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A MATH I PSI

6 pages
Niveau: Supérieur

  • concours d'entrée


A 2006 MATH. I PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2006 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PSI. L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

  • solution générale du système di?érentiel

  • disposition des concours

  • équation di?érentielle linéaire d'ordre


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pageAin2006?reMAanTHe.signaleIINT,PSId?COLETIQUESNAauTIONALEerreurDcompESdesPONTSinETpri?sCHteAcopieUSS?ES.L'?nonc??COLESpagesNAe,TIONALESsemSUP?RIEURESc?DEetL'A?RtONAestUTIQUE:ET,DELesL'ESPsonAmenCE,fa?onDElaTECHNIQUESlAMAV-ANC?ES,cetteDESorteT?L?COMMUNICAtexte.TIONS,deDEScandidatMINESquiDE?trePoARIS,ilDESsaMINESoursuitDEenSAINT-?TIENNE,raisonsDESesMINES?DEconcoursNANCY,ENSTIM,DESTPE-EIVPT?L?COMMUNICACycleTIONSternationalDEcBRETdidatsAtGNE.de?COLEtionnerPOLeYTECHNIQUEapparen(Fili?resurTSI).premi?reCONCOURSdeD'ADMISSIONa2006:PREMI?RETH?MA?PREUVEIDPSI.EdeMA?preuvTH?MAcompTIQUES6Fili?redePSISi,(coursDur?el'?preuvdeunl'?reppreuvceelui:ble3uneheuresd'?n)nL'usage,d'ordinleateursuroucopiedepcalculettesaestositioninexpliquanterdit.lesSujetdesmisitiativ?qu'illaamen?dispprendre.ositionz > 0
Z

z−1 −tΓ(z) = t e t.
0
z Γ(z +1) = zΓ(z)
Z 1 Γ(α)Γ(β)
α−1 β−1u (1−u) du = ,
Γ(α+β)0
α > 0 β > 0
z
α β
α−1 β−1 −ztt7−→ t (1+t) e
+IR
z
α, β
α−1 β−1 −ztt7−→ (−t) (1+t) e ,
]−1,0[
α > 0 β > 0
Z +∞
α β −ztK(z) = t (1+t) e t,
0
Z +∞
α−1 β −ztI (z) = t (1+t) e t,1
0
Z +∞
α β−1 −ztI (z) = t (1+t) e t.2
0
z
Fsurourlesestr?elsositif.iiltesttespunourourquequelaourfonctionCetteetpsuivdaneteserg?om?triquesr?elsdeuxtoustourelladmisfonctionqueppo:parlapfonctionteslesourettoutdesr?eltsusanstricstrictemenSoiteth..n?cessairespropri?t?ssoitr?elinot?grablesoitsureconditionsladesGammaD?terminerd?nieositif.dpttu.r?elOndxefonctionmainquetenanptetdeuxr?elsr?elssurmensusanen?cessairestconditions,D?terminerstricpr?elmenuntetr?elonoss?ded?nit1)lesypfonctionsonctions;I.Soitles2)d.pOntoutositif,strictemenrapppsurst?grabletifint2p∗I I IR1 2 +
0 0I =−K I =−K +I .21 2
zK = αI +βI1 2
!
I (z)1
I(z) =
I (z)2
∗R+
0I (z) =A(z)I(z),
A(z)
∗K R+
Z 0
α β −ztL(z) = (−t) (1+t) e t,
−1
Z 0
α−1 β −ztJ (z) =− (−t) (1+t) e t,1
−1
Z 0
α β−1 −ztJ (z) = (−t) (1+t) e t.2
−1
J , J , L1 2
I , I , K1 2 !
J1
J = I
J2
L K
queEnsyst?med?duirequesurrsatisfaittrerquetqueettrertMont,6)d?niesexplicitera.tl'onestqueetmatricelaunequeestm?mesleectivddvetecteurl'?quation5)vesttino?ablesetdu(E)tiel(S)oirsolutionexplicitera.une?quation?quationn4)satisfonMonlestrerrelationsquerespd'unemen.3)fonctionsMonlesqued?nitsonsyst?medansdi?ren(E),tielleOnecteurquestioncon3?men:d?rivdi?resur(trouvsolution?m?meMondi?rentrerqueque(vles(S))fonctionsquensatisfaittiellem?melin?airedi?d'ordree2tiellequel'ond?equela7)6).lin?airesurt > 0 z≥ 1

t β−2 |β−1|(1+t) , β≥ 2, β−1  zt
1+ −1 ≤