A PHYS I ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES

Jean-Paul

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

Tournez s'il vous plaît A 98 PHYS. I ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 1998 PREMIÈRE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) Sujet mis à disposition du concours ENTPE suite à l'arrêté du 09 décembre 1997 Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE I -PC L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 8 pages. · Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. · Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. · Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

• source de courant sinu- soïdal d'intensité i0


• résonance paramétrique


• condensateur plan


• tension aux bornes du condensateur


• amplification paramétrique en électronique

Sujets

• École polytechnique
• Condensateur plan

Informations

• Publié par: les_cours_d_alain
• Nombre de lectures: 37
• Langue: Français

Extrait

A 98 PHYS. I

COLE ÉS NATIO ÉC N H O A N L L IQ E E T   S U É N   E S A É S U T   C P I O É O R M N I A E M L U U E R É N   E E I D S C S E   ,  A S D   D T E P I E   O L O S '   N A T T É É É S R L  E O É T C N   O C A H M U A T M I U Q U S U N S I E É   C E E A S T , T   E I D S O E     N D L S ' E , E  N SP A A N C C E Y , , DE TEC AVANC DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT- TIENNE, DES MIN DES  CO L LE POLYTECHNIQ NS DE B È R E E   T T A SI G ) NE, É UE (FILI R

CONCOURS D'ADMISSION 1998 PREMIÈRE DE PHYSIQUE

Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à disposition du concours ENTPE suite à l’arrêté du 09 décembre 1997

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I -PC

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 8 pages.

·  Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

· Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré.

· Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

OSCILLATEURS ET AMPLIFICATEURS PARAMÉTRIQUES

Introduction : facteur de qualité d’un circuit oscillant Le circuit oscillant de la figure 1 est B alimenté par une source de courant sinu- soïdal d’intensité i 0 = I 0 2 cos ( w t . i 0  v(t) CL R      ❑ 1–Déterminer le maximum de la A valeur efficaceVde la tensionv aux bor- nes du circuit et la pulsationw 0  pour    Fig. 1 : circuit oscillant laquelle cette tension, V max , est atteinte.      ❑ 2–Tracer la courbe de variation deV avec la pulsationw du signal appliqué. Préci- ser la largeur de la courbe de réponse, définie parDw=w 1 -w 2 ,w 1 etw 2  les pulsa- étant       

Tournez s’il vous plaît

2

O SCILLATEURS ET AMPLIFICATEURS PARAMETRIQUES

tions pour lesquellesV= V max . Exprimer, en fonction deL, w 0 etRlecoefficient de qualité 2         du circuit, défini par Q D = w w 0 . Interpréter qualitativement le résultat obtenu.      ❑ 3–Application numérique.CalculerZà la résonance pour    R 10 k , = 100         1 et w 0 = 2 ´ 10 6 rad.s - .   

Oscillation paramétrique Le processus de l’interaction paramétrique est bien connu des enfants qui, sur une balançoire, font varier deux fois par période la distance entre le centre de gravité du pendule (constitué de la balançoire et de l’enfant) et la suspension de la balançoire. Deux fois par cycle (fig. 2), de l’énergie est ainsi fournie au pendule et l’amplitude des oscillations aug- mente. On peut utiliser le même principe pour au contraire arrêter la balançoire : il suffit de synchroniser différemment les oscillations et les variations de distance.

G assis

z

G debout

x

g

Passage par q = 0  ( gauche® droite)

z

assis

x

debout

Passage par d q / dt= 0  ( droite®gauche )

Fig. 2 : modélisation de la possibilité que l’on a d'accroître l'amplitude des oscillations d’une balançoire. Accroupi en q = 0, on se redresse de manière à arriver debout en q = q max , puis on fléchit les jambes pour arriver accroupi en q = 0, et ainsi de suite. Dans un modèle simplifié, on ne considère que deux positions, représentées par une barre de masse M, de longueur l D en phase (D) et de longueur l A en phase (A). On néglige ainsi les durées de changement de position ( A ) « ( D .   

