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M8 LES SYSTEMES DE COORDONNEES

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M8 : LES SYSTEMES DE COORDONNEES Page 1 sur 4 SYSTÈMES DE COORDONNÉES ; EXPRESSIONS DES OPÉRATEURS. I : Les coordonnées cartésiennes. 1°) Repérage d'un point. Un point M est repéré par ses coordonnées x, y et z dans la base orthonormée directe (ex l ,eyl ,ezl ). M O x z yex l ez l ey l dz dy dx Éléments différentiels de longueur: dx // ex l , dy // eyl , dz // ezl . Éléments différentiels de surface: dx.dy dans le plan (ex l ,eyl ), dydz dans le plan (ey l ,ezl ), dzdx dans le plan (exl ,ezl ). Volume élémentaire entourant M: d? = dx dy dz . 2°) Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes: zy ez e y fgrad GGG ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f f e x f = x ++ zy A Aiv z yx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ A A x = )(d ++G 2 2 2 2 2 2 z f + y f + x f = f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂? zyx eeeA GGGG )A()A()A( = zyx ?+?+?? ?? ? ? ?? ? ? ?

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  • coordonnées cartésiennes

  • dr dy

  • dq

  • dr

  • opérateur

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M8 : LES SYSTEMES DE COORDONNEES SYSTÈMES DE COORDONNÉES ; EXPRESSIONS DES OPÉRATEURS. I : Les coordonnées cartésiennes. 1°) Repérage d'un point.  Unpoint M est repéré par ses coordonnéesx, yetzdans la base z l l l dz orthonormée directe (e,e ,e ). x y z M l ll Éléments différentiels de longueur:dx,// edy,// edz //. el x yz e dx z dy l l O Éléments différentiels de surface:dx.dydans le plan(e ,e), x yl e xy l ll ll n(ne ,e(e ,e). dydzdans le play z),dzdx dansle plax ze y x dτx dy dz. Volume élémentaire entourant M:= d2°) Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes: fGfGfGAyAA x zAy A grad f= e+ey+ezdiv(A) =+ +z x -xyz∂ ∂ ∂ xy z yz G AA rot(A) =-x z 2 2 2Gzx Gfff Δ Δ+ Δ+ ΔAA= (xeyezeA )( A )( A ) Δf= + +x y zyAx 2 2 2 -xyz xy 3°) Complément : l'opérateur "nabla". G  Onappelleopérateur nabla, noté,différentiel défini en coordonnées l'opérateur cartésiennes par : G GGG∇ ≡+ + exieyiezi. ∂ ∂yz  Cettenotation de l'opérateur nabla permet de réécrire les autres opérateurs : G G G GG GG l ll ll ll ll Δp =∇ ∇pgrad p =p rota =a =a divaΔ= aa LL'opérateur nabla n'est à utiliser qu'en coordonnées cartésiennes !II : Les coordonnées cylindriques. 1°) Repérage d'un point.z dz M  Mest repéré par ses coordonnéesr (distance à l'axe Oz),θetz l ll dr dans la base orthonormée directe (erdθ r, eθ)., e z l e y z O Éléments différentiels de longueur: l l llx eθe ,rddzsuivant e.r drsuivantrθsuivant eθ,zθ M' e r OM' = r Éléments différentiels de surface: l ll ll l θ e ,e ),rd .dzdans (eθ, dr.rdθ, edans (eθ),dr.dzdans (r zez). r τ= Volume élémentaire entourant M:d(dr).(rd).(dz).
