A MATH II PC

Description

Niveau: Supérieur
A 2010 MATH II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2010 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : trois heures) Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• image de l'application


• analogue complexe suivant du théorème de rolle


• application de cn?1


• polynôme dérivé


• zi ?


• coefficients complexes de degré inférieur


• telecom paristech


• complexe des polynômes

Sujets

• École polytechnique
• Télécom Bretagne
• Télécom ParisTech

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
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• Langue: Français

Extrait

A 2010 MATH II PC

éCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT éTIENNE, MINES DE NANCY, TéLéCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FiliÈre PC). éCOLE POLYTECHNIQUE (FiliÈre TSI).

CONCOURS 2010

SECONDE ÈPREUVE DE MATHÈMATIQUES

Filire PC

(Dure de l’preuve : trois heures) Sujet mis À la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :

MATHÈMATIQUES II - PC

L’nonc de cette preuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l’Épreuve, un candidat repÈre ce qui lui semble tre une erreur d’ÉnoncÉ, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amenÉ À prendre.

ThÉorÈme de Rolle dans le cas complexe .

Dans ce problÈme on se propose de prouver l’analogue complexe suivant du thÉorÈme de Rolle : ThÉorÈme 1.Soientaetbdeux nombres complexes distincts etnun entier >2.SoitP(X)∈C[X]un polynÔme de degrÉntel queP(a) =P(b). Le 0 0 polynÔme dÉrivÉP(X)dePpossÈde alors au moins un zÉroz 0 (ieP(z 0 ) = 0) dans le disque n o a+b D a,b;n =z∈C;|z− |6R n (a, b), 2 oÙ π |a−b| cos( ) n R n (a, b) =. π 2 sin() n N X l 0 SoitP(X) =u l X∈C[X],le polynÔme dÉrivÉP(X)deP(X), est l=0 donnÉ par : N−1 X 0l P(X) =u l+1 (l+ 1)X . l=0   n n ! Pourk∈ {0, . . . , n}.le coefficient binomial, dÉsigne k(n−k)!k! A. DÉfinitiondeA z P(X). On noteC n [X]l’espace vectoriel complexe des polynÔmes À coefficients complexes de degrÉ infÉrieur ou Égal Àn.SoitP∈C n [X]etz∈C.On dÉfinit le polynÔmeA z P∈C[X]par la formule : 0 A z P(X) = (z−X)P(X) +nP(X). Cette dÉfinition deA z dÉpend donc de l’espace de dÉpartC n [X]. 1)VÉrifier queA z dÉfinit une application linÉaire deC n [X]versC n−1 [X]. 2)Soientz 1 , z 2 ∈CetP∈C n [X]. Prouver que :    A z 1 A z 2 P(X) =A z 2 A z 1 P(X), oÙ dans la compositionA z 1 ◦A z 2 (du membre de gauche),A z 2 est vu comme application deC n [X]versC n−1 [X]etA z 1 est vu comme ap- plication deC n−1 [X]versC n−2 [X]. Pareillement, dans la composition 2

A z 2 ◦A z 1 (du membre de droite),A z 1 est vu comme application de C n [X]versC n−1 [X]etA z 2 est vu comme application deC n−1 [X]vers C n−2 [X]. 3)Pourz∈C, dÉterminer l’ensemble desP∈C n [X]tels queA z P(X)soit le polynÔme nul. (On pourra utiliser la famille formÉe par les polynÔmes k (X−z),06k6n). DÉterminer alors l’image de l’application A z :C n [X]7→C n−1 [X].

4)Soitz∈C.DÉterminer les valeurs propres et sous espaces propres de c l’endomorphismeA z deC n [X]dÉfini par : 0 c ∀P∈C n [X], A z (P)(X) = (z−X)P(X) +nP(X). c Montrer queA z est diagonalisable. 5)On conserve les notations de la question prÉcÉdente. SoitEun endo- c morphisme deC n [X]commutant avecA z . Montrer qu’il existeQ∈ c C n [X]tel queQ(A z ) =E.(On pourra utiliser un polynÔme associÉ À une interpolation de Lagrange convenable).

