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Alg`ebre bilin´eaire et analyse de Fourier
cours r´edig´e par Jean-Pierre Demailly
Universit´e Joseph Fourier, Grenoble
Module MAT244, Ann´ee universitaire 2011/2012
`Table des matieres
0. Motivations 2
1. Rappels et compl´ements d’alg`ebre lin´eaire 3
2. Formes bilin´eaires. 12
3. Orthogonalit´e par rapport a` une forme bilin´eaire sym´etrique 23
4. Formes sesquilin´eaires 34
5. Normes et distances, m´ethode des moindres carr´es 44
6. Endomorphismes sym´etriques, anti-sym´etriques, orthogonaux et unitaires 49
7. Coniques et quadriques 58
8. Un bref aperc¸u de la vie de Fourier 69
9. L’´equation de la chaleur 70
10. S´eries de Fourier, introduction 74
11. Notions de base sur les s´eries num´eriques et les s´eries de fonctions 79
12. S´eries de Fourier, th´eor`emes fondamentaux de convergence 85
Dans tout le cours,K d´esignera un corps commutatif tel queQ,R ouC (dans toutes les
parties purement alg´ebriques cela pourrait ˆetre aussi un corps commutatif quelconque dans
lequel 2 = 1+1 = 0, mais nous n’aurons pas besoin ici de consid´erer ce cas plus g´en´eral).
1
62
0. Motivations
Supposons que nous soyons amen´es a` nous promener en montagne, en nous rep´erant `a partir
d’une carte d’´etat-major.
On effectue un petit d´eplacement depuis le point (x,y) jusqu’au point (x+dx,y +dy) en
supposant (dx,dy) suffisamment petit pour que la pente du terrain n’ait pas le temps de
changer sensiblement (ce n’est pas n´ecessairement le cas sur notre dessin, mais la fl`eche
n’aurait pas ´et´e visible!) Le probl`eme est de calculer la distance parcourue.
p
2 2Sur la carte, le d´eplacement effectu´e est dx +dy d’apr`es le th´eor`eme de Pythagore, mais
ceci ne tient absolument pas compte du fait que l’on se d´eplace sur un terrain en pente. En
r´ealit´e, l’altitude z varie comme une fonction z =f(x,y) du point (x,y) rep´er´e sur la carte,
et la longueur du d´eplacement effectu´e est donc
p
2 2 2ds = dx +dy +dz ,
du moins si on suppose que l’on s’est d´eplac´e en ligne droite (sur une distance suffisamment
faible, on peut consid´erer que c’est le cas). Par diff´erentiation, on a
′ ′dz =f dx+f dyx y
′ ′ou` f , f sont les d´eriv´ees partielles au point (x,y). On trouve doncx y
2 2 2 ′ ′ 2 ′2 2 ′2 2 ′ ′ds =dx +dy +(f dx+f dy) = (1+f )dx +(1+f )dy +2f f dxdy.x y x y x y
Si (u,v) = (dx,dy) est le vecteur d´eplacement, on voit que la distance parcourue s’exprimep
comme q(u,v) ou` q(u,v) est une expression de la forme
2 2q(u,v)=au +bv +cuv.
C’est cequ’onappelle une forme quadratiquede2variables. Plusg´en´eralement, onest amen´e
`a consid´erer des espaces de dimension plus grande, par exemple en Physique on introduit
l’espace-temps de dimension 4, avec ses coordonn´ees (x,y,z,t) ou` t est le temps. Dans ce
cas, une forme quadratique jouant un rˆole important en th´eorie de la relativit´e restreinte est
la forme quadratique de Lorentz
2 2 2 2 2q(dx,dy,dz,dt)=dx +dy +dz −c dt3
ou` c est la vitesse de la lumi`ere. La th´eorie de la relativit´e g´en´eralis´ee consiste en l’´etude
de l’espace-temps courb´e par la pr´esence de la mati`ere ; dans ce cas, de mˆeme que dans
2 2l’expression de ds pour un parcours vallonn´e en montagne, on peut avoir des termes dx ,
2dxdy,... , dxdt, ... , dt dont les coefficients d´ependent eux-mˆemes de (x,y,z,t)!
L’un des buts de ce cours est une ´etude syst´ematique des formes quadratiques et de leurs
propri´et´es. Cette ´etude est fortement li´ee a` celle des applications et formes lin´eaires, c’est
pourquoi nous commencerons par des rappels g´en´eraux d’alg`ebre lin´eaire.
