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A 2011MATH. II MP
COLE DES PONTS PARISTECH, SUPARO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TLCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-TIENNE, MINES DE NANCY, TLCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIREMP), COLE POLYTECHNIQUE (FILIRETSI).
CONCOURS 2011
DEUXIME PREUVE DE MATHMATIQUES
Filire MP
(Dure de l’preuve : 4 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : CYCLEINTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES II - MP.
L’nonc de cette preuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.
Sur le calcul des variations
Soit un intervalleIR, ni vide, ni rduit À un point, et un ensembleEde fonctionsf:IR. On se donne une applicationJ:ERdfinie au moyen d’une intgrale faisant intervenirfet ses drives. L’objectif de ce problme est d’tudier le minimum ventuel deJsurE: minJ(f), fE et de dterminer, dans certains cas particuliers, les pointsfdeEen lesquelsJ atteint son minimum. k k On noteEl’ensemble des fonctionsf: [0,1]Rde classeCtelles que a,b (k) f(0)=aetf(1)=b. La notationydsigne la drive d’ordrekde la fonctiony.
A. Prliminaire 4 2 1)On posej=exp(2iπ/3). Que vautj+j+1 ? On noteMn,p(C) l’espace vectoriel des matrices Ànlignes etpcolonnes surC et on considre la matriceAdeM4,4(C) suivante :   0 1 0 0 0 0 1 0 A= . 0 0 0 11 01 0 2)Proposer une matrice inversibleUet une matrice diagonaleDdeM4,4(C) 1 telles queU AU=D. La mthode choisie pour les obtenir doit tre explique. 3)En dduire les solutionsX:IM4,1(C) de l’quation diffrentielle 0 X=AX. (1) 4)Dterminer l’ensemble des solutionsy:ICde l’quation diffrentielle (4)00 y+y+y=0 (2) et prciser parmi ces solutions celles qui sont À valeurs dansR. On pourra considrer le vecteur   y 0 y Y= . 00 y(3) y
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B. Unlemme de du Bois-Reymond 2 3 5)On considre la fonctionh:RRdfinie parh(t)=(1t) si|t| É1 2 eth(t)=0 sinon. Montrer quehC(R,R) et reprsenter son graphe. La 3 fonctionhest-elle de classeCsurR? 6)Soitx0,x1des nombres rels tels quex0<x1. Construire À partir dehune 2 fonctiongC(R,R) vrifiantg(x)>0 pour toutx]x0,x1[ etg(x)=0 ailleurs. Z 1 0 2 7)SoitFC([0,1],R) telle queF(x)u(x) dx=0pour toutuE. D-0,0 0 montrer qu’alorsFest nulle.
C. Unecondition ncessaire d’Euler-Lagrange 2 Dans cette partie, on prendE=Epour un couple donn (a,b) de nombres a,b rels. La fonctionJest dfinie surEpar la formule Z 1 £ ¡¢ ¡¢¤ 0 J(f)=P f(x)+Q f(x) dx, 0 P,QR[X] sont des polynÔmes fixs. Soitf0E. On se propose de prouver que siJ(f0)ÉJ(f) pour toutfE, 2 alorsf0vrifie une certaine quation diffrentielle. SoituE. 0,0 8)Montrer que l’applicationqdfinie surRpar la formule q(t)=J(f0+t u) est polynomiale, c’est-À-dire qu’il existe une famille finie (a0,a1, . . . ,ar) de r P k nombres rels telle queq(t)=aktpour touttR. Expliciter le coef-k=0 ficienta1sous la forme d’une intgrale faisant intervenir les polynÔmes 0 0 drivsPetQ. 9)On suppose que pour toutfE,J(f0)ÉJ(f). Montrer qu’alorsa1=0 et en dduire l’quation diffrentielle : ¡ ¢d£ ¡¢¤ 0 00 x[0, 1],P f0(x)=Q f(x() .Δ) 0 dx Exemples Z 1 202 Premier exemple.On choisitE=EetJ=J1dfinie parJ1(f)=(f(x)) dx. 0,1 0
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10)Former l’quation diffrentielle (Δ) correspondante. Parmi ses solutions, 2 prciser celles qui appartiennent ÀE. 0,1 2 11)Montrer queJ1admet un minimum surE, prciser sa valeur ainsi que les 0,1 2 points deEoÙ ce minimum est ralis. (On pourra s’aider de l’ingalit 0,1 de Cauchy-Schwarz.) 2 DeuxiÈme exemple.On choisitE=EetJ=J2dfinie par 0,0 Z 1 ¡ ¢¡ ¢ 2 3 0 0 J2(f)=f(x)+f(x) dx. 0 12)Former l’quation diffrentielle (Δ) correspondante. Parmi ses solutions, 2 montrer que seule la fonction nulle appartient ÀE. 0,0 2 13)Montrer queJ2n’admet pas de minimum surE. (On pourra se servir de 0,0 2 la fonctionf1] par la formuledfinie sur l’intervalle [0,f(x)=x(1x).)