B. DÉfinitiondeδ ξ . On considÈre la bijectionf: f:C\ {0→−}C\ {0} 1 z∈C\ {0} 7→=f(z) z 2 On se place dans le plan euclidienRidentifiÉ ÀC.On dÉsignera parC un cercle (de centrez 0 et de rayonRnon nul) deC: C={z∈C,|z−z 0 |=R}. −+ On notera respectivementCetCl’intÉrieur gÉomÉtrique et l’extÉrieur gÉomÉtrique deC. Plus prÉcisÉment : −+ C={z∈C,|z−z 0 |< R},C={z∈C,|z−z 0 |> R}. 6)SoitCun cercle de centrez 0 et de rayonR >0tel que l’origine0 +iα appartient ÀC.On posez 0 =reoÙr∈]R,+∞[etα∈R.Prouver quef(C)est un cercle dont on prÉcisera le centre et le rayon en fonction + der, α, R.VÉrifier en outre que l’origine0appartient Àf(C).(On pourra partir de 2 (z−z 0 )(z−z 0 ) =zz−z 0 z−zz 0 +z 0 z 0 =R .)

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7)On conserve les hypothÈses et notations de la question prÉcÉdente. − − Prouver quef(C) =f(C).C’est À dire queftransforme l’intÉrieur du cercleCen la totalitÉ de l’intÉrieur du cerclef(C)(on pourra utili- − ser le faitadmissuivant. Un pointudeC\ {0}appartient ÀCsi et seulement si la demi-droiteD u issue de0et passant parurencontreC en deux points distinctsA, Btels queuappartient au segmentouvert ]A, B[. On pourra alors considÉrerf(D u )).

Soientz 1 ,∙ ∙ ∙, z n ∈C, non nÉcessairement deux À deux distincts. n X 1 1 Soitξ∈C\ {z i , i∈ {1,∙ ∙ ∙, n}}esttel quenon nul. On n z i −ξ i=1 considÈrealorsle nombre complexeδ ξ dÉfini par n X 1 11 =.(1) δ ξ −zξ n i −ξ i=1

− 8)SoitCun cercle tel que{z i , i∈ {1,∙ ∙ ∙, n}} ⊂ C.Montrer que si +− l’origine0appartient ÀCalorsδ 0 est bien dÉfini et appartient ÀC n X 1 − (on pourra commencer par prouver quef(z i )appartient Àf(C)). n i=0 − 9)SoitCun cercle tel que{z i , i∈ {1,∙ ∙ ∙, n}} ⊂ C.Montrer que si +− ξ∈ Calorsδ ξ est bien dÉfini et appartient ÀC.

C. Conditiond’apolaritÉ. Dans cette partie,z 1 ,∙ ∙ ∙, z n dÉsignerontnnombres complexes non nÉ- cessairement deux À deux distincts. n Y 10)SoitP(X() =X−z i )un polynÔme deC n [X]et i=1 ξ∈C\ {z i , i∈ {1,∙ ∙ ∙, n}}. 0 P(ξ) 1 Exprimer enfonction des(16i6n).En dÉduire que si P(ξ)ξ−z i 0 P(ξ)est non nul alors P(ξ) δ ξ =ξ−n 0 P(ξ) oÙδ ξ est dÉfini par (1). 4