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M8 : LES SYSTEMES DE COORDONNEES 2°) Expressions des opérateurs en coordonnées cylindriques. G2 2 ∂ ∂∂ ∂fG1 fGfG1 1AθAz1⎛ ∂f1f f grad f= e+eθ+ediv(A) =(rA)+ +rz rΔf=r+ +∂ ∂θzr∂ ∂θz2 22 r rrr∂θ ∂z A A⎧⎡ ⎤A 1zθ1θG Δ ⎜-⎪⎢A A+ 2e r rr 2 r∂θ ∂z∂θ ⎝ ⎠ ⎪⎣rGAA r zG rot(A) =-G1A⎞⎤ rΔ Δ⎜ ⎟ zrA =⎨⎢A A 2e θ θθ 2 ∂θ ⎪⎣r⎝ ⎠⎦ 1∂ ∂Ar (rAθ) -G ∂θ rr] [ΔAe zz III : Les coordonnées sphériques. 1°) Repérage d'un point. l z e l LIl n'existe aucune norme particulière pour le repérage et laeϕθM désignation des angles en sphériques : il convient donc à chaque fois de se reporter au schéma descriptif ! r e θ y O  EnPhysique, on repère M par ses coordonnées r (r = OM),θl (colatitude) etϕ(longitude) dans la base orthonormée directeeϕϕ l l l xl e ). (er, eθ,ϕu Éléments différentiels de longueur: l ll  drsuivant e,rdθ,suivant er.sin(θ).dϕ suivant e. rθ ϕ Éléments différentiels de surface: l ll ll l θ ϕ, ),dans (erθ.sin(θ).dϕdans (e, e). dr.rdθ, edans (eθ),dr.r.sin().dreϕθ ϕ r 2 Le volume élémentaire s'écrit:dτ= r.sin(θ).dr.dθ.dϕ. 2°) Expressions des opérateurs en coordonnées sphériques. fG1fG1fG11Aϕ2 +=d ( )( )+(sin(θ))+. grad f=e eθ+eϕ.iv A2r ArAθr ∂ θ∂θ ∂ϕ rrθrsin(θ)ϕr.r rsin( ) ⎩ ⎭ ⎧ ⎛( .sin)Aθ 1ϕAθ ⎜ ⎟ -rsinθ ∂θ∂ϕ ⎪ ⎝2 ∂ ∂∂ ∂f(r.A) 12f1f1G11Aϕ. r Δf=r⎟ +sinθ⎟ +.rot(A) =-2 22 22∂ ∂∂θ ∂θ r rrrsinθ⎝ ⎠r.sinθ ∂ϕrsinθ ∂ϕr ⎪ ⎝∂ ∂ 1Ar (rAθ) -rr∂θG⎡ ⎛A⎞⎤ 2ϕG ΔAθAθ+e ΔA =Arrsin( )+(θsin( ))⎟⎥r 2 rθ ∂θϕ sin( )⎠⎥⎝ ∂ ⎡ ⎛AAϕ⎞⎤ ⎡AϕA⎞⎤ 2θ2ArG2ArθG + Δθ+θ+ Δθθ Aθsin () cos()⎟⎥eθA sin( )cos( )⎟⎥e 2 22 2 rsin (θ) 2∂θϕrsin (θ) 2∂ϕϕ ⎢ ⎝⎠⎥ ⎢⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎦
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M8 : LES SYSTEMES DE COORDONNEES IV : Cas d'un système quelconque de coordonnées orthogonales. 1°) Base locale et facteurs métriques. 3 3  Dans×euclidien, une fois choisie une origine O, un point M affine×associé de est JJJJG G G G OM=x e+y e+z e façon univoque avec le vecteurx yz, pouvant également être défini dans un système de coordonnées orthogonales comme une fonction vectorielle de 3 variables notées q, 1 q etq . 