´ ` ´1. Rappels et complements d’algebre lineaire
UnK-espace vectoriel est un ensemble E muni d’une loi de composition interne not´ee +
E×E →E, (x,y)7!x+y,
et d’une loi de composition externe not´ee· (le· ´etant d’ailleurs tr`es souvent omis)
K×E →E, (λ,x)7!λ·x,
appel´ee ici multiplication par un scalaire, satisfaisant aux propri´et´es suivantes :
(1) (associativit´e de +) x+(y+z) = (x+y)+z pour tous x,y∈E
(2) (commutativit´e de +) x+y =y+x pour tous x,y∈E
(3) (´el´ement neutre) ilexiste un´el´ement 0 tel que 0 +x =x+0 =x pourtoutx∈E.E E E
′ ′ ′(4) pour toutx∈E, il existe un´el´ementx ∈E tel quex+x =x +x = 0 (cet´el´ementE
′x est alors unique, appel´e oppos´e de x, et il est not´e−x)
(5) 1·x =x pour tout x∈E
(6) (λµ)·x =λ·(µ·x) pour tous λ,µ∈K, x∈E
(7) λ·(x+y) =λ·x+λ·y pour tous x,y∈E, λ∈K
(8) (λ+µ)·x =λ·x+µ·x pour tous x∈E, λ,µ∈K.
nExemples 1.1. l’ensembleK des n-uplets (x ,...,x ) d’´el´ements deK ; l’ensembleK[X]1 n
des polynoˆmes a` coefficients dans K ; l’ensemble M (K) des matrices carr´ees d’ordre n ;n
0l’ensemble C (I,K) des fonctions continues f : I → K ; l’ensemble des suites r´eelles ou
complexes.
Unsous-espace vectorielF deE estunsous-ensemble deE non vide,stable paraddition
etmultiplicationparunscalaire:∀x,y∈F onax+y∈F,et∀λ∈K,∀x∈F,onaλ·x∈F.
De fa¸con ´equivalente, c’est un sous-ensemble de E non vide et stable par combinaisons
lin´eaires : ∀λ,µ ∈K et ∀x,y ∈ F on λ·x +µ·y ∈ K. Dans ce cas, F est lui mˆeme un
K-espace vectoriel pour les lois + et· induites par E.
Remarque 1.2. Un sous-espace vectoriel F de E contient toujours 0 , car si x∈F, alorsE
0·x = 0 ∈F.E
Exemple 1.3. Un plan d’´equationax+by+cz = 0 (a,b,c∈R) est un sous-espace vectoriel
3deR .
Contre-exemple1.4. L’ensemble d´efiniparx−y+2z = 3n’estpasunsous-espacevectoriel
3deR .
Si F , F , ..., F sont des sous-espaces vectoriels de E, alors l’intersection1 2 N
N\
F =F ∩...∩Fi 1 N
i=14
est un sous-espace vectoriel de E, mais en g´en´eral la r´eunion
N[
F =F ∪...∪Fi 1 N
i=1
n’en est pas un (consid´erer par exemple deux droites concourantes dans un plan).
Soit E un K-espace vectoriel. On appelle famille (finie ou infinie) de vecteurs de E une
collection S = (s ) de vecteurs de E, non n´ecessairement distincts, num´erot´es par desi i∈I
indices i dans un certain ensemble I (lorsque la famille est finie de cardinal m, on choisit
en g´en´eral I ={1,2,...,m}). Une combinaison lin´eaire d’´el´ements de la familleS est un
vecteur de E de la forme X
λs,i i
i∈I
ou` (λ ) est une famille de scalaires n’ayant qu’un nombre fini de coefficients λ = 0 (dei i∈I i
sorte que la somme se r´eduit en fait a` une somme finie); on dit qu’une telle famille de
scalaires est presque nulle (noter que cette condition est toujours satisfaite si I est fini).
Lesous-espace vectoriel de E engendr´e parS est l’ensemble Vect(S) des combinaisons
lin´eaires d’´el´ements deS. Autrement dit,
n oX
Vect(S) = λs ; λ ∈K, λ = 0 en nombre fini .i i i i
i∈I
On dit qu’une familleS de vecteurs deE est g´en´eratrice (ou engendreE) si tout vecteur
v∈E est une combinaison lin´eaire d’´el´ements deS (autrement dit si E = Vect(S)).