L’amplification paramétrique en électronique a vu le jour dans les années 1950, en liai- son avec la réalisation d’amplificateurs à très bas bruit. L’analogue en est un circuitLC dont la capacité change avec le temps : dans lecircuit à capacité variable représenté à la figure 3, la charge du condensateur,q, circulant dans ce système à l’instanttsatisfait l’équation L C L d 2 q  Cétaient constants ( C = C 0 , a dt 2 + q C = 0 ; siLet      le sys- lors      tème oscillerait avec la pulsation proprew 0 = 1 . Nous étudions LC 0 Fig. 3 : circuit à capa-  dans ce problème les phénomènes reliés        à une variation périodique cité variable deC.

· Un exemple simple, traitement qualitatif

On considère un condensateur plan idéal dont on fait varier la capacité selon la loi de

Physique I 1998 ; filière PC

3

variation en créneaux périodique donnée par la figure 4 (on peut imaginer un condensateur plan idéal dont on fasse varier la distance entre armatures) :

❑ 1les armatures augmente brutalement chaque fois que la tension– La distance entre aux bornes de la capacité,u C (t), est maximale ; elle diminue brutalement lorsque cette tension est nulle. Montrer que ce «pompage conduit à une augmentation de la tension maximale » aux bornes du condensateur et du courant qui le traverse. Représenter sur le même graphe l’allure deC(t) et deu C (t). On pourra supposerq ( 0 - ) = q 0 > 0 d e t  d t q 0 ( - ) = 0 . Quelle devrait           être l’action de l’opérateur pour que, au contraire, la tension aux bornes du condensateur tende vers 0 ?

- T/2

T

C 2

C(t)

C 1

O

  T/2

T

Fig. 4 : variations en créneaux de la capacité

· Le même exemple simple, traitement graphique élémentaire

t

d 2 L’équation différentielle décrivant la charge est  dt 2 q +w2 ( t ) q ( t ) = 0 , avec :      ì -   T < t < 0 =w 12 = L 1 C 1 ç = æ 2   T   1 p ö ø ÷ 2       ï ,q ( t ) = q 1 ( t ) w 2 ( t ) ï í 2 è 2 C 1 = r 2 C 2 , 0 < r < 1 ï 0 < t < T , 2 q t () = q 2 t () w 2 ( t ) =w 2 2 = L 1 C 2 = æ 2 T   p 2 ö ï ï     ç è   ø ÷  î      Soient les variables adimensionnées u =w 1 t etw 1 T = U = 2a . Soient aussiA,B,CetD          les constantes telles que, pour- U 2 < u < 0 , la solution s’écriveq 1 ( u ) = Acosu + Bsinu  et           que, pour 0< u < U 2 , elle s’écriveq 2 ( u ) = Ccos ( ru ) + Dsinr ( u .           ❑ 2– Anticipant sur l’étude qui sera faite dans les questions (10-15), on admet l’existence d’une constantel  2 , réelle ou imaginaire pure, telle que, pour U < u < 3 2 U ,      l’expression deqest

q 3 ( u ) = ( exp l U ) [ Acos ( u - U ) + Bsin ( u - U     

[1]

❑ 3– En considérant les continuités de la fonctionq, établir larelation de liaison:

Tournez s’il vous plaît

4

O SCILLATEURS ET AMPLIFICATEURS PARAMETRIQUES

cosh ( 2 l a ) = ( cosa ) cosra - 1 æ ç r + 1  ÷  ö ( sina ) sinra 2 è r ø     

[2]

❑ 4 onne les valeurs de– L 2lsia = w 1 T etr= C 1  donnés. Une sont a relation [ ] d 2 C 2           étude graphique permet alors de décrire qualitativement les solutions ; effectuer sommaire- ment cette étude, en s’appuyant sur la figure 5.

