Definitions Exemples Le gain en utilisant les matrices structurees

Houssam Khalil Bernard Mourrain &Michelle Schatzman

Description

Definitions&Exemples Le gain en utilisant les matrices structurees Relation entre matrices de Toeplitz et syzygies Matrices de Toeplitz par blocs Toeplitz (TBT) Matrices structurees Matrices de Toeplitz par blocs Toeplitz. Houssam KHALIL Bernard Mourrain &Michelle Schatzman Universite Lyon1&INRIA Sophia Antipolis JMS, Limoges, 19/01/06 Houssam KHALIL Matrices structurees

• t1 t0


• t?1 tn?1


• relation entre matrices de toeplitz


• h0 h1


• resolution des systemes lineaires


• matrices de toeplitz par blocs toeplitz

Sujets

• Antipolis
• 17764 Schatzman

Informations

• Publié par: pefav
• Nombre de lectures: 61
• Langue: Français

Extrait

D´efinitions&Exepmel L s geiaenunitsalilentatsmcerirtssutcuee´r leR s nentatiotricremaoTpeseedteysilzt Ma esgizy deesictrztilpeoTscolbrapT(TB)oTpeilzt asKmAHILMLtairecHous

JMS, Limoges, 19/01/06

Univ´ersit´eLyon1&INRIASophiaAntipolis

tuuctrss

Matricesstructur´ees Matrices de Toeplitz par blocs Toeplitz.

Houssam KHALIL Bernard Mourrain &Michelle Schatzman

seer´

snE&tioiel L sexpm´efinD ssceuctrsmleriatilittnasiageunen icesdeTontrematrletaoien ut´ree R s liepTodeesictrMa seigyzysteztilpe BT)tz(TpeilscoTbrolztap ssuoHKmaHesicrustILALtrMa

D´efinitions&Exemples

es´eurct

Legainenutilisantlesmatricesstructure´es Multipplication rapide R´esolutiondessyste`meslin´eaires

1

Relation entre matrices de Toeplitz et syzygies

2

4

3

Matrices de Toeplitz par blocs Toeplitz (TBT) Gen´eralisationducasscalaire ´ TBT et syzygies

i t j− T:(= 2 . aM i ) j, edeHtricl:H=anke ,i ) j+i h( irtaM 3 . j ndVadeceeVndmoer xElpme M 1 se riatdeceepTotzli

2

Matrices truct ´ s urees Une matriceAde taillen×ntur´eeesstiditestruc: 1 peneddeleel´dO(nntieals`)cfficoealpaedecn 2 coefficients. Cescoefficientssontdistribu´eesd’unemani`erequinous permet de travailler ”simplement” avec cette matrice.

es´eurctru :yhc 1 (=CdeciuaCe j 4 i, trMa x j =( i ) −1 rtcisetsHKLALIaM j Houssam x i −y j ) i, rtcisetsurtcrue´enutilisantlesma xE&slpme eL se niag D´niefionti zparpliteToecesdtair ei M szygyezstitploeeTsdceriatmertnenoitaleR se T)tilpBT(zcolbeoTs

laRe es´e trenonti secirtamrutcurts tsyzitzes Mat ygieirecmetaeolpdsTe efiD´tini inenutilisantles no&sxEmelpse eLag T)TBitzpoeplsdeTriceti(zeolpcoTsralb Huossurctrust

Exemples 1 Matrice de Toeplitz :T= (t i−j ) i,j . 2 Matrice de Hankel :H= (h i+j ) i,j . 3 Matrice de VandermondeV= (x i j−1 ) i,j 4 Matrice de Cauchy :C= ( x i 1 −y j ) i,j

Matricesstructure´es Une matriceAde taillen×nes:sicuut´reedttisert 1 epd´ddenleeleO(naleclapaedeicffi`stneoc)n 2 coefficients. 2 eruqniuosnosstneibirtsidt’usdeeu´`enimaneoefficCesc permet de travailler ”simplement” avec cette matrice.

es´eLILAHKmasecirtaM

mples Leg ions&ExeDe´nfiti trsstuucatsmceriasileltneniaitun ToepesdetricremaentntaoiR s le ´ree tzliepTodeesictraM seigyzysteztil rbpacsloepTotzliTBT() ssuoH

Toeplitz,T= (t i−j ) i,j  t t 0 t t −1 0 . . . . . . t −n . +1  1   t n . −1 . . . . . . . t . 1 . t t −1 0  

tsurtcrue´se

Vandermonde,V= (x i j−1 ) i,j  1 1 x x 2 1 ... ... x x 1 2 n n − − 1 1    1 . x . n . . .x nn . −1  

Hankel,H= (h i+j ) i,j  h 0 h 1 . . .h n−1  h 1 h 2 . . .. . . . . .  . h 2n−3  .   h n−1 . . .h 2n−3 h 2n−2 

Cauchy,C= ( x i − 1 y j ) i,j    x x n 1 . − 1 1 − y y 1 1 .. . . .. x 1 − . 1 y n    1 x n −y n

amKHALILMatrices

essttricur´eructlisinetuseamnalt sdceriatitploeeTitaleR se mertneno Exs&plem Le es inga ´Dinfienoit ´eOp ecav ruesaretdgdertnaacem´epl r M,N ent 1 s M ie riat tszeygyz tilprapzdseceoTeplitz(TBblocsToe)T

Matricesstructure´es Asecpmis”selser´eeuctuestrtdittairetm2xesiisliMetN ” telles que rg(r M,N (A)) =α(resp rg(Δ M,N (A)) =α), avecα ”petit”inde´pendentden. ou

Structuredede´placement

seecessatritur´trucsuas .) oHILMLKmAH M graA( N, nelnretotden.OeApl´eemac r}na d g de elelM{N,,s’appel ,N (A))=α M r(greuqletαtiteep . L ANA−=MA) N ( M, .α Δ 2 el×natliF,edF T ,GN T =GA−MA(A)=

tcure´ru

Matrices structurees ´ A2eamrtcises”milpes”tseetidurtsurctes´eleiistxiMetN telles que rg(r M,N (A)) =α(resp rg(Δ M,N (A)) =α), avecα ”etit”ouind´ependentden. p

se

Structureded´eplacement

Le petitαtel que rg(r M,N (A)) =α, s’appelle le{M,N}rang dede´placementdeA. On le noterarg M,N (A).

avec Op´erateursetrangded´eplacement 1 r M,N (A) =A−MAN T =GF T ,G,Fde taillen×α. 2 Δ M,N (A) =MA−AN.

amssouHtssecirtaMLILAHK brapztilpeoTscolBT(Ttzli) etsyzygiToeplitz seedoTpe se aMrtci el s Rioat tuuceer´ cirtedsetnenamer lisanutiaine s Legssrtirecmstatnel ´eDelpmexE&snoitinfi