Exemples 1.5.
3(1) Un plan deR est engendr´e par deux vecteurs non colin´eaires de ce plan.
n(2) Les n vecteurs (1,0,...,0), ... , (0,...,0,1) engendrentK .
n(3)K[X] est engendr´e par la famille infinie (X ) .n∈N
(4) Une famille quelconque S est toujours par d´efinition une famille g´en´eratrice de
Vect(S).
On dit qu’une familleS = (s ) de vecteurs deE estlibre si pour toute famille de scalairesi i∈I
(λ ) presque nulle on ai i∈I
X
λs = 0⇒λ = 0 pour tout i∈I.i i i
i∈I
Cela aussi revient a` dire qu’aucun ´el´ement deS n’est combinaison lin´eaires des autres.
Exemples 1.6.
(1) Une famille contenant 0 n’est jamais libre.
(2) Une famille contenant deux vecteurs identiques n’est jamais libre, puisqu’on peut
´ecrire 1·v+(−1)·v = 0.
(3) Si v ,v ∈E, une famille (v ,v ) est libre si et seulement si v et v sont non nuls et1 2 1 2 1 2
non colin´eaires.
(4) La famille de fonctions continues (f ,f ,f ) deR dansR telle que1 2 3
2f (x) = 1, f (x) = cos(2x), f (x) = cos (x)1 2 2
n’est pas libre (pourquoi?)
665
n(5) La famille (1,0,...,0), ... , (0,...,0,1) de vecteurs deK est libre.
(6) La famille (f,g) de fonctions f(x) = cos(x), g(x) = sin(x) surR est libre.
On dit qu’une famille de vecteurs B = (e ) est une base de E si elle est a` la fois libre eti i∈I
g´en´eratrice. Cela revient a` dire que tout vecteur x de E s’´ecrit de mani`ere unique commeP
combinaison lin´eairex = xe d’´el´ements deB (la somme n’ayant qu’un nombre fini dei ii∈I
termes x = 0).i
Exemples 1.7.
n(1) La famille de vecteurs (1,0,...,0), ... , (0,...,0,1) forme une base deK , appel´ee
base canonique.
n(2) La famille (1,X,...,X ) forme une base de l’espace vectoriel, not´eK[X] , des po-n
lynoˆmes a` coefficients dansK de degr´e au plus n. On a donc dim K[X] =n+1.K n
(3) Plus g´en´eralement, si P ∈ K[X] est un polynoˆme de degr´e exactement k (c’est-j
ja`-dire de coefficient de X non nul), alors (P ,P ,...,P ) est une base deK[X] .0 1 n n
On d´emontre en effet facilement par r´ecurrence sur n qu’il s’agit d’une famille libre,
respectivement d’une famille g´en´eratrice.
(4) SiS est une famille libre de E, alors c’est une base de Vect(S).
On dit que E est de dimension finie s’il existe une famille g´en´eratrice de cardinal fini.
Dans ce cas,E poss`ede au moins une base, et toutes les bases sont de mˆeme cardinal, appel´e
la dimension deE surK, not´ee dim E ; on omettra parfois l’indiceK dans cette notationK
s’il n’y a pas d’ambiguit´e. (Nous ne red´emontrerons pas ici ces r´esultats fondamentaux qui
font l’objet du cours d’introduction a` l’alg`ebre lin´eaire).
Si E n’est pas de dimension finie, on peut d´emontrer aussi que E admet une base (la
d´emonstration utilise des raisonnements plus avanc´es de th´eorie des ensembles, en parti-
culier “l’axiome du choix”, et elle sera admise).
Th´eor`eme 1.8 (autres propri´et´es fondamentales).
(1) Toute famille libre S de E peut se compl´eter en une base de E, et a donc un
nombre d’´el´ements inf´erieur ou ´egal a` dim E.K
(2) De toute famille g´en´eratriceS deE on peut extraire une base deE, etS doit donc
avoir un nombre d’´el´ements sup´erieur ou ´egal a` dim E.K
(3) Si E est de dimension finie, il en est de mˆeme pour tout sous-espace vectoriel F, et
on a
dim F ≤ dim E,K K
avec ´egalit´e si et seulement si F =E.
(4) Sin = dim E est finie, une famille libre ou g´en´eratrice ayant exactementn ´el´ementsK
est n´ecessairement une base.
