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A 2009MATH. II MP
COLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSES. COLES NATIONALES SUPRIEURES DE L’ARONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCES, DES TLCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-TIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TLCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. COLE POLYTECHNIQUE (Filire TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2009
DEUXIME PREUVE DE MATHMATIQUES
Filire MP
(Dure de l’preuve : 4 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES II - MP.
L’nonc de cette preuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les rai-sons des initiatives qu’il est amen À prendre.
ThÉorÈme de Mntz
On dsigne parCl’espace vectoriel des fonctions relles continues([0, 1]) λ sur [0, 1]. Pour toutλÊ0, on noteφλl’lment deC([0, 1]) dfini parφλ(x)=x. 0 Par convention on a pos 0=1 de sorte queφ0est la fonction constante 1. Soit (λk)kNune suite de relsÊ0 deux À deux distincts. On noteWle sous-espace vectoriel deC([0, 1])engend lle(φme r la famiλk)kN. Le but du probl est d’tablir des critres de densit de l’espaceWdansCpour l’une ou([0, 1]) l’autre des deux normes classiquesNouN2dfinies par : µZ ¶ 1 12 2 N(f)=sup|f(x)|etN2(f)= |f(x)|d x. x[0,1] 0
La question prÉliminaire et les parties A, B, C et D sont indÉpendantes les unes des autres.
Question prliminaire 1)Montrer que (φλ)λÊ0est une famille libre deC([0, 1]).
A. Dterminantsde Cauchy On considre un entiern>0 et deux suites finies (a() etb) de k1ÉkÉn k1ÉkÉn rels telles queak+bk6=0 pour toutk{1, 2, . . . ,n}. Pour tout entiermtel que 0<mÉn, ledÉterminant de Cauchyd’ordremest dfini par : 1 11 ∙ ∙ ∙ a1+b1a1+b2a1+bm 1 11 ∙ ∙ ∙ a2+b1a2+b2a2+bm Dm=. . .. 1 11 ¯¯ ∙ ∙ ∙ am+b1am+b2am+bm On dfinit la fraction rationnelle : n1 Y (Xak) k=1 R(X)= ∙ n Y (X+bk) k=1
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n X Ak 2)Montrer que siR(X) est de la formeR(X)=, alors X+bk k=1 AnDn=R(an)Dn1. On pourra pour cela considrer le dterminant obtenu À partir deDnen remplaÇant la dernire colonne par   R(a1) R(a2) .   . R(an) 3)En dduire que Y (ajai)(bjbi) 1Éi<jÉn Dn=Y(ai+bj) 1ÉiÉn 1ÉjÉn
B. Distanced’un point À une partie dans un espace norm SoitEun espace vectoriel norm par une normek ∙ k. On rappelle que la distance d’un lmentxEÀ une partie non videAdeEest le rel notd(x,A) dfini par : d(x,A)=infkxyk. yA 4)Montrer qued(x,A)=0 si et seulement sixest adhrent ÀA. 5)Montrer que si (An)nÊ0est une suite croissante de parties deEet si S A=nÊ0Analorsd(x,A)=limnd(x,An). On considre un sous-espace vectorielVdedimension finiedeE, et on note B={y;kyxk É kxk}. 6)Montrer queBVest compacte et qued(x,V)=d(x,BV) pour tout xE. 7)En dduire que pour toutxE, il existe un lmentyVtel que d(x,V)= kxyk.
C. Distanced’un point À un sous-espace de dimension finie dans un espace euclidien Dans cette partie, on suppose que la norme sur l’espace vectorielEest d-p finie À partir d’un produit scalaire (∙|∙) surE:kxk =(x|x).
