Algebre bilineaire et analyse de Fourier

Joseph Fourier

Description

Niveau: Supérieur
Algebre bilineaire et analyse de Fourier cours redige par Jean-Pierre Demailly Universite Joseph Fourier, Grenoble Module MAT244, Annee universitaire 2011/2012 Table des matieres 0. Motivations 2 1. Rappels et complements d'algebre lineaire 3 2. Formes bilineaires. 12 3. Orthogonalite par rapport a une forme bilineaire symetrique 23 4. Formes sesquilineaires 34 5. Normes et distances, methode des moindres carres 44 6. Endomorphismes symetriques, anti-symetriques, orthogonaux et unitaires 49 7. Coniques et quadriques 58 8. Un bref aperc¸u de la vie de Fourier 69 9. L'equation de la chaleur 70 10. Series de Fourier, introduction 74 11. Notions de base sur les series numeriques et les series de fonctions 79 12. Series de Fourier, theoremes fondamentaux de convergence 85 Dans tout le cours, K designera un corps commutatif tel que Q, R ou C (dans toutes les parties purement algebriques cela pourrait etre aussi un corps commutatif quelconque dans lequel 2 = 1 + 1 6= 0, mais nous n'aurons pas besoin ici de considerer ce cas plus general). 1

• dimension finie


• famille


• algebre lineaire


• rappels generaux d'algebre lineaire


• base de l'espace vectoriel


• terrain en pente

Sujets

• Introduction
• Fourier
• Demailly
• Famille
• Algèbre linéaire

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
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Extrait