On suppose maintenant queE est de dimension finien. SoitB = (e ,...,e ) une base deE.1 n
Alors, pour tout x∈E, on peut ´ecrire
x =x e +...+x e , x ∈K.1 1 n n i
La matrice colonne  
x1
. .X = .
xn
66
s’appelle la matrice descoordonn´ees dex dans la baseB. Il convient de distinguer soigneu-
sement le vecteur x de la matrice X qui le repr´esente (et qui d’ailleurs d´epend de la baseB
choisie).
Attention! Unebase est une familleordonn´ee! Sionchange l’ordredesvecteurs, onobtient
une nouvelle base, et les coordonn´ees x sont permut´ees.i
′ ′ ′SoitB = (e ,...,e ) une autre base deE. Comment calculer les coordonn´es dex∈E dans1 n
′la baseB lorsqu’on les connait dans la baseB?
′Soit P ∈ M (K) la matrice de passage de B `a B , c’est-a`-dire la matrice carr´ee P = (p )n ij
dont les colonnes successives    
p p11 1n
. .   . ., ... ,. .
p pn1 nn
′ ′ ′sont les matrices de coordonn´ees des vecteurs e ,...,e deB dans l’ancienne baseB. Alors1 nPn′par d´efinition on a e = p e . Siij ij i=1
 ′x1
.′  .X = .
′xn
′d´esignent les coordonn´ees du vecteur x dansB , on a
n n n n nX X X X X
′ ′ ′ ′x = x e = x p e = p x e,ij i ij ij j j j
j=1 j=1 i=1 i=1 j=1
et par cons´equent les anciennes coordonn´ees sont li´ees aux nouvelles par la relation
nX
′ ′ ′ −1x = p x ⇐⇒ X =PX ⇐⇒ X =P X.i ij j
j=1
′ ′On notera que l’unicit´e des coordonn´ees entraˆıne que l’application X 7! X = PX est
bijective, donc la matrice P doit ˆetre inversible (sinon, il y a erreur, a` moins que la famille
′B consid´er´ee ne soit pas une base!)
′Pour retenir la formule : se souvenir que si la matriceP exprime la nouvelle baseB par
′rapport`al’ancienne, alorslaformuleX =PX donneaucontrairelesanciennescoordonn´ees
par rapport aux nouvelles.
Exemple 1.9. Supposons, dans un espace vectoriel E de dimension 3 muni d’une base
(i,j,k), que l’on effectue le changement de coordonn´ees

′x = 2x−y+z
′y =−x+2y+4z
 ′z =−4x+y+z
`ou` (x,y,z) d´esignent les coordonn´ees dans la base (i,j,k). A quelle base correspondent ces
′nouvelles coordonn´ees? Pour letrouver, onr´esout lesyst`eme ci-dessus de laformeX =AX,
ce qui donne une solution unique (v´erification laiss´ee au lecteur)

1 1 1′ ′ ′x =− x + y − z 9 9 3
5 ′ 1 ′ 1 ′y =− x + y − z
6 3 2 7 ′ 1 ′ 1 ′z = x + y + z.
18 9 67
Le changement de coordonn´ees est bien bijectif, les nouvelles coordonn´ees sont associ´ees a`
′ ′ ′ −1la base (i,j,k) d´efinie par la matrice de passage P =A :
  
1 1 1 ′ 1 5 7− − i =− i− j + k9 9 3 9 6 18 5 1 1 ′ 1 1 1P = − − soit j = i+ j + k 6 3 2 9 3 97 1 1 1 1 1′k =− i− j + k.
18 9 6 3 2 6
Sommes et sommes directes de sous-espaces vectoriels. Soient F ,...,F des sous-1 m
espaces vectoriels deE. La somme des sous-espaces F ,...,F est le sous-espace vectoriel1 m
F +...+F de E d´efini par1 m

F +...+F = v =v +...+v ; v ∈F1 m 1 m i i
(il est tr`es facile de v´erifier que c’est bien un sous-espace vectoriel). Si on prend une baseBi
deF et une familleB qui est la r´eunion des basesB , il est facile de voir que c’est une famillei i
g´en´eratrice (mais non n´ecessairement une base) de F +...+F . On a donc en g´en´eral1 m
dim (F +...+F )≤ dim F +dim F +...+dim F .K 1 m K 1 K 2 K m
L’in´egalit´e est stricte s’il on prend par exemple pour E un plan vectoriel r´eel, et F = D ,1 1
F =D , F =D trois droites deux `a deux distinctes de ce plan. Dans ce cas, si e est un2 2 3 3 i
vecteurdirecteurdeD ,onvoitque(e ,e ,e )estunsyst`emeg´en´erateurdeE =D +D +D ,i 1 2 3 1 2 3
mais ce n’est pas une famille libre.