n Y 11)SoitP(X() =X−z i )∈C[X]etz∈C\ {z i , i∈ {1,∙ ∙ ∙, n}}. i=1 Montrer que l’ensemble des zÉrosξ∈CdeA z P(X)est la rÉunion des deux ensembles suivants : 0 –{z i ,16i6n, P(z i ) = 0}. –{ξ∈C\ {z i , i∈ {1,∙ ∙ ∙, n}}, δ ξ =z},oÙδ ξ est dÉfini par (1). 12)On conserve les notations de la question prÉcÉdente. Montrer que n X 1 z=z j n j=1 si et seulement si le degrÉ deA z P(X)est strictement infÉrieur Àn−1. n Y 13)On considÈre le polynÔmeP(X) =(X−z i )etz∈C.On suppose i=1 − ⊂ Cet qu’il existe un cercleC 1 tel que{z i , i∈ {1,∙ ∙ ∙, n}} 1 + z∈ C 1 ∪ C 1 . Prouver alors queA z P(X)estexactementde degrÉn−1. Puis prouver que lesn−1zÉros deA z P(X)(en comptant les multi- − plicitÉs) appartiennent tous ÀC(on pourra utiliser les questions 9 et 1 11). On considÈre deux polynÔmes deC[X]de degrÉn, n n Y Y 0 P(X) =u(X−z (X−z i ),etQ(X) =v i ), i=1i=1 ∗ 0 És ntrespec oÙu, v∈Cetz i , z i d ignetivement les zÉros deP(X)et Q(X). On dira quePestapolaire par rapport ÀQsiA z A z ∙ ∙ ∙A z P(X) = 0. 0 0 0 1 2 n Quand on Écrdan itA z A z ∙ ∙ ∙A z n s cet ordre on utilise la convention 0 0 0 1 2 dÉcrite dans la qcisÉment estvu comme ap-uestion 2. Plus prÉ,A z n 0 plication deC n [X]versC n−1 [X],A z est vu comme application de 0 n−1 C n−1 [X]versC n−2 [X],. . .,A z est vu comme application deC 1 [X]vers 0 1 AinsiA z A z ∙ ∙ ∙ C. 1 2 A z n P(X)est une constante. 0 0 0 14)On suppose quePest apolaire par rapport ÀQ. Montrer que siCest un − cercle tel que{z i , i∈ {1,∙ ∙ ∙, n}} ⊂ Calors il existei∈ {1,∙ ∙ ∙, n} 0 − tel quez∈ C(on utilisera la question prÉcÉdente). i Dans la suite, on fixea, bdeux points distincts deC.

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15)Montrer qu’il existeb 0 ,∙ ∙ ∙, b n−1 ∈Cque l’on calculera, tels que pour tout polynÔme du type    n−1n−1 n−2n−1 T(X) =a 0 +a 1 X+∙ ∙ ∙+a n−2 X+a n−1 X , 1n−2 R 1 on aitT(a+t(b−a))dt= 0    n−1n−1 n−1 a 0 b n−1 −a 1 b n−2 +a 2 b n−3 +∙ ∙ ∙+ (−1)a n−1 b 0 . 1 2

Avec les notations de la question prÉcÉdente, on fixenun entier supÉ- rieur ou Égal À deux et on pose    n−1n−1 n−2n−1 Δ(X) =b 0 +b 1 X+∙ ∙ ∙+b n−2 X+b n−1 X . 1n−2   n n 16)Montrer queΔ(X) =C n (X−a)−(X−b)oÙC n est une constante non nulle que l’on calculera.

SoitP(X)∈C n [X]de degrÉn>2tel queP(a) =P(b).On Écrit    n−1n−1 0n−2n−1 P(X) =a 0 +a 1 X+∙ ∙ ∙+a n−2 X+a n−1 X . 1n−2

On dÉsigne part 1 , t 2 , . . . , t n−1 les zÉros (comptÉs avec multiplicitÉ) de 0 a −1 n−1 n P(X).On admet que la constante(−1)A t 1 A t 2 . . . A t n−1 Δ(X) (n−1)! est Égale À :    n−1n−1 n−1 a 0 b n−1 −a 1 b n−2 +a 2 b n−3 +∙ ∙ ∙+ (−1)a n−1 b 0 . 1 2

0 17)Montrer queΔ(X)est apolaire par rapport ÀP(X)(on pourra utiliser la question 15). En dÉduire alors leThÉorÈme 1(on pourra appliquer la question 14).

Fin du problÈme

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