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`eme 20Congr`esFran¸caisdeM´ecanique
Besanc¸on,29aouˆtau2septembre2011
Simulationsnume´riquesdeph´enom`enesanisotropes 1 pourlaFusionparConnementMagn´etique
a,b a,bb,a b,a A. Bonnement, H. Guillard, B. Nkonga, R. Pasquetti a.INRIA Sophia-Antipolis, 2004 Route des Lucioles, 06902 Sophia Antipolis b.Lrobaiota.Jer6612U,inevsrtie´A.Dieudonn´e,UMR0,silopieciN8016-SceNidentaAhiop
R´esum´e: And´etudierlecomportementduplasmadanslecadredelaFCM,nousconsid´eronsunsyst`eme uide,obtenua`partirdumod`elecine´tiqueVlasov-MaxwellavecfermeturesdeBraginskii,do`ude fortesanisotropiessuivantleslignesdechampmagne´tique.Des´etudesnume´riquesdephe´nom`enes pr´esentantcetteparticularite´ont´ete´men´ees,toutdabordsurunee´quationdediusion,avecunterme derayonnement,etensuitesurdessyste`mesdetypeEuleretNavier-Stokes.Lesre´sultatsobtenussont pr´esent´esetanalyse´s. Abstract : In order to study plasma for Magnetic Confinement Fusion, we consider a fluid system, given by the Vlasov-Maxwell kinetic model with the Braginskii closure. This system presents high anisotropy along the magnetic field lines. Some numerical studies have been done in this case, first on a diffusion equation with a radiative term and then on the Euler and Navier-Stokes like systems. Our results are presented and analyzed. Mots clefs :Simulation des plasmas, fermetures de Braginskii, diffusion anisotrope.
1 Introduction LaFusionparConnementMagn´etique(FCM)sappuiesurleprincipedeproductiond´energiedes ´etoiles,lorsdelafusiondedeux´el´ements(parexemple,deuteriumettritium).Pourcela,cesdeux 8 ´ele´mentsdoiventˆetre`adestemp´eratures´eleve´es,delordrede10K,soit10keV,andefavoriserla fusion.Acettetemp´erature,unnouvel´etatdelamati`ereapparaıˆt:leplasma,danslequellesatomes sontionis´es.Lafusionparconnementmagne´tiqueconsiste`autiliserlechampmagn´etiqueande connerleplasmadansdeschambresappel´eestokamaks.Desphe´nome`nesphysiquescomplexesse d´eroulentdansleplasma,pouvantjouerunroˆled´ecisifsurlesperformancesdestokamaks.Leprincipe deFCMestparexempled´eveloppe´en[1,4]. Danslecadredecetravail,onsint´eresseplusparticulie`rementauxphe´nome`nesquiontlieudans leplasmadebord,commeparexempleen[9].Danscebut,unmod`eleuideae´t´e´etablia`partir dumode`lecine´tiqueVlasov-MaxwellaveclesrelationsdefermeturedeBraginskii[2].Cemode`leest pre´sente´dansleparagraphe2. Nosr´esultatsnume´riquessontpr´esent´esdanslesparagraphes3et4,cecipourdie´rentesge´ome´tries detokamaks(ITER,Tore-Supra).Lensembledesr´esultatsa´et´eobtenugraˆcea`unem´ethodevol-umes/e´le´mentsnis(VF/EF),impl´emente´eauseindulogicielFluidBox[11].Cetteapprochea´et´ede pluscompar´ee`aunem´ethodede´lementsspectraux(codeSEMd´eveloppe´parR.Pasquetti). 1.Cetravaila´et´eeectu´edanslecadredunprojetdelaFR-FCM,delANRESPOIRetdelActiondenvergure FUSIONdelINRIA.A.BonnementremercieleConseilRe´gionalPACAquiconancesathe`se.
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e`me 20Congr`esFranc¸aisdeM´ecaniqueBesan¸con,29aoˆutau2septembre2011 2Mod`eleuide Lebutesticide´tablirlemode`leuideutilis´epoure´tudierlesphe´nom`enesphysiquesayantlieudans leplasmadeborddestokamaks.Consid´eronsleplasmaconstitue´dunme´langed´electronsetdions. Danscecas,l´etatduplasmanousestdonne´graˆcea`lafonctiondedistributionfs(t,x,v), l’indices pouvantsere´fe´rerauxe´lectronsouauxions.Onobtientdoncl´equationdeBoltzmann: Fs fs+v.rxfs+.rvfs=Cs,(1) ∂t ms ou`FssamedeluesstefolacrdeLeroneztxerec´eesuruneparticmsee´eisalcol,nx, avec une vitessevet au tempst, etCseunirenortbP.uooisnllsiescoantleerlmiesmolde´tdescription fluidedu plasma, on neconsid`erepaslesfonctionsdedistributionsmaisleursmomentssurlespacedesvitesses.Ainsi,en prenantlestroispremiersmomentsdele´quationdeBoltzmann(1),onobtientdenouvellese´quations pourlesdensit´esdeparticules,ns,´eesyennomsessetivsel,usetle,se,reig´snees:
ns+r ∙(nsus) =0 (2.a) ∂t msnsus+r ∙(msns<usus>+Ps) =Zsens(E+usB) +Rs(2.b) ∂t n e+r ∙(n eu+P .u) =−rE.u+R.u+Q(2.c) s ss ss ssqs+Zsens ss ss ∂t
Dans ces expressions,Rsseluetedcsloilisonsentreparticulseedid´reneetesstpl`eescoemse,mtqenr´ui Qstnescaleelah´gru´eeneer´rlpaspee`ecrepr´esapsertuaselucitr,`caedcsuaessionolliclessavePsest le tenseur de pression etqefsdmeerlareontisee´Braperutnnod,leelruL.seudxceahi[2]nskiragi s permettentdobtenirlesformesdecesdie´rentstermes. Nosde´veloppementsalgorithmiquespourr´esoudrelesyst`eme(2)sontencourspourlage´ome´triedu tokamakITER.Ci-apre`s,nousnousint´eressons`adesprobl`emesmode`les. 3 Diffusionanisotrope avec rayonnement 3.1Mod`ele Danslestokamaks,le´nergies´evacuantduplasmadecoeuresttr`esimportanteetpeutdoncaecter lescomposantsdelastructuredutokamak.Deplus,lapre´sencedunrayonnementdoiteˆtrepriseen compte.Nous´etudionslesconse´quencesdetelsprocessusradiatifssurlesprolsdetempe´rature.Dans lecasuni-dimensionnel,ceprobl`emeae´te´aborde´en[5].Enmode´lisantlerayonnementparunterme depuitsdechaleurnonlin´eaire,onconside`rele´quationdetempe´rature: 32 2 T+r ∙q=CT exp(((TT)/ΔT(3)) ) 2∂t quiestobtenuea`partirdel´equationdele´nergie(2.c)eto`uTdeuqyareceruitirp´emateresattlon-nement et ΔTep.un´cera-tyt Usuellement,ladensit´edeuxdechaleurqapeelalrdtse´nnoreieonnfdeoiurFoud-ccanodnletcoi tivit´ethermiquedumate´riau,K:q=KrTduasecslan.Dplasma,noussommeespn´rseneecdnu champmagne´tique,etladiusionestalorsanisotrope: q=KkrkTKrT.(4) Les notationskete`fe´rpsertnermpireauchaneiducalelteepprrapa`ellsapoesntuatnmocxitceemev magn´etique.Onparledediusionfortementanisotropecarletermeparall`eleestnettementsupe´rieur
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