On dit que F ,...,F sont en somme directe si pour tout v ∈F ,...,v ∈F , on a1 m 1 1 m m
v +...+v = 0 ⇒ v =... =v = 0.1 m 1 m
Par diff´erence de deux d´ecompositions donnant le mˆeme vecteur v
′ ′ ′v =v +...+v =v +...+v avec v,v ∈F,1 m i i1 m i
′ ′ ′ ′ona0 = (v −v )+...+(v −v )etdoncv −v = 0,soitv =v ;onvoitainsique l’´ecriture1 m i i1 m i i
d’une somme v = v +...+v avec v ∈ F est unique, et cette propri´et´e caract´erise les1 m i i
′sommes directes (prendre v = 0 et v = 0).i
Dans cette situation, on dit que F =F +...+F est la somme directe des sous-espaces1 m
F ,...,F et on ´ecrit1 m
F =F ⊕...⊕F .1 m
De l’unicit´e de la d´ecomposition on d´eduit facilement que l’on obtient une base B de F en
prenant la r´eunion de basesB des F . On a donc bien icii i
dim (F ⊕...⊕F ) = dim F +dim F +...+dim F ,K 1 m K 1 K 2 K m
et en dimension finie cette propri´et´e caract´erise les sommes directes.
Si m = 2, on v´erifie imm´ediatement que F et F sont en somme directe si et seulement si1 2
on a F ∩F ={0} (en revanche l’exemple ci-dessus de 3 droites D d’un plan montre que1 2 i
D +D +D n’est pas en somme directe, bien que D ∩D =D ∩D =D ∩D ={0}.)1 2 3 1 2 2 3 1 3
Exemple 1.10. Si e ,...,e est une base de E, alors1 n
E =Ke ⊕···⊕Ke .1 n
Par exemple
3R =R(1,0,0)⊕R(0,1,0)⊕R(0,0,1).
′Applicationslin´eaires.SoientE,E deuxK-espacesvectoriels.UneapplicationK-lin´eaire
′ ′de E dans E est une application f :E →E v´erifiant les 2 propri´et´es :
(1) f(v +v ) =f(v )+f(v ) pour tous v ,v ∈E,1 2 1 2 1 28
(2) f(λv)=λf(v) pour tous λ∈K, v∈E.
Il est ´equivalent de v´erifier (1) et (2) ou la propri´et´e ´equivalente de transformation parf des
combinaisons lin´eaires :
(3) f(λ v +λ v ) =λ f(v )+λ f(v ) pour tous λ ,λ ∈K, v ,v ∈E.1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2
Dans ce cas, on a n´ecessairement f(0) = 0 (comme on le voit en faisant λ = 0 dans
l’axiome (2)).
Le noyau de f, not´e Kerf, est l’ensemble

Kerf = v∈E; f(v) = 0 ⊂E.
C’est un sous-espace vectoriel de E.
L’image de f, not´ee Imf, est l’ensemble

′Imf = f(v),v∈E ⊂E.
′C’est un sous-espace vectoriel de E .
′ ′Notation 1.11. On noteraL (E;E ) l’ensemble des applicationsK-lin´eaires de E dans EK
(et on se permettra souvent d’omettre le corpsK s’il n’y a pas d’ambiguit´e possible).
