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A 2011MATH. I MP
COLE DES PONTS PARISTECH, SUPARO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TLCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-TIENNE, MINES DE NANCY, TLCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIREMP), COLE POLYTECHNIQUE (FILIRETSI).
CONCOURS 2011
PREMIRE PREUVE DE MATHMATIQUES
Filire MP
(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : CYCLEINTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES I - MP.
L’nonc de cette preuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.
CritÈre de diagonalisation de KlarÈs
Soitnun entier naturel non nul etMn(C) l’espace vectoriel des matrices carres d’ordrenÀ coefficients complexes. On noteOnla matrice nulle etInla matrice identit deMn(C). Latraced’une matriceUdeMn(C) est notetr(U). On dit que deux matricesUetVdeMn(C)commutentsiU V=V U. Une matrice k NdeMn(C) est ditenilpotentes’il existe un entierk>0 pour lequelN=On. Dans tout le problme, on considre une matriceAdeMn(C) et on notef n l’endomorphisme deCcanoniquement associ, c’est-À-dire l’endomorphisme n dont la matrice dans la base canonique deCestA. Le polynÔme caractristique deAest notPet les valeurs propres complexes distinctes deAsont notes λ1,λ2, . . . ,λr. Pour touti{1, . . . ,r} on note : αil’ordre de multiplicit de la valeur propreλi, c’est-À-dire l’ordre de multiplicit de la racineλidu polynÔmeP; α i Pile polynÔme dfini parPi(X)=(λiX) ; ³ ´ ¡ ¢ nαi File sous-espace vectoriel deCdfini parFi=KerfλiIdC; n fil’endomorphisme deFiobtenu par restriction defÀFi.
La partie B, À l’exception de la question 11), est indÉpendante de la partie A. La partie C est indÉpendante des parties prÉcÉdentes.
A. Dcompositionde Dunford n 1)Justifier que l’espace vectorielCest somme directe des espacesFi: r M n C=Fi. i=1 n 2)En considrant une base deCadapte À la somme directe prcdente, montrer que pour touti{1, . . . ,r}, le polynÔme caractristique defiest Pi. (On pourra d’abord tablir quePiest un polynÔme annulateur defi.) 0 3)Montrer qu’il existe une matrice inversiblePdeMn(C) telle queA= 1 P APsoit une matrice dfinie par blocs de la forme suivante :   I+N0∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙0 λ1α11 . . . . 0 ... 0. . . .. A=. .. . .. . . ... 0 λI+ 0∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙0rαrNr NiMα(C) est nilpotente pour touti{1, . . . ,r}. i
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4)En dduire que la matriceAs’crit sous la formeA=D+N, oÙDest une matrice diagonalisable etNune matrice nilpotente deMn(C) qui commutent. Les matricesDetNvrifiant ces conditions constituent ladÉcomposition de Dunfordde la matriceA. Dans toute la suite du problme, on admettra l’unicitÉ de cette dcomposition, c’est-À-dire queDetNsont dtermines de faÇon unique parA. Un exemple pour n=3:  31 1   5)Calculer la dcomposition de Dunford deA=1 .2 0 11 2
B. Commutationet conjugaison Pour toute matriceBet toute matrice inversiblePdeMn(C), on notecommB et conjles endomorphismes deMn(C) dfinis par : P ( commB(X)=B XX B XMn(C), 1 conj (X)=P X P. P Le but de cette partie est de dmontrer queAest diagonalisable si et seulement si commAest diagonalisable. 6)Soit culerconj1commc. Pune matrice inversible deMn(C). CalP AonjP Pour tousi,j{1, . . . ,n}, on noteEi,jla matrice deMn(C) dont tous les coeffi-cients sont nuls, sauf celui situ À l’intersection de lai-me ligne et de laj-me colonne qui est gal À 1. 7)SiAest une matrice diagonale, montrer que pour tousi,j{1,2, . . . ,n}, commAadmetEi,jcomme vecteur propre. Dterminer l’ensemble des valeurs propres de commA. 8)En dduire que siAest diagonalisable, commAl’est aussi. 9)Montrer que siAest nilpotente,commAl’est galement, c’est-À-dire qu’il k existe un entierk>0 pour lequel (commAl’endomorphisme nul) est deMn(C). 10)Montrer que siAest nilpotente, et sicommAest l’endomorphisme nul, alorsAest la matrice nulle. D’aprs la partie A, l’endomorphismecommAadmet une dcomposition de Dunford de la formecommA=d+n, oÙ les endomorphismes diagonalisabled et nilpotentncommutent :d n=nd. 11)Dterminer la dcomposition de Dunford decommAÀ l’aide de celle deA et conclure.
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C. Formesbilinaires sur un espace vectoriel complexe Soitpun entier>0 etEun espace vectoriel de dimensionpsurC. On note Ele dual deE, c’est-À-dire l’espace vectoriel des formes linaires surE. On considre une forme bilinaire symtriquebsurC, c’est-À-dire une appli-cationb:E×E−→ClinÉaire par rapport À chacune de ses deux composantes(et non sesquilinaire par rapport À la deuxime) et telle queb(x,y)=b(y,x) pour tousx,yE. SiFest un sous-espace vectoriel deE, on appelleorthogonal deF relativement À ble sous-espace vectoriel deEdfini par © ª b F=xE;yF,b(x,y)=0 . b On suppose quebestnon dÉgÉnÉrÉe, c’est-À-dire queE={0}. 12)Soituun endomorphisme deE. Dmontrer les implications suivantes : 2 (i)uest diagonalisable=⇒(ii) Keru=Ker (u)=⇒(iii) KeruImu={0}. SoitFun sous-espace vectoriel deE, de dimensionq, et soit (ε1,ε2, . . . ,εq) une base deF. Pour touti{1, . . . ,q}, on noteϕila forme linaire surEdfinie par ϕi(x)=b(εi,x). 13)Montrer que (ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕq) est une famille libre deE. On complte cette famille libre en une base (ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕp) deEet on note (e1,e2, . . . ,ep) la base deE antÉduale(dont (ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕp) est la base duale). b 14)Montrer queFest engendr par (eq+1,eq+2, . . . ,ep), et en dduire la b valeur de dimF+dim(F).
D. Critrede Klars Le but de cette partie est de dmontrer que la matriceAest diagonalisable si ¡ ¢ 2 et seulement si Ker(commA)=Ker (commA) . 15)Montrer que l’applicationϕdeMn(C)×Mn(C) dansC, dfinie par la for-muleϕ(X,Y)=tr(X Y) pour tousX,YMn(C), est une forme bilinaire symtrique non dgnre. ¡ ¢ ϕ 16)Ker (commtablir l’galitA)=Im (commA). 17)En dduire que siAest nilpotente, il existe une matriceXdeMn(C) telle queA=comm (X). Calculer alors comm(X) pour to A A+λInutλC. SoitDetNles matrices de la dcomposition de Dunford deAdfinies À la question 4). 18)Dmontrer qu’il existe une matriceXdeMn(C) telle queN=commA(X). 19)Conclure. FIN DU PROBLME
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