M8 LES SYSTEMES DE COORDONNEES

Alain Robichon

Description

Niveau: Elementaire
M8 : LES SYSTEMES DE COORDONNEES Page 1 sur 4 SYSTÈMES DE COORDONNÉES ; EXPRESSIONS DES OPÉRATEURS. I : Les coordonnées cartésiennes. 1°) Repérage d'un point. Un point M est repéré par ses coordonnées x, y et z dans la base orthonormée directe (ex l ,eyl ,ezl ). M O x z yex l ez l ey l dz dy dx Éléments différentiels de longueur: dx // ex l , dy // eyl , dz // ezl . Éléments différentiels de surface: dx.dy dans le plan (ex l ,eyl ), dydz dans le plan (ey l ,ezl ), dzdx dans le plan (exl ,ezl ). Volume élémentaire entourant M: d? = dx dy dz . 2°) Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes: zy ez e y fgrad GGG ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f f e x f = x ++ zy A Aiv z yx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ A A x = )(d ++G 2 2 2 2 2 2 z f + y f + x f = f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂? zyx eeeA GGGG )A()A()A( = zyx ?+?+?? ?? ? ? ?? ? ? ?

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• coordonnées cartésiennes


• dr dy


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• opérateur


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Sujets

• Mathématiques
• Coordonnées cartésiennes
• Opérateur

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Extrait

M8 : LES SYSTEMES DE COORDONNEES SYSTÈMES DE COORDONNÉES ; EXPRESSIONS DES OPÉRATEURS. I : Les coordonnées cartésiennes. 1°) Repérage d'un point.  Unpoint M est repéré par ses coordonnéesx, yetzdans la base z l l l dz orthonormée directe (e,e ,e ). x y z M l ll Éléments différentiels de longueur:dx,// edy,// edz //. e l x yz e dx z dy l l O Éléments différentiels de surface:dx.dydans le plan(e ,e), x y l e x y l ll l l n(ne ,e(e ,e). dydzdans le pla y z ),dzdx dansle pla x z e y x dτx dy dz. Volume élémentaire entourant M:= d 2°) Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes: fGfG∂fG ∂ A y ∂A ∂ A x z ⎧ ∂ A y A grad f= e+e y +e z div(A) =+ + z x - ⎪ ∂x∂y∂z ∂ ∂ ∂ xy z ∂y∂z ⎪ G ⎪ ∂A∂A rot(A) =- x z ⎨ 2 2 2 G ∂z∂x G ⎪ ∂ f ∂f∂f Δ Δ+ Δ+ Δ ∂ AA= ( x e y e z e A ∂  )( A )( A ) Δ f= + + x y z ⎪ y A x 2 2 2 - ∂x∂y∂z ⎪ ∂x∂y ⎩ 3°) Complément : l'opérateur "nabla". G ∇  Onappelleopérateur nabla, noté,différentiel défini en coordonnées l'opérateur cartésiennes par : G G ∂ G ∂ G ∂ ∇ ≡+ + e x i e y i e z i . ∂ ∂y∂z  Cettenotation de l'opérateur nabla permet de réécrire les autres opérateurs : G G G GG GG l ll ll ll ll Δ • • p = ∇ ∇ p • grad p = ∇ p rota = ∇ ∧a =a div ∇ aΔ= a ∇ a L L'opérateur nabla n'est à utiliser qu'en coordonnées cartésiennes ! II : Les coordonnées cylindriques. 1°) Repérage d'un point. z dz M  Mest repéré par ses coordonnéesr (distance à l'axe Oz),θetz l ll dr dans la base orthonormée directe (e rd θ r , e θ )., e z l e y z O Éléments différentiels de longueur: l l ll x e θ e ,rddzsuivant e. r drsuivant r θsuivant e θ , z θ M' e r OM' = r Éléments différentiels de surface: l ll ll l θ e ,e ),rd .dzdans (e θ , dr.rdθ, edans (e θ ),dr.dzdans ( r z e z ). r τ= Volume élémentaire entourant M: d(dr).(rd).(dz) .

