Definition Soit K un corps algebriquement clos de caracteristique et X une variete affine sur K On suppose que l'algebre de affine K X est une algebre de type finie non necessairement integre ni reduite Soit G un groupe reductif i e un groupe algebrique affine dont le radical unipotent est reduit a l'element neutre On suppose que G opere sur X morphiquement i e l'action G X X g x g x est un morphisme de varietes

Description

Slices Etales 1 Preliminaire 1.1 Definition Soit K un corps algebriquement clos de caracteristique 0 et X une variete affine sur K. On suppose que l'algebre de affine K[X] est une algebre de type finie non necessairement integre ni reduite. Soit G un groupe reductif, i.e., un groupe algebrique affine dont le radical unipotent est reduit a l'element neutre. On suppose que G opere sur X morphiquement, i.e., l'action ? : G?X ?? X; (g, x) 7? g.x est un morphisme de varietes. Fait 1.1. Sous l'hypothese ci-dessus, on a 1. K[X]G ? K[X] est un type fini sur K. ? On peut definir un quotient ‘X/G?: la variete affine K[‘X/G?] = K[X]G. L'inclusion K[X]G ?? K[X] induit un morphisme piX : X ? ‘X/G?. 2. Pour tout ideal b de K[X]G, on a (K[X]b)G = b. ? piX : surjectif. 3. a1, a2 ? K[X] ideals G-stables tels que a1 + a2 = K[X]. Alors, on a aG1 + aG2 = K[X]G.

