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A 2008MATH. IMP
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2008
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech,ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP
L’énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble tre une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Inégalité d’Alexandrov
Dans tout ce problème,nest un entier au moins égal à1. On noteSnle groupe des permutations deIn={1,∙ ∙ ∙, n}. On noteMn, p(R)l’espace vectoriel des matrices ànlignes etpcolonnes, à coefficients réels. Pour une matriceMMn, n(R)de coefficientsmij, on noteramjlej-ème vecteur colonne deM, celui dont les composantes sont(mij, i= 1,∙ ∙ ∙, n). On écrira ainsi
M= (m1,∙ ∙ ∙, mn).
On remarquera quemijest indifféremment le coefficient en ligneiet colonnejde Mainsi que lai-ième composante demj. On identifiera une matrice colonnemet le n n vecteur deRdont les composantes dans la base canonique deRsont les coefficients n dem. On notek kla norme euclidienne deRetx.yreprésente le produit scalaire n n euclidien de deux vecteurs deR. On noteSla sphère unité deR, c’est-à-dire
S={x /kxk= 1}.
Pour une matriceMMn, n(R), pourietjéléments de{1,∙ ∙ ∙, n}, on noteM(i|j) la matrice obtenue en supprimant deMlai-ème ligne et laj-ième colonne. Pour un vecteur colonnem,m(j)représente le vecteur colonnemduquel on a ôté laj-ième composante. SoitQune matrice symétrique réelle deMn,n(R). On noteBQla forme bilinéaire n associée : pour toutxetydeR,
BQ(x, y) =Qx.y,
et on noteΦQla forme quadratique associée :ΦQ(x) =BQ(x, x). n Définition 1.SoitVun sous-espace vectoriel deR, on dira queΦQest définie positive (respectivement positive, respectivement définie négative) surVlorsque ΦQ(x)>0pour toutxappartenant àVS + (respectivementΦQ(x)>0, respectivementΦQ(x)<0). On noteraV(respectivement +V, respectivementV) l’ensemble des sous-espaces vectoriels sur lesquelsΦQest définie 0 positive (respectivement positive, respectivement définie négative). On pose rQ) =max (dimV)etsQ) =max (dimV), +VVVV avec la convention quemaxV∈∅dimV= 0.
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I Permanents Définition 2.PourM= (m1, . . . ,mn)Mn, n(R), on définit son permanent, noté per, par   n per :Mn,1(R)−→R X (m1, . . . ,mn)7m1σ(1)m2σ(2). . . m(n). σSn On tiendra pour acquis que la formeperest multilinéaire et symétrique, c’est-à-dire invariante par permutation des vecteurs.
1. Établirpour tousm1, m2,∙ ∙ ∙, mnéléments deMn,1(R), l’inégalité n Y |per(m1,∙ ∙ ∙, mn)|6n!kmjk. j=1   n 2.Pour(m1,∙ ∙ ∙, mn)et(r1, r2∙ ∙ ∙, rn)éléments deMn,1(R), établir l’inégalité suivante : |per(m1,∙ ∙ ∙, mn)per(r1,∙ ∙ ∙, rn)| n X 6n!km1k. . .kmj1k kmjrjk krj+1k. . .krnk, j=1 où l’on convient que
km1k. . .kmj1k= 1pourj= 1etkrj+1k. . .krnk= 1pourj=n.
3. Montrerla propriété suivante : pour toutjIn, n  X perM=mijperM(i|j).(1) i=1 II Formesquadratiques Dans toute cette partie,Qest une matrice symétrique réelle inversible. On note sp(Q) = (λ1,∙ ∙ ∙, λn)la suite de ses valeurs propres répétées selon leur multiplicité, +n(Q)le nombre de termes strictement positifs danssp(Q)etn(Q)le nombre de termes strictement négatifs danssp(Q).
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+4.SoitHV0etGV, montrer queHetGsont en somme directe et que rQ) +sQ)6n.
+ 5. MontrerquerQ)>n(Q). OnaalorsdemmesQ)>n(Q).
+6. MontrerquerQ) =n(Q)et quesQ) =n(Q).
