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DÉFORMATIONS DE RÉSEAUX DANS CERTAINS GROUPES RÉSOLUBLES

18 pages
DÉFORMATIONS DE RÉSEAUX DANS CERTAINS GROUPES RÉSOLUBLES CÉDRIC ROUSSEAU Abstract. We aim to study local rigidity and deformations for the following class of groups: the semidirect product ? = Zn oA Z where n ≥ 2 is an integer and A is a hyperbolic matrix in SL(n, Z), considered first as a lattice in the solvable Lie group G = Rn oA R, then as a subgroup of the semisimple Lie group SL(n + 1, R). We will notably show that, although ? is locally rigid neither in G nor in H, it is locally SL(n + 1, R)–rigid in G in the sense that every small enough deformation of ? in G is conjugated to ? by an element of SL(n + 1, R). 1. Introduction Soient ? un groupe de type fini et G un groupe topologique. On désigne par R(?, G) l'ensemble des morphismes de groupes de ? dans G muni de la topologie de la convergence ponctuelle i.e. la topologie induite par celle du produit G? (de sorte que deux morphismes de ? dans G sont proches si, et seulement si, ils le sont sur un ensemble de générateurs de ?). Un morphisme de groupes r : ? ? G est dit localement rigide si tout autre morphisme de groupes r? : ? ? G suffisamment proche de r est conjugué à r, c'est-à-dire s'il existe un voisinage V de r dans R(?, G) tel que : ? r? ? V

  • calcul de l'espace h1

  • zn

  • cohomologie

  • recherche de méthodes de calcul du groupe de cohomologie h1

  • produit semi-direct de z agissant sur zn

  • espaces h1

  • groupes topologiques


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DÉFORMATIONS DE RÉSEAUX DANS CERTAINS GROUPES RÉSOLUBLES
CÉDRIC ROUSSEAU Abstract. We aim to study local rigidity and deformations for the following class of groups: the semidirect product  = Z n o A Z where n  2 is an integer and A is a hyperbolic matrix in SL ( n, Z ) , considered first as a lattice in the solvable Lie group G = R n o A R , then as a subgroup of the semisimple Lie group SL ( n + 1 , R ) . We will notably show that, although  is locally rigid neither in G nor in H , it is locally SL ( n + 1 , R ) –rigid in G in the sense that every small enough deformation of  in G is conjugated to  by an element of SL ( n + 1 , R ) .
1. Introduction Soient  un groupe de type fini et G un groupe topologique. On désigne par R (  G ) l’ensemble des morphismes de groupes de  dans G muni de la topologie de la convergence ponctuelle i.e. la topologie induite par celle du produit G  (de sorte que deux morphismes de  dans G sont proches si, et seulement si, ils le sont sur un ensemble de générateurs de  ). Un morphisme de groupes r : G est dit localement rigide si tout autre morphisme de groupes r 0 : G suffisamment proche de r est conjugué à r , c’est-à-dire s’il existe un voisinage V de r dans R (  G ) tel que : r 0 V g G   r 0 ( ) = gr ( ) g  1 . Lorsque  est un sous-groupe de G , on dira que  est localement rigide dans G si l’injection canonique de  dans G est localement rigide. Cette notion de rigidité locale a été initialement étudiée dans le cas où G est un groupe de Lie semi-simple et  un réseau dans G . Sur ce point, le premier résultat important, obtenu d’abord partiellement par Calabi [1], Calabi-Vesentini [2] et Selberg [7], puis de manière complète par Weil [8], [9], est le suivant : Théorème I. Soit G un groupe de Lie semi-simple non localement isomorphe à SL (2 R ) . Si  est un réseau cocompact irréductible dans G alors  est localement rigide dans G . Pour plus de détails sur l’historique de ce théorème, le lecteur pourra consulter [4]. Peu après, Weil [10] fournit un critère de rigidité locale valide dans un cadre plus général. Tout morphisme  G définit une action du groupe  sur g via la représentation adjointe Ad G . L’algèbre g devient ainsi un  –module et on peut donc définir la cohomologie H  ( g ) de  (en tant que groupe discret) à coefficients dans g . Weil montre alors le : 2000 Mathematics Subject Classification. 22E25, 22E40. Key words and phrases. local rigidity, lattices in solvable Lie groups, group cohomology. 1
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