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8)Montrer que siVest un sous-espace vectoriel dedimension finiedeE, alors pour toutxE, la projection orthogonale dexsurVest l’unique lmentyVvrifiantd(x,V)= kxyk. n Pour tout suite finie (x1,x2, . . . ,xn)Eon dsigne parG(x1,x2, . . . ,xn) le dter-minant de lamatrice de Gramd’ordrendfinie par :   (x1|x1) (x1|x2)∙ ∙ ∙(x1|xn) (x2|x1) (x2|x2)∙ ∙ ∙(x2|xn) M(x1,x2, . . . ,xn)=.   . .. (xn|x1) (xn|x2)∙ ∙ ∙(xn|xn) 9)Montrer queG(x1,x2, . . . ,xn)=0 si et seulement si la famille (x1,x2, . . . ,xn) est lie. 10)On suppose que la famille (x1,x2, . . . ,xn) est libre et l’on dsigne parV l’espace vectoriel qu’elle engendre. Montrer que, pour toutxE, G(x1,x2, . . . ,xn,x) 2 d(x,V)= ∙ G(x1,x2, . . . ,xn)
D. Comparaisondes normesNetN2 2 Pour toute partieAdeCon note([0, 1])AetAles adhrences deApour les normesNetN2, respectivement. PourfC([0, 1])la notationd(f,A) d-signe toujours la distance defÀA relativement À la norme N2(on ne consid-rera jamais, dans l’nonc, la distance d’un lment À une partie relativement À la normeN). 11)Montrer que pour toutfC([0, 1]),N2(f)ÉN(f). En dduire que pour 2 toute partieAdeC([0, 1])on aAA. © ª On considre l’ensembleV0=fC;([0, 1])f(0)=0 ,et on rappelle queφ0 dsigne la fonction constante 1. 2 12)Montrer queφ0V0. 13)En dduire queV0est dense dansC([0, 1])pour la normeN2, mais n’est pasdense pour la normeN. 14)Montrer que siVest un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel norm, alors son adhrenceVest galement un espace vectoriel. 15)Montrer qu’un sous-espace vectorielVdeC([0, 1]) est dense pour la norme Nsi et seulement si pour tout entiermÊ0,φmV. 16)En dduire qu’un sous-espace vectorielVdeCest dense pour la([0, 1]) 2 normeN2si et seulement si pour tout entiermÊ0,φmV.
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E. Uncritre de densit deWpour la normeN2 Pour toutnN, on noteWnl’espace vectoriel engendr par la famille finie (φλ)0ÉkÉn. k 17)Montrer que l’espaceWest dense dansC([0, 1])pour la normeN2si et seulement si limnd(φµ,Wn)=0 pour tout entierµÊ0. 18)Montrer que pour toutµÊ0, n Y 1|λµ| k d(φµ,Wn)=p. 2µ+1λk+µ+1 k=0 ³ ´ |λkµ| 19)Montrer que pour toutµÊ0, la suitetend vers 1 si et kN λk+µ+1 seulement si la suite (λk)kNtend vers+∞. (On pourra pour cela tudier les variations de la fonction µx x[0,µ]7→ ∙) x+µ+1 20)En dduire que l’espaceWest dense dansC([0, 1])pour la normeN2si et X 1 seulement si la srieest divergente. λ k k
F. Uncritre de densit deWpour la normeN21)Montrer que siWest dense dansC([0, 1]) pour la normeN, alors la srie X 1 est divergente. λ k k P n lment q 22)Soitψ=akφλkdeun uelconqueWn. Montrer que siλkÊ1 k=0 pour toutk{0, 1, . . . ,n}, alors pour toutµÊ1, on a : n ¡ X¢ N(φµψ)ÉN2µφµ1akλkφλk1. k=0 23)On suppose que la suite (λk)kNvrifie les deux conditions suivantes : ( (i) :λ0=0 (ii) :λkÊ1 pour toutkÊ1. X 1 Montrer que sous ces conditions, si la srieest divergente, alorsW λ k k est dense dansCpour la norme([0, 1])N. 24)Montrer que la conclusion prcdente est encore valable si on remplace la condition (ii) par la condition plus faible : 0 (iiinf) :λk>0. kÊ1 FIN DU PROBLME
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