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M8 : LES SYSTEMES DE COORDONNEES 2°) Expressions des opérateurs en coordonnées cylindriques. G 2 2 ∂ ∂∂ ∂ ∂ f G 1 f G f G 1 1 A θ A ∂ z 1∂ ⎛ ∂f ⎞ 1 ∂f f grad f= e+e θ +e d iv ( A ) =( rA )+ + rz r Δf= ⎜ r ⎟ + + ∂ ∂θ∂zr∂ ∂θ∂z 2 22 ∂∂ r r ⎝ r ⎠ r∂θ ∂z ⎧ ∂A A ⎧⎡ ⎤ ∂A 1 z ∂ θ 1 ⎛ θ ⎞ G Δ ⎜ ⎟ ⎪ - ⎪⎢ A A+ 2 ⎥ e r rr 2 r∂θ ∂z ∂θ ⎝ ⎠ ⎪⎣ r ⎦ ⎪ G A ∂A ∂ r z ⎪ G rot(A) = ⎨ - G ⎡ 1 ⎛ ∂A ⎞⎤ r Δ Δ ⎜ ⎟ ∂z∂r A = ⎨⎢ A A 2 ⎥ e θ θθ ⎪ 2 ∂θ ⎪⎣ r ⎝ ⎠⎦ 1 ⎛ ∂ ∂A ⎞ ⎪ r ⎜ (rA θ ) - ⎟ ⎪ ⎪ G ∂θ ⎩ r ⎝ ∂r ⎠ ] ⎪ [ ΔAe zz ⎪ ⎩ III : Les coordonnées sphériques. 1°) Repérage d'un point. l z e l L Il n'existe aucune norme particulière pour le repérage et la e ϕ θ M désignation des angles en sphériques : il convient donc à chaque fois de se reporter au schéma descriptif ! r e θ y O  EnPhysique, on repère M par ses coordonnées r (r = OM),θ l (colatitude) etϕ(longitude) dans la base orthonormée directee ϕ ϕ l l l x l e ). (e r , e θ , ϕ u Éléments différentiels de longueur: l ll  drsuivant e,rdθ,suivant er.sin(θ).dϕ suivant e. rθ ϕ Éléments différentiels de surface: l ll ll l θ ϕ, ),dans (erθ.sin(θ).dϕdans (e, e). dr.rdθ, edans (e θ ),dr.r.sin().d r e ϕθ ϕ r 2 Le volume élémentaire s'écrit:dτ= r.sin(θ).dr.dθ.dϕ. 2°) Expressions des opérateurs en coordonnées sphériques. ∂ ∂f G 1∂f G 1∂f G 1 ∂ 1 ⎧ ∂ A ϕ ⎫ 2 + =d ( ) ( ) + ( sin( θ ) ) + . grad f=e e θ +e ϕ . iv A 2 r A r ⎨ A θ ⎬ r ∂ θ∂θ ∂ϕ ∂rr∂θrsin(θ)∂ϕ r.r rsin( ) ⎩ ⎭ ⎧ ⎛ ( .sin) ∂ ⎞ ∂Aθ 1 ϕ A θ ⎜ ⎟ ⎪ - rsin θ ∂θ∂ϕ ⎪ ⎝⎠ 2 ∂ ∂∂ ∂ ∂f (r.A) 1 ⎛ 2 f ⎞ 1 ⎛ f ⎞ 1 G ⎪ 1 ⎛ 1 ∂A ∂ ϕ ⎞ . r Δf= ⎜ r ⎜ ⎟ +sinθ⎟ + . rot(A) = ⎜ - ⎟ 2 22 22 ⎨ ∂ ∂∂θ ∂θ r r ⎝ r ⎠ rsin θ ⎝ ⎠ r.sinθ ∂ϕ rsinθ ∂ϕ∂r ⎪ ⎝⎠ ∂ ∂ ⎪ 1 ⎛ A ⎞ r ⎜ (rA θ ) - ⎟ ⎪ r ⎝ ∂r∂θ ⎠ ⎩ G ∂⎡ ⎛A⎞⎤ 2∂ ϕ G ΔAθAθ+e ΔA = ⎢ A r  ⎜ r sin( )+ ( θ sin( ) ) ⎟⎥ r 2 r θ ∂θϕ ⎣ ⎢ sin( ) ⎠⎥ ⎝ ∂ ⎦ ⎡ ⎛ A ∂ ∂ A ϕ ⎞⎤ ⎡ ⎛ A ϕ ∂ ∂A ⎞⎤ 2 θ 2 A r G 2 A r θ G + Δ−θ+θ−+ Δθ−θ ⎢ A θ  ⎜ sin () cos() ⎟⎥ e θ ⎢ A  ⎜ sin( )cos( ) ⎟⎥ e 2 22 2 rsin (θ ) 2 ∂θ ∂ ϕ rsin (θ ) 2 ∂ϕ ∂ ϕ ⎥ ⎢ ⎝⎠⎥ ⎢ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎦⎣

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M8 : LES SYSTEMES DE COORDONNEES IV : Cas d'un système quelconque de coordonnées orthogonales. 1°) Base locale et facteurs métriques. 3 3  Dans×euclidien, une fois choisie une origine O, un point M affine∈×associé de est JJJJG G G G OM=x e+y e+z e façon univoque avec le vecteur x yz , pouvant également être défini dans un système de coordonnées orthogonales comme une fonction vectorielle de 3 variables notées q, 1 q etq . 2 3 G G G u Ces coordonnées permettent de définir labase orthonorméenotée ( u 1 , 2 ,u 3 ) définie par : JJJJG JJJJG JJJJG ∂OM∂OM ∂OM G ∂q G ∂q G ∂q 1 2 3 = = 1 = JJJJG  ; u 2 JJJJ u JJJJG  ; u 3 G ∂OM∂OM∂OM ∂q∂q∂q 1 23 JJJG JJJJGJJJJG ∂OM∂OM∂OM  Parla suite, on notera par N, N, Nlesnormeset ,définissant lesde , 1 2 3 ∂q∂q∂q 1 23 facteurs métriquesla transformation entre le système rectiligne (x, y, z) et le système de curviligne (q, q, q). Ils sont fonctions de la position du point M. 1 2 3  Onappellerepère local, le repère ayant pour origine le point courant M et pour base les 3 G G G u vecteurs u 1 , u 2 et 3 . Les facteurs métriques peuvent aussi être déterminés d'après les déplacements élémentaires ‰ : JJJJG G A partir du point M, un déplacement élémentaire d OM=dr est : G GG G ∂r∂r∂r G GG G dr=N dqu+N dqu+uN dq dr=dq+dq+dq 3 soit encore : 3 32 231 21 1 (IV 1). 1 2 ∂q∂q∂q 1 23 ⎧ N dq 1 1 JJJJG ⎪ = d OM ⎨ N dq .  Leséléments de longueur élémentaires sont ainsi dans le repère local : 2 2 ⎪ N dq ⎩ 3 3 2°) Expressions des opérateurs en coordonnées curvilignes (q 1 , q 2 , q 3 ). Opérateur gradient : ‰ ∂ ∂∂ l l pp p dp=dq+dq+dq  Onpart de dp= grad (p) .dOM , avec 1 2 3 ∂q∂q∂q 1 23 JJJJJG 1∂ G grad= ∑  Al'aide de l'équation (IV 1), on obtient : p u i . i N i ∂q i l l Opérateur A.grad : ‰ G G JJJJJG G G G a i ∑ Avec le vecteurA=a 1 u 1 +a 2 u 2 +a 3 u 3 , on a comme pour le gradient : Aigrad≡ . i N q i i Opérateur divergence : ‰ JJJJG G G G GG G En utilisant div(a)=gradi(a) , aveca=a 1 u 1 +a 2 u 2 +a 3 u 3 , on obtient : G G 1∂ G G GG 1∂ GG G G 1∂ G G G = ++ ++ ++ ++ div(a)u 1 . [ a 1 u 1 a 2 u 2 a 3 u 3 ] u 2 . [ a 1 u 1 a 2 u 2 a 3 u 3 ] u 3 . [ a 1 u 1 a 2 u 2 a 3 u 3 ] N∂q N∂q N∂q 1 12 23 3 3 ∂ ⎡ a ⎤ G 1 i div(a)=NN N soit encore : ∑ ⎢ 1 2 3 ⎥ . N NN = ∂q N 1 2 3i ⎣ i ⎦ i1