2 3 G GG u Ces coordonnées permettent de définir labase orthonorméenotée (u1,2,u3) définie par : JJJJG JJJJGJJJJG OMOMOM GqGqGq 1 23 = = 1=JJJJG ;u2JJJJuJJJJG ;u3G OMOMOM qqq 1 23 JJJG JJJJGJJJJG OMOMOM  Parla suite, on notera par N, N, Nlesnormeset ,définissant lesde , 1 2 3 qqq 1 23 facteurs métriquesla transformation entre le système rectiligne (x, y, z) et le système de curviligne (q, q, q). Ils sont fonctions de la position du point M. 1 2 3  Onappellerepère local, le repère ayant pour origine le point courant M et pour base les 3 G GG u vecteursu1,u2et3. Les facteurs métriques peuvent aussi être déterminés d'après les déplacements élémentaires ‰: JJJJG G A partir du point M, un déplacement élémentaired OM=drest : G GG GrrrG GG G dr=N dqu+N dqu+uN dq dr=dq+dq+dq3soit encore :3 32 231 21 1(IV 1). 1 2 qqq 1 23 N dq 1 1 JJJJG = d OMN dq.  Leséléments de longueur élémentaires sont ainsi dans le repère local :2 2 N dq 3 3 2°) Expressions des opérateurs en coordonnées curvilignes (q1, q2, q3). Opérateur gradient : ‰∂ ∂l lpp p dp=dq+dq+dq  Onpart de dp= grad (p) .dOM , avec1 2 3qqq 1 23 JJJJJG 1G grad=  Al'aide de l'équation (IV 1), on obtient :p ui. iNiqi l l Opérateur A.grad : ‰GG JJJJJG G G Ga i Avec le vecteurA=a1u1+a2u2+a3u3, on a comme pour le gradient :Aigrad. iN q i i Opérateur divergence : ‰JJJJG G GG GG G En utilisantdiv(a)=gradi(a), aveca=a1u1+a2u2+a3u3, on obtient : G G1G G GG1GG G G1G G G = ++ ++ ++ ++ div(a)u1.[a1u1a2u2a3u3]u2.[a1u1a2u2a3u3]u3.[a1u1a2u2a3u3] Nq Nq Nq 1 12 23 3 3 ∂ ⎡aG1i div(a)=NN N soit encore :1 2 3. N NN=q N 1 2 3iii1
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M8 : LES SYSTEMES DE COORDONNEES Opérateur rotationnel : ‰JJJG JJJJJG G G  Enutilisantrot(a)=(grad)a, on obtient : JJJG G1GG G G1GG G G = ∧+ ++ua u+a u+a u rot(a)u[a u1a2u2a3u3]2[1 13] 1 12 23 Nq Nq 1 12 2 , 1GG G G +u[a u+a u+a u] 3 11 22 33 Nq 3 3  quiconduit à : 1∂ ⎤⎡ ∂ ( )( ) ⎪ ⎢N3a3N2a2G G G N Nqq N uN uN u⎪ ⎣ 2 32 3 1 12 23 3 JJJG G1∂ ∂ ∂1⎡ ∂∂ ⎤ rot(a)=( )( ) , de composantes :N1a1N3a3. N NNqqqN Nqq ⎪ ⎣1 2 31 2 33 13 1 N aN aN a 1∂ ⎤⎡ ∂ 1 12 23 3 (N a)(N a) 2 21 1N Nqq ⎩ ⎣1 21 2 Opérateur laplacien scalaire : ‰JJJJJG Par définition, on aΔp=div(grad(p)), qui conduit à : 3⎛ ⎞⎤ 1NN N1 2 3 Δ =⎜ ⎟⎥ 2 p. 1 2 31∂ ⎜( )∂ ⎟⎥ N NNi=qiNiqi ⎝ ⎠⎦ Opérateur laplacien vectoriel : ‰G G G G a u Pour le vecteur=1 1+a2u2+a3u3, au lieu du scalairep, on obtient : 3⎡ ⎛3⎞⎤ G G1N1N2N3G Δ =⎢ ⎜⎟⎥ 2A au. j j ⎢ ∂⎜ ⎟⎥ N1N2N3i=1qi(N)j=1 i ⎣ ⎝⎠⎦ 3°) Tableaurécapitulatif pour les trois systèmes de coordonnées : coordonnées variablesbase localedépl. élémentairefact. métrique s= = cartésienneq1xexdr=dx N1 1 1 G =e= = q2yydr dyN212 G q=zedr=dz N=1 3z3 3 G cylindriquesq=redr=dr N=1 1r1 1 G = == q2eθdr2rdN2rG q=zedr=dz N=1 3z3 3 sphériquesq=redr=dr N=1 1r1 1 G =θ θ q2eθdr2=rdN2=rϕ q3=edr3=rsin( )dϕN=rsin( ) 3
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