′ ′ ′ ′Si B = (e ,...,e ) est une base de E et B = (e ,...,e ) une base de E , toute application1 p 1 n
′lin´eaire f ∈L(E;E ) s’exprime sous la forme
′x =x e +...+x e → x =f(x) =x f(e )+...+x f(e ).1 p n p 1 1 p p
P
′ ′ ′Si l’on pose f(e ) = a e dans la base (e ) de E , a ∈K, on aj ij ij1≤i≤n i i
p n n pX X X X
′ ′ ′x = x a e = a x e.j ij ij ji i
j=1 i=1 i=1 j=1
′ ′ ′La matrice colonne des coordonn´ees X de x dansB s’exprime donc par
pX
′ ′
′x = a x , soit X =AX, ou` A = (a ) = Mat (f)ij j ij 1≤i≤p, 1≤j≤n B,Bi
j=1
′est pard´efinition lamatricedef relativement aux basesB etB ;c’est une matrice `an lignes
′et p colonnes `a coefficients dansK, avec n = dim E et p = dim E.K K
Formule g´en´erale de changement de base. Supposons que l’on change simultan´ement
′ eles bases deE et deE : dansE, on remplace la baseB = (e ) par une baseB = (e ) d´efiniej j
′ ′ ′ ′ ′epar la matrice de passage P, et dans E la baseB = (e ) par une base B = (e) d´efinie pari i
′ ′´une matrice de passage P . Etant donn´e une application lin´eaire f ∈L (E;E ), la questionK
est de trouver la nouvelle matrice
e ′A = Mat (f) en fonction de A = Mat (f).e′e B,BB,B
Avec des notations ´evidentes, on a
′ ′ ′ ′e eX =AX, X =PX, X =P X .
Ceci donne
′ ′ −1 ′ ′ −1 ′ −1e eX = (P ) X = (P ) AX = (P ) APX.
On voit donc que la nouvelle matrice de f est donn´ee par
′ −1eMat (f) =A = (P ) AP,′e eB,B
′ ′si P et P sont les matrices de passage dans E et E respectivement.
79
′Th´eor`eme 1.12 (Th´eor`eme du rang). Soient E,E deuxK-espaces vectoriels, et soit f :
′E → E une application lin´eaire. Si E est de dimension finie, alors Kerf et Imf sont de
dimension finie et on a
dim Kerf +dim Imf = dim E.K K K
D´emonstration. Comme Kerf est un sous-espace vectoriel de E, il est n´ecessairement de
dimension finie. Soit (e ,...,e ) une base de Kerf, avecp = dim Kerf. On la compl`ete en1 p K
une base (e ,...,e ) de E, ou` n = dim E ≥ p. On a f(e ) = ... = f(e ) = 0 puisque ces1 n K 1 p
vecteurs e sont dans Kerf. L’image Imf est par d´efinition l’ensemble des vecteurs imagesi
w =f(x e +...+x e ). Comme f est lin´eaire, il vient1 1 n n
w =f(x e +...+x e ) =x f(e )+...+x f(e ) =f(x e +...+x e ),1 1 n n p+1 p+1 n n p+1 p+1 n n
et on voit d´ej`a que la famille G = (f(e ),...,f(e )) est une famille g´en´eratrice de Imf.p+1 n
Montrons que c’est une base : il reste `a voir que G est libre. Pour cela, supposons w = 0.
Alorsv =x e +...+x e ∈ Kerf,et comme (e ,...,e ) est une base de Kerf, il existep+1 p+1 n n 1 p
des scalaires v ,...,v ∈K tels que1 p
v =x e +...+x e =v e +...+v e .p+1 p+1 n n 1 1 p p
Maintenant, comme (e ,...,e ) est une base de E, on en conclut que x = ... = x = 01 n p+1 n
(etaussiv =... =v = 0).CecientraˆınequeG estbienlibre.Onadoncdim Imf =n−pet1 p K
dim Kerf +dim Imf =p+(n−p) =n = dim E.K K K
Remarque compl´ementaire. Si S = Vect(e ,...,e ), alors on a par construction lap+1 n
somme directe
E = Kerf⊕S,
et la restriction f : S → Imf est une bijection (“isomorphisme” d’espaces vectoriels),|S
envoyant la base (e ,...,e ) de S sur la baseG = (f(e ),...,f(e )) de Imf.p+1 n p+1 n
′D´efinition 1.13. Le rang d’une application lin´eaire f :E →E est par d´efinition
rang (f) = dim ImfKK
Il existe plusieurs m´ethodes pour calculer le rang, l’une d’elles est de calculer Kerf et sa
dimension, puis d’appliquer le th´eor`eme du rang. Une autre est d’observer que pour toute
base B = (ε ,...,ε ) de E, la famille G = (f(ε ),...,f(ε )) constitu´ee par les vecteurs1 n 1 n
colonnes de Mat (f) est une famille g´en´eratrice de Imf. On cherche alors a` ´eliminer lesB
vecteurs qui sont combinaisons lin´eaires des autres pour en extraire une base de Imf ;P
on remarquera que ces combinaisons lin´eaires λ f(ε ) = 0 s’obtiennent pr´ecis´ement enj j
cherchant les vecteurs x =λ ε tels que f(x) = 0.j j
Formes lin´eaires. Une forme lin´eaire surE est par d´efinition une application lin´eaire de
E dansK.
