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A 2008MATH. IIPC
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2008
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L’énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble tre une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Stabilité d’un polynôme trigonométrique
Définition 1.On appelle polynôme trigonométrique toute fonctioncde la variable réellexde la forme X inx c(x) =cne n=−∞ où lescnsont des nombres complexes, tous nuls sauf un nombre fini d’entre eux. On appelle degré dec, notédegc, le plus petit entierKtel quecj= 0pour tout|j|> K. On désigne parEl’ensemble des polynômes trigonométriques; on tiendra pour acquis queEest unC-espace vectoriel stable par la multiplication des fonctions. Pour un nombre complexez,<(z)représente sa partie réelle et=(z)sa partie imaginaire.
I Stabilitéd’un polynôme trigonométrique 1. Montrerque l’on définit une norme surEen posant X kck=|cn| n=−∞ pour toutcE.
2. SoitcE, établir pour tout entierpde{−degc,∙ ∙ ∙,degc}, l’identité Z π 1 ipx cp=c(x)edx. 2ππ
3. Montrerque pour toutcE, on a sup|c(x)|6kck6(2 degc+ 1) sup|c(x)|. xRxR
Définition 2.On dira que le polynôme trigonométriquecest stable lorsque la suite k kckdes normes de ses puissances successives est bornée quandkdécritN.
4. Montrerque s’il existex0Rtel que|c(x0)|>1alorscn’est pas stable.
Le but de la suite de ce problème est de montrer que la condition|c(x)|61pour tout réelxn’est pas suffisante pour quecsoit stable. 2
II Unpolynôme trigonométrique particulier Dorénavant,αdésigne une constante réelle telle que0< α <1etadésigne le polynôme trigonométrique 2 2 a(x) =αcosxsinx+ 1α . Pour tout entierk>2, on noteak,nles nombres complexes tels que la puissancek-ième dea(x)s’écrive k X k inx a(x) =ak,ne . n=k
5. Établir,pour tout réelx, l’identité x 2 24 4 |a(x)|= 14(αα) sin2 En déduire queavérifie les propriétésa(0) = 1et|a(x)|<1pour toutx appartenant à]0, π].
6.Donner les développements limités à l’ordre4au voisinage de0des fonctionsget hdéfinies par  ! =(a(x)) 2 g(x) = ln(|a(x)|)eth(x) = arctan. <(a(x))
7. Endéduire que l’on a, au voisinage de0:, la relation suivante   3 24 αα αα 3 44 a(x) = expiα x+i xx+o(x). 6 8
Il existe donc trois réelsα,βetγstrictement positifs et une fonctionε: [π, π]C, tendant vers0quandxtend vers0tels que l’on ait, pour toutxdans un voisinage de0,   3 4 a(x) = expiαx+iβ xγx(1 +ε(x)).
1 On admet que la fonctionεest définie et de classeCsur[π, π]. Dans toute la suite, on posera    3 4 d(x) = expiαx+iβ xetb(x) = expγx(1 +ε(x)),
de sorte quea(x) =d(x)b(x)et|a(x)|=|b(x)|. 3
k III Majorationdes coefficients dea 2 Soit[r, s]un segment de longueur non nulle deR, soitfune fonction de classeC 0 surRà valeurs réelles. On suppose qu’il existeK >0tel que|f(t)|>Kpour tout 00 t[r, s]et que de plusf(t)>0pour toutt[r, s].
8. Montrerl’inégalité
Z 00 s f(t) 2 dt602 r(f(t))K
9. Enintégrant par parties l’intégrale Z s 1 0 f(t) cosf(t)dt, 0 rf(t) établir que Z s 4 cosf(t)dt6  rK
Dans les question 10 à 12,[u, v]désigne un segment de longueur non nulle deR 2 etfune fonction de classeCsur[u, v], à valeurs réelles. On suppose cette fois que 00 f(t)>M >0pour touttappartenant à[u, v]. 0 10. Onsuppose quef(u)>0. Établir, sur[u+ 2/ M, v], l’inégalité suivante 0 f(t)>2M .
11. Endéduire que
Z v 4 cosf(t)dt6√ ∙ M u
0 On admettra que le résultat est identique lorsquef(v)60.
0 0 12.On suppose quef(u)f(v)<0. Montrer qu’il existe un unique réelwde]u, v[tel 0 quef(w) = 0. En déduire que Z v 8 cosf(t)dt6√ ∙   M u
4
Dans les questions 13 et 14 ,ζdésigne un nombre réel,kun entier naturel non nul etJk,ζla fonction définie par Z x 3 Jk,ζ(xcos() =ζt+kβt)dt, 0 βest le nombre réel non nul défini après la question 7.
1/3 13. Montrer,pour toutxappartenant à[k ,π], l’inégalité : Z1/3 x 8k 3 cos(ζt+kβt)dt6√ ∙ 1/3 k6β
14.En déduire qu’il existe une constanteC1>0, indépendante deζetk, telle que pour toutxde[0, π]on ait la relation
1/3 |Jk,ζ(x)|6C1k .
On admet que l’on peut démontrer de la mme manière qu’il existe une constante C2, indépendante deketζ, telle que pour toutxde[0, π]:on ait la relation suivante Z x 31/3 sin(ζt+kβt)dt6C2k .(1)   0
15.Montrer qu’il existe une constanteλ >0telle que pour toutxde[π, π], on ait
4 |b(x)|6exp(λx).
16.Montrer qu’il existe une constanteC3>0telle que pour toutxde[π, π], on ait 03 |b(x)|6C3|x|.
17.À l’aide d’une intégration par parties et en utilisant les résultats précédents, montrer qu’il existe une constanteC4indépendante denet dektelle que pour tout entier non nulket pour tout entier relatifn:, on ait l’inégalité Z π 0k1/3 J(x)(b(x))dx6C4k . k,αk+nπ
5
18.En déduire qu’il existe une constanteC5>0indépendante deketntelle que pour toutkNet pour toutn∈ {−k,∙ ∙ ∙, k},on ait l’inégalité
1/3 |ak,n|6C5k .
On admet dorénavant l’existence d’une constanteC6>0telle que, pour tout entierk non nul, Z π 2k1/4 |a(x)|dx>C6k . π
19. Montrerqu’il existeC7>0tel que, pour tout entierk,
k1/12 kak>C7k ,
c’est-à-dire quean’est pas stable!
Fin du problème
6