorphismer´egulier. Supposons quePtiosteestrlier´egufun morphismeABque si Hom. MontrerC(P, f) : HomC(P, A)HomC(P, B) est surjective alorsfpemirohpseut´nr.ieulegr´meis (Onpourrae´crirepB)..1)ces(ritileeutos´ecompeunecomm 2.d..a(2td)e2.e(quc)´DiudeederlefenotcueHrmoC(P,) :C → Eseletnsd´etec isomorphismes.
Probl`emeII
1.SoientC,uorie´tgeenacIessmhirpeuxloaededergmo´reiceatf´oseome1dt0stejbte d0,d1: 10 ets: 0auisxselsulp(1esidentimorphismed)1osmu´tde0ete I relationsd0s= id0=d1s. Onappelle 1-complexe deCeirogjetdunobat´eelacC desI-diagrammes deCnote. OnC1C0un tel objet et on note encored0, d1, sles morphismes deC1dansC0et deC0dansC1qui le constituent.
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