Alg`ebre bilin´eaire et analyse de Fourier
cours r´edig´e par Jean-Pierre Demailly
Universit´e Joseph Fourier, Grenoble
Module MAT244, Ann´ee universitaire 2011/2012
`Table des matieres
0. Motivations 2
1. Rappels et compl´ements d’alg`ebre lin´eaire 3
2. Formes bilin´eaires. 12
3. Orthogonalit´e par rapport a` une forme bilin´eaire sym´etrique 23
4. Formes sesquilin´eaires 34
5. Normes et distances, m´ethode des moindres carr´es 44
6. Endomorphismes sym´etriques, anti-sym´etriques, orthogonaux et unitaires 49
7. Coniques et quadriques 58
8. Un bref aperc¸u de la vie de Fourier 69
9. L’´equation de la chaleur 70
10. S´eries de Fourier, introduction 74
11. Notions de base sur les s´eries num´eriques et les s´eries de fonctions 79
12. S´eries de Fourier, th´eor`emes fondamentaux de convergence 85
Dans tout le cours,K d´esignera un corps commutatif tel queQ,R ouC (dans toutes les
parties purement alg´ebriques cela pourrait ˆetre aussi un corps commutatif quelconque dans
lequel 2 = 1+1 = 0, mais nous n’aurons pas besoin ici de consid´erer ce cas plus g´en´eral).
1
62
0. Motivations
Supposons que nous soyons amen´es a` nous promener en montagne, en nous rep´erant `a partir
d’une carte d’´etat-major.
On effectue un petit d´eplacement depuis le point (x,y) jusqu’au point (x+dx,y +dy) en
supposant (dx,dy) suffisamment petit pour que la pente du terrain n’ait pas le temps de
changer sensiblement (ce n’est pas n´ecessairement le cas sur notre dessin, mais la fl`eche
n’aurait pas ´et´e visible!) Le probl`eme est de calculer la distance parcourue.
p
2 2Sur la carte, le d´eplacement effectu´e est dx +dy d’apr`es le th´eor`eme de Pythagore, mais
ceci ne tient absolument pas compte du fait que l’on se d´eplace sur un terrain en pente. En
r´ealit´e, l’altitude z varie comme une fonction z =f(x,y) du point (x,y) rep´er´e sur la carte,
et la longueur du d´eplacement effectu´e est donc
p
2 2 2ds = dx +dy +dz ,
du moins si on suppose que l’on s’est d´eplac´e en ligne droite (sur une distance suffisamment
faible, on peut consid´erer que c’est le cas). Par diff´erentiation, on a
′ ′dz =f dx+f dyx y
′ ′ou` f , f sont les d´eriv´ees partielles au point (x,y). On trouve doncx y
2 2 2 ′ ′ 2 ′2 2 ′2 2 ′ ′ds =dx +dy +(f dx+f dy) = (1+f )dx +(1+f )dy +2f f dxdy.x y x y x y
Si (u,v) = (dx,dy) est le vecteur d´eplacement, on voit que la distance parcourue s’exprimep
comme q(u,v) ou` q(u,v) est une expression de la forme
2 2q(u,v)=au +bv +cuv.
C’est cequ’onappelle une forme quadratiquede2variables. Plusg´en´eralement, onest amen´e
`a consid´erer des espaces de dimension plus grande, par exemple en Physique on introduit
l’espace-temps de dimension 4, avec ses coordonn´ees (x,y,z,t) ou` t est le temps. Dans ce
cas, une forme quadratique jouant un rˆole important en th´eorie de la relativit´e restreinte est
la forme quadratique de Lorentz
2 2 2 2 2q(dx,dy,dz,dt)=dx +dy +dz −c dt3
ou` c est la vitesse de la lumi`ere. La th´eorie de la relativit´e g´en´eralis´ee consiste en l’´etude
de l’espace-temps courb´e par la pr´esence de la mati`ere ; dans ce cas, de mˆeme que dans
2 2l’expression de ds pour un parcours vallonn´e en montagne, on peut avoir des termes dx ,
2dxdy,... , dxdt, ... , dt dont les coefficients d´ependent eux-mˆemes de (x,y,z,t)!
L’un des buts de ce cours est une ´etude syst´ematique des formes quadratiques et de leurs
propri´et´es. Cette ´etude est fortement li´ee a` celle des applications et formes lin´eaires, c’est
pourquoi nous commencerons par des rappels g´en´eraux d’alg`ebre lin´eaire.
´ ` ´1. Rappels et complements d’algebre lineaire
UnK-espace vectoriel est un ensemble E muni d’une loi de composition interne not´ee +
E×E →E, (x,y)7!x+y,
et d’une loi de composition externe not´ee· (le· ´etant d’ailleurs tr`es souvent omis)
K×E →E, (λ,x)7!λ·x,
appel´ee ici multiplication par un scalaire, satisfaisant aux propri´et´es suivantes :
(1) (associativit´e de +) x+(y+z) = (x+y)+z pour tous x,y∈E
(2) (commutativit´e de +) x+y =y+x pour tous x,y∈E
(3) (´el´ement neutre) ilexiste un´el´ement 0 tel que 0 +x =x+0 =x pourtoutx∈E.E E E
′ ′ ′(4) pour toutx∈E, il existe un´el´ementx ∈E tel quex+x =x +x = 0 (cet´el´ementE