Fig. 5 : graphe de F 0, 2 ( a ) = c ( osa ) cos ( 0 , 2a ) - 2 , 6 ( sina ) sin ( 0 , 2a     

· Un exemple moins simple, traitement qualitatif

  ( r= 0,     

2 .

La capacité (fig. 3 et 4) varie selon la loi C 1 = C 1 0 + C soc 1 w c t , avec    C   0 < C 1 . Posant 1      1 y= q, x= 2 w c t , h= LC 4 w c 2 = 4 w w c 0 2 2 et g= LC 4 1 w c 2 = 4 w w c 2 2 1 , on obtient la forme canonique      0          de l’équation, dite de Mathieu :

d d 2 x 2 y + ( h+g cos 2 x ) y = 0     

[3]

Supposons le condensateur plan idéal et conçu de telle manière que l’on puisse modifier la distanceeentre ses armatures selon la loi e = e 0 + e 1 cos w c t , avec e 1 << e 0  soit S la sur- ;           et on ra face commune des armatures : on a C 1 = e 0 S e ppelle que la force qui s’exerce entre      2 2 les armatures est F = q = q . 2C e2 e S      ❑ 5– Justifier que les oscillations de la charge dans ce circuit auront une pulsation très voisine dew 0 ; on posera q» q 0 cos ( w 0 t +j .        

Physique I 1998 ; filière PC

5

❑ 6– ExprimerWtravail fourni dans une oscillation par l’opérateur qui produit la, variation de distance et montrer que ce travail ne prend de valeur significative que pour w c = 2 w 0 . On donne      ì os ( a+b ) x ï a 2 2   ò( sina x )( cos b x +j ) dx  í = - cos [ 2 ( a ( a- -b b ) x ) -j ] - c [ 2 ( a+b ) +j ] ¹b ï ï os 2 a j ï - x sin j- c ( x + ) a=b î 2 4 a     

❑ 7– Décrire les phénomènes selon queW est positif ou négatif. Justifier le nom de résonance paramétrique sindonné au phénomène quand 2 j est positif.    · Le même exemple moins simple, approche empirique, s’appuyant sur l’étude précédente

 

L’équation étudiée étant mise sous la forme

2 æ w 12 ö 2 d 2 u +w 0 ç 1 + w 2 cos w c t ÷ u   t () = du +w 2 ( t ) u t () = 0 dt 2 è 0 ø dt 2     

[4]

 sachant maintenant que la résonance paramétrique apparaît avec une intensité maximale lorsque la pulsation du terme oscillant de la fonctionw 2 ( t  2 est voisine dew 0 , nous poserons         donc w c = 2 ( w 0 +e , avece<<w 0 et chercherons la solution sous laforme approchée        

u ( t ) » a t () cos ( w 0 +e t ) + b t ( s ) in ( w 0 +e t [5]      Les fonctionsa ( tetb ( t sont réputées varier dans le temps bien plus lentement que      les facteurs cos et sin. On suppose aussi que  d dt a   d d  te b t sont du premier ordre en e , c’est-          à-dire que  d d a t µe a d d  te  b t µe b . La validité de cet ensemble d’hypothèses sera confirmée          par le résultat. On établit à la suite de ces hypothèses l’équation différentielle suivante :

 ö - ç æ 2   d da t + 2b e+ w w 12 b ÷ w     0 sin ( w 0 +e t ) + ç æ è 2       d d t b - 2a e+ 2 w w 0 2 1 a ø ÷ ö w       0 cos ( w 0 +e t ) = 0 [6] è 2 0 ø      ❑ 8– L’égalité [6] exige que les fonctionsa ( tetb ( t satisfassent un système diffé-      rentiel linéaire et homogène ; donner ce système et en déduire que la résonance paramétrique a lieu dans l’intervalle- w 12 <e< w 12 autour de 2 w 0 . 4 w 0 4 w 0       · Toujours le même exemple moins simple, approche physico-mathématique, s appuyant sur la symétrie et sur une représentation graphique ’ La fonctionw2 t () =w02+w12 cos w c t  introduite dans l’équation [4] est périodique de     

