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A 2010 MATH I PC
´ ECOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH ´ MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY, ´ ´ TELECOMBRETAGNE,ENSAEPARISTECH(Filie`rePC). ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS 2010
` ´´ PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Fili`erePC
(Dur´eedel´epreuve:troisheures) Sujetmisa`ladispositiondesconcours: Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Lescandidatssontprie´sdementionnerdefa¸conapparente surlapremi`erepagedelacopie:
´ MATHEMATIQUES I - PC
L´enonce´decettee´preuvecomporte6pagesdetexte.
Si,aucoursdel´epreuve,uncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreurd´enonc´e,il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives quilestamen´e`aprendre.
The´ore`medelaLimiteCentrale.
Notations On introduit les trois espaces vectoriels surRde fonctions suivants C0(R), l’espace des fonctions continuesudeRdansRtelles que limu(xlim) = 0 =u(x). x→−∞x+On rappelle qu’une telle fonctionuur´etnssceesnrobsee´eriatnemR. ∞ ∞ C(R), l’espace des fonctions continues et de classeC(surR)udeRdansR 0 telles que (k) (k) kN,limu(xlim) = 0 =u(x). x→−∞x+(k) Onanot´euvie´´dree`emkei-delau. P(Rderensbpoae)s,´lenofsedecocsnoitcspueinntesivitosRdansRdont linte´gralesurRegale`a1.est´ On munitC0(R) de la norme de la convergence uniformekkuortnp,´emeecisspr´:plu toute fonctionu∈ C0(R), on pose kuk= sup|u(x)|. xR
Onpourrautiliserlibrementlethe´ore`medeFubiniadmisci-dessous : The´or`eme1.(Fubini) Soit(x, y)7→F(x, y)une fonction continue deR×Rdans R.On suppose queFsiortseleire´vt´essuivpropri´enaet.s R R ++1]Pourtousre´elsx, y,leeusdselatnixrge´|F(v, y)|dvet|F(x, t)|dtconvergent. −∞ −∞ R RR +++2] Lesfonctionsy7→ |F(x, y)|dx,x7→ |F(x, y)|dy,y7→F(x, y)dx, −∞ −∞−∞ R +x7→F(x, y)dysont toutes continues surR. −∞ R +3]y7→ |F(x, y)|dxrelusrgbant´eestiR,etsclarg:eiel´entdi`aqure −∞ Z Z ++|F(x, y)|dx dy −∞ −∞ converge. R R ++Alors dans ce cas,y7→F(x, y)dxetx7→F(x, y)dyblesegrasurni´tostn −∞ −∞ R,uretlsrue´tniargesselRutintervertirlestdueeuxremtnid,tnoepst´onaleg.Aes int´egrales: Z ZZ Z ++++F(x, y)dx dy=F(x, y)dy dx. −∞ −∞−∞ −∞
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I.Pr´eliminaires Pourfetgmevetiecsprentnaappraeta`tnP(R) etC0(Rrodutlepeniond´,)tied convolutionfgpar la formule Z +xR, fg(x) =f(t)g(xt)dt. −∞ Ond´enitfg(xrofemeˆmiselum)parlaf∈ C0(R) etg∈ P(R). R +Q1Soientf∈ P(R) etg∈ C0(R).Moraletr´qeugenltirnef(t)g(xt)dtconverge −∞ pourtoutr´eelx. Puis montrer quefgnoitunsenotcoicnnitunefurd´eR.(On R pourrautiliserlethe´ore`medecontinuite´souslesigneetonve´rieraavecsoinque lesconditionsdevalidite´sontremplies).V´erierdeplusque xR, fg(x) =gf(x).
Q2Montrer quelimfg(xiternesueraud`erqneuleoceluqe´leisnocnO(.0=) x+(xn)nNtendant vers +quonpeuavecsoinreelhte´atppiluqedeme`roire´arevnO. convergencedomin´eepoure´tudierlimfg(xnmeˆmeuqe)).Merdeontr n+limfg(x) = 0. x→−∞ Q3Soientfetgapaaptrnena`tP(R).Montrer alors quefg´deinutnefonctionde P(RulP.´rpssiceeme´,mnttronquere)fginut´decnitenofntinoncoruesuR,ee´nro,b positiveetdint´egralee´gale`a1.(Onappliqueralethe´ore`medeFubini`alafonction (x, y)7→f(y)g(xyndcoeselquerierte]1snoitirrasnpou)etoen´vreedettnceno 3]). Danslasuiteonadmettraetutiliseralibrementlere´sultatsuivant.Sifetg appartiennenta`P(R) etuest une fonction deC0(R) alors, f(gu) = (fg)u.
Soientf1, . . . , fndes fonctions deP(Rtiedocvnlspeorudnitalor).Ond´enioutol f1. . .fnocecnerruce´rrapuit:mmes f1. . .fk= (f1. . .fk1)fk,k∈ {3, . . . , n}. Il est clair quef1. . .fnest une fonction deP(R). n Dans la suite, on noterafla fonctionf. . .f,la fonctionfintervenantnfois. II.Uneclassedope´rateurssurC0(R) Soitfune fonction deP(R´erateurocielopssaiulnO.)Tfagissant surC0(Rd´)niepour toutu∈ C0(R) par Tf(u) =fu. 3
Dapre`sQ1etQ2,Tfeedsmhidnutine´promodneC0(R). Q4Soitfune fonction deP(R). Prouver que pour toutu∈ C0(R), kTf(u)k≤ kuk. Q5Soientfetgdeux fonctions deP(R).Prouver que pour toute fonctionudeC0(R), TfTg(u) =TgTf(u) o`uTfTgalocpmsoe´desepo´erateursesd´neigTfetTg. Q6Soientf1,f2,g1,g2des fonctions deP(R). Prouver que pour toutu∈ C0(R), kTf1Tf2(u)Tg1Tg2(u)k≤ kTf1(u)Tg1(u)k+kTf2(u)Tg2(u)kQ7Soientfetgdes fonctions deP(R). Prouver que siu∈ C0(R), alors pour tout nN, n n k(Tf) (u)(Tg) (u)knkTf(u)Tg(u)k. III. Lois normales Onintroduitpourtoutre´elh >0, la fonction 2 1x 2 gh(x) =e ,xR 2h h2π diteloinormaledeparame`treh. On admet queg1est une fonction deP(R). Q8ouPlee´rtuotrh >0, montrer queghest une fonction deP(R), puis calculer les deuxinte´gralessuivantes: Z Z ++2 xgh(x)gdx, xh(x)dx . −∞ −∞
Soienth1>0 eth2>tcirnemesoptfitiOns.meadratte:qudeux0lsstr´ee gh1gh2=gh, p 2 2 ou`h=h+h . 1 2 Q9Soith >0.eusdleirbltaEaviusse´tilage´xerateop´entrntes:uesr  n nN, T=Th=Tn. ghgh n(g) n IV. Convergence faible surP(R) D´enition:Soit (fn)nNune suite de fonctions deP(R). On dira que (fn) converge faiblement versf,fdetionofcnutentena´P(R), si pour toute fonctionudeC0(R), limkTfn(u)Tf(u)k= 0. n+4