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Sujets

• Morphisme

Informations

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Extrait

Slices Etales
1 Pr´eliminaire
1.1 D´efinition
SoitK un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique 0 et X une vari´et´e affine surK.
On suppose que l’alg`ebre de affineK[X] est une alg`ebre de type finie non n´ecessairement
int`egre ni r´eduite.
Soit G un groupe r´eductif, i.e., un groupe alg´ebrique affine dont le radical unipotent est
r´eduit `a l’´el´ement neutre. On suppose que G op`ere sur X morphiquement, i.e., l’action
σ :G×X −→X; (g,x)7!g.x est un morphisme de vari´et´es.
Fait 1.1. Sous l’hypoth`ese ci-dessus, on a
G1. K[X] ⊂K[X] est un type fini surK.
0 0 G→ On peut d´efinir un quotient ‘X/G: la vari´et´e affineK[‘X/G] =K[X] .
G 0L’inclusionK[X] ,→K[X] induit un morphisme π :X → ‘X/G.X
G G2. Pour tout id`eal b deK[X] , on a (K[X]b) = b. → π : surjectif.X
3. a ,a ⊂K[X] id´eals G-stables tels que a +a =K[X].1 2 1 2
G G GAlors, on a a +a =K[X] .1 2
→ Les invariants s´eparent les ferm´es G-stables disjoints.
0Soit ξ∈ ‘X/G.
¡1Par2.,π (ξ)estnon-vide, ferm´eetG-stable. Donc, touteorbitededimensionminimalex
¡1dans π (ξ) est ferm´ee dans X.
X
¡1Par 3., π (ξ) contient unique orbite ferm´ee, que l’on note par T(ξ).x
¡1 0En particulier, pour tout x ∈ π (ξ), on a G(x) ⊃ T(ξ), ce qui signifie que ‘X/GX
param`etre les G-orbites ferm´ees de X.
0Remarque 1.1. 1. Le quotient ‘X/G est un quotient cat´egorique, i.e., pour tout
morphismeψ :X →Z tel queψ◦σ =ψ◦pr , ou` pr :G×X →X est la projection2 2
0canonique, il existe un seul morphisme χ : ‘X/G →Z tel que ψ =χ◦π .X
02. Comme on suppose que car.K = 0, ce quotient Y := ‘X/G est universel, i.e., pour
0 0 0 0tout morphisme Y →Y, Y est le quotient cat´egorique de X :=X× Y par G.Y
0Pour cette raison, on souvent ´ecrit X//G au lieu de ‘X/G.
0D’ici, on ´ecrit X/G au lieu de ‘X/G. Pour le d´etail, voir [Mum].
Soient Y une autre G-vari´et´e affine et ϕ : X −→ Y un G-morphisme. Il induit le
moprhisme ϕ/G :X/G−→Y/G tel que π ◦ϕ = (ϕ/G)◦π .Y X
11.2 Th´eor`eme de Matsushima ( )
Soit X une vari´et´e affine sur laquelle un groupe r´eductif G op`ere. Soit x∈X un point.
Proposition 1.1. Si l’orbite G(x) est ferm´ee, le groupe d’isotropie G est r´eductif.x
Ici, on montrera cette proposition, en admettant le lemma suivant:
Lemme 1.2. Soit G un groupe r´eductif et D⊂G un sous-groupe alg´ebrique, isomorphe
∼au groupe additif G =K. Alors, il existe un sous-groupe alg´ebrique simple S ⊂ G dea
dimension 3, qui contient D.
(OnremarquequeS estisomorphe`aSL(2,K)ouPSL(2,K).) Ceciestunecons´equence
du Lemme de Jacobson-Morozov:
Soit g une alg`ebre de Lie simple de dimension finie sur K. Soit x ∈ g
nilpotent. Alors, il existe un morphisme d’alg`ebres de Lie ϕ : sl (K) −→ g2?? ¶¶
0 1
tel que ϕ =x.
0 0
Remarque 1.2. Le lemme de Jacobson-Morozov est valable pour un corps de car-
act´eristique > 3(h−1), ou` h est le num´ero de Coxeter.
D´emonstration( de Prop.) On sait qu’il existe un espace vectoriel de dimension finie
surK tel que
1. G op`ere sur M lin´eairement,
2. ∃X ,→M: immersion ferm´ee G-´equivariante.
(Voir,e.g.,[Bo],pourlad´emonstration.) Donc,ilsuffitded´emontrerpourunerepr´esentation
lin´eaire G,→GL(M).
Supposons que le radical unipotent R ⊂ G est non-trivial. Alors, il existe un sous-x x
∼groupe D⊂ R alg´ebrique tel que D =G . Par le Lemme 1.2, il existe un sous-groupex a
alg´ebrique simple S ⊂G de dimension 3 qui contient D.
Soit ϕ :SL(2,K)−→S un isomorphisme ou un revˆetement `a deux-feuillle tel que
fl ‰? ¶ ¶
fl1 β flϕ β ∈K =D.fl0 1
On d´ecompose M en une somme directe
fl‰ ? ¶ ?M fl α 0 iflM = M, M = m∈M .m =αm .i i ¡1fl 0 α
i2Z
P
Soit x = x ∈ M la d´ecomposition de x suivant les M . Comme D ⊂ G , i.e.,i i xi? ¶
1 β
.x =x, on a x = 0 pour i< 0. Posonsi
0 1
‰? ¶fl ¶
flα 0 ⁄flT :=ϕ α∈K .¡1 fl0 α
2
?aP
i ⁄Par d´efinition, on a T(x) = { αx|α ∈ K } qui implique x ∈ T(x). Commei 0i‚0
G(x) est suppos´e d’ˆetre ferm´ee, on voit que x ∈ G(x). Par d´efinition, on a T ⊂ G .0 x0? ¶ ? ¶ ? ¶
1 β 0 1 0 1
Diff´erentiant .x = x, on obtient .x = 0, en particulier, .x = 0,0
0 1 0 0 0 0
i.e., D⊂G . Ceci implique queKx est un module trivial sur SL(2,K), i.e., S ⊂G .x 0 x0 0
L’ensemble U := {sx |s ∈ G t.q. dim(S ∩ R ) = 0} est un voisinage de x dans0 sx 00