Tournez s’il vous plaît

6

O SCILLATEURS ET AMPLIFICATEURS PARAMETRIQUES

période  T c ; cette équation est invariante par rapport à la transformation t® t + T c ; siu 1 t (           etu 2 ( t deux solutions linéairement indépendantes  sontde [4], alors elles se transforment      nécessairement linéairement l’une dans l’autre lorsque l’on remplacetpar t + T c .    ❑ 9– Montrer qu’il est généralement possible de choisiru 1 ( tetu 2 ( t telle manière de          queu 1 t ( + T c ) =m 1 u 1 t ( etu 2 ( t + T c ) =m 2 u 2 t ( , les nombresm alors se comprendre peuvent          comme les valeurs propres de l’opérateur translation dans le temps.

t ❑ 10– On pose u i ( t ) = P i ( t )( m i ) c T , i = 1,2 ; quelle est la propriété des fonctionsP i ( t?             ❑ 11–noM e qu d d uqtal é’4[ ]oi n à ptrerr dearti t u 1 u 2 - u 1 du 2 = C te et en déduire dt     

m 1 m 2 = 1   

[7]

❑ 12– Les coefficients de l’équation [4] sont réels ; déduire de ce fait que : soit les coefficients msont l’un et l’autre complexes et de module égal à l’unité, soit les coefficients msont l’un et l’autre réels et inverses l’un de l’autre. (Une manière d’établir ce résultat uti- lise le fait que le couple ( m 1 , m 2 est identique au couple ( m 1 * , m 2 * des conjugués).       ❑ 13– Pourquoi, dans le second des cas envisagés à la question 12, peut-on affirmer que la position d’équilibre est instable ? Ce phénomène est appelérésonance paramétrique.

Il convient de déterminer les valeurs numériques des coefficientsm à un jeu associés donné de coefficientshetg, tels qu’ils apparaissent dans l’équation [2] ; c’est un problème difficile, dont un résultat partiel est représenté sur la figure 6.

Fig. 6 : Quelquesséparatricesde l’équation de Mathieu ;ge st en abscisse ethen ordonnée ; de cha- que point d’ordonnée a n = 1, 4,9 , K ,n 2 , K de l’axe des ordonnées partent deux courbes. Les points         situés à l’intérieur des régions grisées correspondent à des valeurs réelles del( cf. éq. [2]) ; ailleurs,l est imaginaire pur et les solutions restent bornées. Le problème étudie des phénomènes associés au voisinage du point (0,1) du plan.

Physique I 1998 ; filière PC

7

La première région d’instabilité a une forme de V, au voisinage du point de coordonnées (1,0) dans le plan ( h , g .    ❑ 14– En se reportant à la définition deh (et en supposant bien sûr g¹ 0 ), montrer    que ce cas correspond effectivement à la condition d’amplification paramétriquew c = 2 w 0 .      Montrer que, sous certaines conditions, le système se comporte comme un oscillateur para- métrique, dont on interprétera les paramètres caractéristiques.

Quelques autres exemples d’oscillateurs paramétriques

❑ 15– Modélisez le système de votre choix de la fig. 7 (fonctionnement en régime forcé). Vous pouvez aussi bien en imaginer un autre.

Fig. 7 : quelques exemples d’oscillateurs mécaniques (d’après L. Brillouin) ; les flè- ches symbolisent un mouvement rectiligne périodique.