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M8 : LES SYSTEMES DE COORDONNEES Opérateur rotationnel : ‰ JJJG JJJJJG G G  Enutilisant rot(a)=(grad∧)a , on obtient : JJJG G 1 G ∂ G G G 1 G ∂ G G G = ∧+ ++u∧a u+a u+a u rot(a)u [ a u 1 a 2 u 2 a 3 u 3 ] 2 [ 1 13 ] 1 12 23 N∂q N∂q 1 12 2 , 1 G ∂ G G G + u ∧ [ a u + a u + a u ] 3 11 22 33 N∂q 3 3  quiconduit à : ⎧ 1 ∂ ⎤⎡ ∂ ( )( ) ⎪ ⎢ N 3 a 3 −N 2 a 2 ⎥ G G G N N∂q∂q N uN uN u ⎦⎪ ⎣ 2 32 3 1 12 23 3 JJJG G 1∂ ∂ ∂ ⎪ 1 ⎡ ∂∂ ⎤ rot(a)= ( )( ) , de composantes : ⎨ N 1 a 1 −N 3 a 3 ⎥ . ⎢ N NN ∂ q ∂ q ∂ q N N∂q∂q ⎪ ⎣⎦ 1 2 31 2 3 3 13 1 ⎪ N aN aN a 1 ∂ ⎤⎡ ∂ 1 12 23 3 ⎪ ( N a ) − ( N a ) ⎢ 2 21 1 ⎥ ⎪ N N∂q∂q ⎩ ⎣⎦ 1 21 2 Opérateur laplacien scalaire : ‰ JJJJJG Par définition, on a Δp=div ( grad(p) ) , qui conduit à : 3 ⎛ ⎞⎤ 1∂ NN N ∂ 1 2 3 Δ = ⎜ ⎟⎥ ∑ 2 p . 1 2 3 1 ∂ ⎜ ( ) ∂ ⎟⎥ N NN i= q i N i q i ⎝ ⎠⎦ Opérateur laplacien vectoriel : ‰ G G G G a u Pour le vecteur = 1 1 +a 2 u 2 +a 3 u 3 , au lieu du scalairep, on obtient : 3 ⎡ ⎛ 3 ⎞⎤ G G ∂ 1 N 1 N 2 N 3 G Δ = ⎢ ⎜⎟⎥ ∑ 2 ∑ A au . j j ⎢ ∂ ⎜ ⎟⎥ N 1 N 2 N 3 i= 1 q i ( N ) j= 1 i ⎣ ⎝⎠⎦ 3°) Tableaurécapitulatif pour les trois systèmes de coordonnées : coordonnées variablesbase localedépl. élémentairefact. métrique s = = cartésienne q 1 x e x dr=dx N 1 1 1 G = e = = q 2 y y dr dyN 2 1 2 G q=z e dr=dz N= 1 3 z 3 3 G cylindriques q=r e dr=dr N= 1 1 r 1 1 G = == q 2 e θ dr 2 rdN 2 r G q=z e dr=dz N= 1 3 z 3 3 sphériques q=r e dr=dr N= 1 1 r 1 1 G = θ θ q 2 e θ dr 2 =rdN 2 =r ϕ q 3 = e dr 3 =r sin( ) d ϕ N=r sin( ) 3

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