G(x ) =G(x). Comme, x ∈ T(x), il existe t∈T tel que tx∈U, i.e., dim(S∩R ) = 0.0 0 tx
¡1 ¡1Mais, T normalise D, i.e., D =tDt ⊂tR t =R , ce qui est absurde ! 2x tx
1.3 Fibr´es
Ici, on rappelle la d´efinition du syst`eme fibr´e au sens ´etale. La r´ef´erence fondamentale
est [Ser].
A la topologie alg´ebrique, par exemple, un revˆetement non-ramifi´e ou un espace
homog`ene ne sont pas localement trivial, donc, ils ne sont des espaces fibr´es dans le sens
de A. Weil. C’est la raison pour laquelle on veut g´en´eraliser la notion de ’espaces fibr´es’,
comme ci-dessous.
Soit X,Y vari´et´es alg´ebriques et π :Y →X un morphisme de vari´et´es alg´ebqirues.
D´efinition 1.1. Y est un revˆetement de X, s’il existe un recouvrement ouvert affine
¡1{X} de X tel que, pour tout i, 1) Y := π (X ) soit affine et que 2) K[Y ] soit uni i i i
K[X ]-module de type fini.i
C’est ´equivalent de dire que π est un morphisme propre et que les fibres sont finies.
On d´esigne le faisceau structural de X (resp. Y) parO (resp. O ).X Y
D´efinition 1.2. Soit π :Y →X est un revˆetement.
1. π estnon-ramifi´eeny, unpointayantpourl’imagex =π(y), sil’homomorphisme
b b b bπb :O −→O est un isomorphisme. (Ici, O (resp. O ) est la compl´etionX,x Y,y X,x Y,y
de l’anneau des germesO (resp. O ) par les puissances de son id´eal maximal.)X,x Y,y
2. π est non-ramifi´e en x ∈ X si π est non-ramifi´e en tout point dans la fibre
¡1π (x)⊂Y.
3. π est non-ramifi´e s’il est non-ramifi´e en tout point.
SoitP une vari´et´e alg´ebrique sur laquelle un groupe alg´ebriqueG op`ere `a droite. Soit
X une autre vari´et´e alg´ et π :P →X un morphisme.
D´efinition 1.3. 1. (G,P,X) est un syst`eme fibr´e siπ(x.g) =π(x) pour toutx∈P
et g∈G.
2. (G,P,X) est isotrivial (ou trivial au sens ´etale) s’il existe un revˆetement non-
0 ⁄ 0ramifi´e f :X →X tel que f P =X × P est trivial.X
3. (G,P,X) est localement isotrivial si tout x ∈ X poss`ede un voisinage U au-
dessus duquel P est isotrivial. Un syst`eme fibr´e (G,P,X) est aussi applel´e un
espace fibr´e principal de base X et de groupe G.
3Remarque 1.3. Soit (G,P,X) un syst`eme fibr´e. Pour qu’il soit localement isotrivial,
il faut et il suffit que le syst`eme satisfasse les conditions suivantes:
1. G op`ere sur P librement,
2. Pour tout x ∈ X, il existe un voisinage U ⊂ X de x, un revˆetement non-ramifi´e
0 0f :U →U et un morphisme s :U →P tels que π◦s =f.
Voici des exemples:
Exemple 1.1. 1. Soit X une vari´et´e alg´ebrique sur laquelle un groupe fini G op`ere
sans points fix´e, i.e., G = {e} pour tout x ∈ X. Alors, X → X/G est unx
∼revˆetement non-ramifi´e et localement isotrivial. En faite, on a X× X G×X.=X/G
2. Soient G un groupe alg´ebrique et H ⊂ G un sous-groupe alg´ebrique ferm´e. Alors,
(H,G,G/H) est un espace principal de base X = G/H et de groupe H. En faite,
0 0 0 0soit G le composante connexe de l’´el´ement neutre de G et H =G ∩H, et X :=
0 0 0 0 0G /H . Alors, les vari´et´es G et X sont irr´eductibles, et X est la composante
0 0connexe de l’´el´ement origine de X. On sait que l’extension K(G )/K(X ) des
corps de fonctions rationelles est s´eparable; il s’ensuit qu’il existe une sous-vari´et´e
0 0irr´eductibleY deG , de mˆeme dimension queX, et telle que la projectionY →X
d´efinisse une extension finie s´eparable. Donc, il existe un ouvert non vide U ⊂X
dont l’image r´eciproque V ⊂Y constitue un revˆetement non-ramifi´e. La deuxi`eme
propri´et´e de la Remarque 1.3 est satisfaite au-dessus de U. Par translation, on en
d´eduit qu’elle est v´erifi´ee partout.
Soit Y une vari´et´e affine sur laquelle un groupe r´eductif H op`ere. Soit G un groupe
r´eductif qui contient H comme un sous-groupe alg´ebrique. Le groupe H op`ere `a droite
¡1 Hsur G×Y par (g,y).h = (gh,h .y). On note le quotient de G×Y/H par G× Y.
0 HLemme 1.3. SoitX une sous-vari´et´e ferm´ee G-stable de X =G× Y. Alors, il existe
0 0 H 0∼une sous-vari´et´e ferm´ee Y H-stable telle que X G× Y .=
0 H 0D´emonstration Soient a ⊂ (K[G]⊗K[Y]) l’id´eal associ´e `a X et a ⊂K[G]⊗K[Y]
0l’id´eal engendr´e par a. Soit b ⊂K[Y] l’id´eal des f ∈K[Y] tel que 1⊗f ∈ a. Comme
1⊗b = a∩1⊗K[Y], on a 1) H.b⊂ b, 2) a =K[G]⊗b.
0 0Soit Y ⊂Y la sous-vari´et´e affine telle queK[Y ] =K[Y]/b. Par d´efinition, on a la suite
exacte
00−→ a =K[G]⊗b−→K[G]⊗K[Y]−→K[G]⊗K[Y ]−→ 0.
HCommeH estr´ed