′x est alors unique, appel´e oppos´e de x, et il est not´e−x)
(5) 1·x =x pour tout x∈E
(6) (λµ)·x =λ·(µ·x) pour tous λ,µ∈K, x∈E
(7) λ·(x+y) =λ·x+λ·y pour tous x,y∈E, λ∈K
(8) (λ+µ)·x =λ·x+µ·x pour tous x∈E, λ,µ∈K.
nExemples 1.1. l’ensembleK des n-uplets (x ,...,x ) d’´el´ements deK ; l’ensembleK[X]1 n
des polynoˆmes a` coefficients dans K ; l’ensemble M (K) des matrices carr´ees d’ordre n ;n
0l’ensemble C (I,K) des fonctions continues f : I → K ; l’ensemble des suites r´eelles ou
complexes.
Unsous-espace vectorielF deE estunsous-ensemble deE non vide,stable paraddition
etmultiplicationparunscalaire:∀x,y∈F onax+y∈F,et∀λ∈K,∀x∈F,onaλ·x∈F.
De fa¸con ´equivalente, c’est un sous-ensemble de E non vide et stable par combinaisons
lin´eaires : ∀λ,µ ∈K et ∀x,y ∈ F on λ·x +µ·y ∈ K. Dans ce cas, F est lui mˆeme un
K-espace vectoriel pour les lois + et· induites par E.
Remarque 1.2. Un sous-espace vectoriel F de E contient toujours 0 , car si x∈F, alorsE
0·x = 0 ∈F.E
Exemple 1.3. Un plan d’´equationax+by+cz = 0 (a,b,c∈R) est un sous-espace vectoriel
3deR .
Contre-exemple1.4. L’ensemble d´efiniparx−y+2z = 3n’estpasunsous-espacevectoriel
3deR .
Si F , F , ..., F sont des sous-espaces vectoriels de E, alors l’intersection1 2 N
N\
F =F ∩...∩Fi 1 N
i=14
est un sous-espace vectoriel de E, mais en g´en´eral la r´eunion
N[
F =F ∪...∪Fi 1 N
i=1
n’en est pas un (consid´erer par exemple deux droites concourantes dans un plan).
Soit E un K-espace vectoriel. On appelle famille (finie ou infinie) de vecteurs de E une
collection S = (s ) de vecteurs de E, non n´ecessairement distincts, num´erot´es par desi i∈I
indices i dans un certain ensemble I (lorsque la famille est finie de cardinal m, on choisit
en g´en´eral I ={1,2,...,m}). Une combinaison lin´eaire d’´el´ements de la familleS est un
vecteur de E de la forme X
λs,i i
i∈I
ou` (λ ) est une famille de scalaires n’ayant qu’un nombre fini de coefficients λ = 0 (dei i∈I i
sorte que la somme se r´eduit en fait a` une somme finie); on dit qu’une telle famille de
scalaires est presque nulle (noter que cette condition est toujours satisfaite si I est fini).
Lesous-espace vectoriel de E engendr´e parS est l’ensemble Vect(S) des combinaisons
lin´eaires d’´el´ements deS. Autrement dit,
n oX
Vect(S) = λs ; λ ∈K, λ = 0 en nombre fini .i i i i
i∈I
On dit qu’une familleS de vecteurs deE est g´en´eratrice (ou engendreE) si tout vecteur
v∈E est une combinaison lin´eaire d’´el´ements deS (autrement dit si E = Vect(S)).
Exemples 1.5.
3(1) Un plan deR est engendr´e par deux vecteurs non colin´eaires de ce plan.
n(2) Les n vecteurs (1,0,...,0), ... , (0,...,0,1) engendrentK .
n(3)K[X] est engendr´e par la famille infinie (X ) .n∈N
(4) Une famille quelconque S est toujours par d´efinition une famille g´en´eratrice de
Vect(S).
On dit qu’une familleS = (s ) de vecteurs deE estlibre si pour toute famille de scalairesi i∈I
(λ ) presque nulle on ai i∈I
X
λs = 0⇒λ = 0 pour tout i∈I.i i i
i∈I
Cela aussi revient a` dire qu’aucun ´el´ement deS n’est combinaison lin´eaires des autres.
Exemples 1.6.
(1) Une famille contenant 0 n’est jamais libre.
(2) Une famille contenant deux vecteurs identiques n’est jamais libre, puisqu’on peut
´ecrire 1·v+(−1)·v = 0.
(3) Si v ,v ∈E, une famille (v ,v ) est libre si et seulement si v et v sont non nuls et1 2 1 2 1 2
non colin´eaires.
(4) La famille de fonctions continues (f ,f ,f ) deR dansR telle que1 2 3
2f (x) = 1, f (x) = cos(2x), f (x) = cos (x)1 2 2
n’est pas libre (pourquoi?)
665
n(5) La famille (1,0,...,0), ... , (0,...,0,1) de vecteurs deK est libre.
(6) La famille (f,g) de fonctions f(x) = cos(x), g(x) = sin(x) surR est libre.
On dit qu’une famille de vecteurs B = (e ) est une base de E si elle est a` la fois libre eti i∈I
g´en´eratrice. Cela revient a` dire que tout vecteur x de E s’´ecrit de mani`ere unique commeP
combinaison lin´eairex = xe d’´el´ements deB (la somme n’ayant qu’un nombre fini dei ii∈I
termes x = 0).i
Exemples 1.7.
n(1) La famille de vecteurs (1,0,...,0), ... , (0,...,0,1) forme une base deK , appel´ee
base canonique.
n(2) La famille (1,X,...,X ) forme une base de l’espace vectoriel, not´eK[X] , des po-n
lynoˆmes a` coefficients dansK de degr´e au plus n. On a donc dim K[X] =n+1.K