Lemme 1.14. Soit E unK-espace vectoriel de dimension n, et soit f :E →K une forme
lin´eaire non nulle. Alors dim Kerf =n−1.K
D´emonstration. D’apr`es le th´eor`eme du rang, il suffit de montrer que dim Imf = 1. EnK
fait, on va montrer que Imf =K, ce qui entraˆınera que dim Imf = dim K = 1.K K
Puisquef est suppos´ee non nulle, il existex ∈E tel quef(x ) = 0. Soit maintenantλ∈K.0 0
On a λ λ
f x = f(x ) =λ,0 0
f(x ) f(x )0 0
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et donc λ ∈ Imf. Ceci ´etant vrai pour tout λ ∈K, on obtient Imf =K, ce qui ach`eve la
d´emonstration.
Remarque 1.15. Le r´esultat peut ˆetre approch´e de mani`ere plus calculatoire comme suit :
soit (e ,...,e ) une base E. Posons a =f(e )∈K. Alors pour tout x =x e +...+x e1 n i i 1 1 n n
f(x) =x f(e )+...+x f(e ) =a x +...+a x .1 1 n n 1 1 n n
On a donc
f(x) = 0 ⇐⇒ a x +...+a x = 0.1 1 n n
Puisque f est non nulle, un des a est non nul, et donci
a a a a1 i−1 i+1 n
f(x) = 0 ⇐⇒ x =− x +...+ x + x +...+ xi 1 i−1 i+1 n
a a a ai i i i
         .1 0 0x .1 .
. . ..         . . .. . 1 . . .        
         a aa i−1 i+1 a1 n− − − −⇐⇒ x =x +...+x +x +...+x         i 1 i−1 i+1 na a a ai i i i         . . . .1.   .   .     . . . . .
..x 0 0 . 1n
ou` chaque matrice colonne du membre de droite n’a que deux coefficients non nuls au plus.
Ces (n− 1) matrices colonnes sont les coordonn´ees d’une base de Kerf relativement a` la
base (e ,...,e ) de E.1 n
Espace dual. Si E est unK-espace vectoriel, on appelle dual de E leK-espace vectoriel
∗E =L (E;K) des formes lin´eaires sur E.K
∗Suupposons queE soit de dimension finien, muni d’une base (e ,...,e ), et soitℓ∈E une1 n
forme lin´eaire. Alors pour x =x e +...+x e on a1 1 n n
ℓ(x) =x ℓ(e )+...+x ℓ(e ) =a x +...+a x1 1 n n 1 1 n n
avec a = ℓ(e ). Si on utilise comme base de K la base canonique (1), la matrice de ℓi i
relativement aux bases (e ,...,e ) de E et (1) deK est la matrice ligne A = (a ,...,a ).1 n 1 n
En identifiant les scalaires aux matrices 1×1 on a
 
x1
. .ℓ(x) = (a ,...,a ) =AX1 n .
xn
ou` X est la matrice colonne de x dans (e ,...,e ). On introduit maintenant les formes1 n
∗lin´eaires coordonn´ees, not´ee e , telles quei
 
x1
.∗  .e (x) =x = (0,...,0,1,0,...,0) (le 1 ´etant en position i).i .i
xn
∗On voit aussitˆot que ces formes sont lin´eairement ind´ependantes, que e (e ) =δ (symbolej iji
de Kronecker, ´egal `a 1 si i =j et 0 si i =j), et que
∗ ∗ ∗ ∗ℓ(x) =a e (x)+...+a e (x), soit ℓ =a e +...+a e .1 n 1 n1 n 1 n
∗ ∗ ∗Il en r´esulte que (e ,...,e ) est une base de E . On l’appelle la base duale de la base1 n
∗ ∗(e ,...,e ). On notera que les coordonn´ees de ℓ dans la base (e ,...,e ) sont pr´ecis´ement1 n 1 n
les coefficients a =ℓ(e ). Il r´esulte aussi de ce qui pr´ec`ede qu’on a toujoursi i
∗dim E =n = dim E.K K
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