D. Unexemple avec drive seconde 4 Dans cette partie,Edsigne l’ensemble des fonctionsfC(R+,R) telles que 2002 fet (f) soientintgrables surR+. On rappelle que l’ensemble des fonctions 0 2 gC(R+,R) telles quegsoit intgrable surR+est unR-espace vectoriel, que 2 l’on noteL. Dans les deux questions suivantes, on considrefE. 00 0 14)Montrer que le produitf fest intgrable surR+et quef(x)f(x) ne tend pasvers+∞quandx→ +∞. 020 15)En dduire quefL, puis quef(x)f(x)0 quandx→ +∞. Dans cette partie, la fonctionJest dfinie par Z +∞ £ ¤ 202002 J(f)=(f(x))(f(x))+(f(x)) dx. 0 Par un raisonnement identique À celui de la partie C, on peut montrer, et on l’admettra, que si la fonctionJprsente un minimum en un lmentfdeE, (4)00 alorsfest solution surR+de l’quation (2) :y+y+y=0 . 16)Dterminer les solutions de (2) qui appartiennent ÀE. (On pourra d’abord 2 tudier leur appartenance ÀL.) On notee1ete2les fonctions dfinies surR+par les formules p p ³ ´³ ´ 3 3 t/2t/2 e1(t)=e costete2(t)=e sint. 2 2
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Un calcul montre, et on l’admettra, que pour tous relsαetβ, p 2 2 α3β αβ3 J(αe1+βe2)= ++. 4 42 On pose galement, pour touttR+, p ³ ´ 3π t/2 ψ(t)=e sint. 2 3 17)On suppose, dans cette question, que la fonctionJprsente un minimum en un lmentfdeE. Montrer quefest solution surR+de l’quation 00 0 y+y+y=0. Montrer par ailleurs qu’il existeλRtel quef=λψ. 18)Montrer que pour toutfEet tout relA>0, Z Ah i ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ 2 22 0 00 f(x)f(x)+f(x) dx 0 Z A £ ¤¡ ¢¡ ¢ 2 22 0 000 0 =f(x)+f(x)+f(x) dx+f(0)+f(0)f(A)+f(A) . 0 ¡ ¢ 2 0 Quel est le comportement def(A)+f(A) lorsqueA→ +∞? En dduire que la fonctionJadmet effectivement un minimum au pointλψpour chaqueλR. 19)Indiquer comment le point de vue de la question prcdente permet de retrouver directement toutes les fonctionsf0Etelles queJ(f0)= minJ(f), sans passer par l’quation diffrentielle (2). fE
E. Application: une ingalit de Hardy et Littlewood 2 On reprend les notations de la partie prcdente, et pour toutgL, on note s Z +∞ ¡ ¢ 2 kgk =g(x) dx. 0 20)Montrer que pour toutfE, 0200 kfk É2kfk ∙ kfk. On pourra poserfµ(x)=f(µx) et utiliser le fait queJ(fµ)Ê0, pourtout relµ>0. 21)Dterminer tous les cas d’galit dans l’ingalit prcdente. FIN DU PROBLME
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