Équivalence entre circuit à capacité variable et milieu diélectrique non linéaire Le condensateur des questions précédentes est géométriquement fixe, mais on suppose maintenant que l’espace entre ses armatures est occupé par un diélectrique dans lequel la relation entre le vecteur polarisation électriqueP le champ électrique etE n’est pas linéaire ; les non linéarités se manifestent généralement pour des intensités suffisamment élevées ; dans un modèle unidimensionnel permettant d’éliminer les complications mathé- matiques non essentielles ici, la relation (P,E) peut s’écrire

P=e 0 c E +b E 2     

[8]

oùbest un certain coefficient. La relation générale liant les vecteurs inductionDàPet E, D=e 0 E + P =e E  », définit diélectrique la « constante e , du milieu ; cette dernière       dépend en réalité du champEet e=e ( E .    ❑ 16– Montrer que e=e 0 1 ( +c ) +b E et exprimer la capacitéC fonction de la dis- en      tanceeentre les armatures, la surfaceSde ces dernières, l’intensitéE du champ électrique et les constantese 0 , c et b. On admettra la relationC=e S .    e    ❑ 17–Donner l’expression de la capacité dans le cas où le champ électrique est modulé selon la loi E= - E 0 cos w c t . Établir ensuite l’équivalence entre d’une part le      processus paramétrique, où le paramètre d’emmagasinement de l’énergie (la capacité) est

Tournez s’il vous plaît

8

O SCILLATEURS ET AMPLIFICATEURS PARAMETRIQUES

modulé, d’autre part le processus non linéaire, où les propriétés du milieu dépendent du champ appliqué. Voyez-vous une application possible du phénomène d’amplification paramétrique dans le domaine optique (une suggestion suffira) ?

Généralisation : esquisse de l’étude d’un circuit réel On considère (fig. 8, qui précise les signes) deux circuits résonants de facteurs de qua- lité suffisamment élevés pour que l’on puisse considérer que, excités hors de la réso- nance ( L 1 C 1 w 12 = 1 etL 2 C 2 w 22 = 1 , ils se comportent pratiquement comme des courts-circuits.      Ils sont couplés entre eux par une source de tension sinusoïdalee ( w 3 ) = E 3 cos ( w 3 t +j 3 ,      avecw 3 =w 1 +w 2 , et un condensateur de capacitéC(u) dépendant de la tension à ses bornes    selon la loiC ( u ) = C 3 u , ce qui définit le paramètre C 3  (la loi de variationC u () = C 0 + a u E 3                serait plus réaliste, mais on ne tient pas compte ici des effets linéaires dus à C 0 ). On suppose      que seuls les signaux de pulsationw 1 ,w 2 etw 3  sont présents dans le circuit ; pratiquement,        les tensions sont limitées àv 1 ( t ) = v ( w 1 ) = V 1 cos ( w 1 t +j 1 etv 2 ( t ) = v ( w 2 ) = V 2 cos ( w 2 t +j 2 .         

v( w 1 )

G 1

L 1

i( w 1 ) C(u)

C 1

u

i( w 2 ) e( w 3 )

G 2

L 2

C 2

v( w 2 )

Fig. 8 :modèle d’amplificateur paramétrique ; pour la source de tension à la pulsation w 1  (qui n’a pas été représentée), les courants sont comptés positivement lorsqu’ils remontent les potentiels. ❑ 18–Donner sous la forme i ( w j ) = I j cos ( w j t +q j ( j= 1, 2 , les expressions respecti-          ves des composantes des courants de pulsationw 1 etw 2 traversant le condensateur.      ❑ 19– On associe à toute grandeur sinusoïdale x= x 0 cos ( W t +y  sa représentation complexe x = Re [ ( x 0 expi y ) expi W t ] = Re [ X 0 expi W t .         l’oscillateur n°1, le reste du Pour      I 1 circuit peut être décrit par uneadmittance équivalente  Y 1 = . Montrer que le reste du cir- V 1      2 ( C 2 3 ) cuit présente alors une con égative Y ( w 1 ) = - w 1 w G 2 ductance n= - G . Définir de la même      manière la conductance vue de l’oscillateur n° 2. ❑ 20–Une charge de conductance G c  branchée aux bornes de l’oscillateur n°1 ; est    montrer que si G= G 1 + G c , les deux oscillateurs oscillent simultanément à leurs fréquences      de résonance respectives. FIN DE CE PROBLÈME FIN DE L’ÉPREUVE