SoitRune autre matrice symétrique réelle inversible de taillentelle qu’il existe n une constanteκsatisfaisant la propriété suivante : pour toutxetydeR, |BQ(x, y)BR(x, y)|6κkxk kyk.
7. Montrerqu’il existeδ >0tel querQ) =rR)siκ6δ.
III Espacesde Lorentz Définition 3.SoitQMn,n(R),une matrice symétrique etΦQla forme quadratique n associée. On dit que(R, Q)est un espace de Lorentz lorsque les propriétés suivantes sont vérifiées : i)Qest inversible, ii)rQ) = 1etsQ) =n1. n On suppose dans cette partie queQMn,n(R)est telle que(R, Q)soit un espace n de Lorentz. Soitaun vecteur tel queΦQ(a)>0etbR. Soit l’applicationϕdéfinie par ϕ:R−→R ρ7ΦQ(b+ρa).
8.On suppose, dans cette question, queaetbsont linéairement indépendants. Montrer qu’il existe au moins une valeur deλtelle que ϕ(λ)<0.
9. Établirla propriété : 2 BQ(a, b)>ΦQ(aQ(b), avec égalité si et seulement siaetbsont colinéaires. On pourra s’inspirer de la preuve de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
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(2)
IV Inégalitéd’Alexandrov On veut maintenant établir le théorème suivant. On note(e1,∙ ∙ ∙, en)la base n canonique deR. n Théorème 1.Soitnun entier supérieur à2. Soitm1,∙ ∙ ∙, mndes éléments deRà composantes strictement positives. SoitQla matrice symétrique dont les coefficients sont définis par qij= per(m1, m2,∙ ∙ ∙, mn2, ei, ej), iIn, jIn SoitBQetΦQles formes bilinéaires et quadratiques associées àQrespectivement. n L’espace(R, Q)est un espace de Lorentz.
10. CalculerrQ)etsQ)pourn= 2, c’est-à-dire pour  ! 0 1 Q=. 1 0
On suppose le théorème 1 établi pour toutk6n1.
11. Établirpour toutjdeInl’inégalité :   2 per(m1,∙ ∙ ∙, mn3, mn2, c,ej) >per(m1,∙ ∙ ∙, mn3, mn2, mn2, ej) ×per(m1,∙ ∙ ∙, mn3, c, c,ej),(3) avec égalité si et seulement sic(j)etmn2(j)sont colinéaires.
n Dans les questions 12 et 13,cest un élément deRtel queQc= 0.
12. Établirl’identité : n X 0 =Qc.c=mj,n2per(m1,∙ ∙ ∙, mn3, c, c, ej) j=1
13. Montrerque pour toutjIn,
per(m1,∙ ∙ ∙, mn2, c, ej) = 0etper(m1,∙ ∙ ∙, mn2, mn2, ej)>0.
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14. EndéduireQc= 0si et seulement sic= 0.
P n Soite= i=1ei,pour toutθappartenant à[0,1], on pose
Bθ(x, y) = per(θm1+ (1θ)e,∙ ∙ ∙, θmn2+ (1θ)e, x, y).
On noteQθetΦθla matrice symétrique et la forme quadratique associées à la forme bilinéaire symétriqueBθ.
15. ExpliciterQ0. Montrer que ses valeurs propres sont(n1)!et(n2)!et que
r= 1(Φ )ainsi ques(Φ )=n1. Q0Q0
0 16. Soitθetθdeux éléments distincts de[0,1]. Montrer que, pour toutxet touty n deR,
n2 Y 0 |Bθ(x, y)Bθ(x, y)|6n n!|θθ| kxkkyk(kmjk+n). 0 j=1
17. ÉtablirquerQ1) = 1etsQ1) =n1.
On pourra raisonner par l’absurde et considérerτ= supθ[0,1]{θ / rQθ) = 1}.
18.Établir l’inégalité d’Alexandrov qui stipule que pourm1,∙ ∙ ∙, mn1vecteurs de n n Rà coordonnées strictement positives etbvecteur quelconque deR,   2 per(m1,∙ ∙ ∙, mn1, b)>per(m1,∙ ∙ ∙, mn1, mn1) per(m1,∙ ∙ ∙, b, b).
Fin du problème
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