Baccalauréat S Polynésie juin 2004

Description

Niveau: Supérieur

• redaction

Durée : 4 heures Baccalauréat S Polynésie juin 2004 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Le laboratoire de physique d'un lycée dispose d'un parc d'oscilloscopes iden- tiques. La durée de vie en années d'un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la « loi de durée de vie sans vieillissement » (ou encore loi exponentielle de paramètre ? avec ?> 0. Toutes les probabilités seront données à 10?3 près. 1. Sachant que p(X > 10)= 0,286, montrer qu'une valeur approchée à 10?3 près de ? est 0,125. On prendra 0,125 pour valeur de ? dans la suite de l'exercice. 2. Calculer la probabilité qu'un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois. 3. Sachant qu'un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure dix ans? 4. On considère que la durée de vie d'un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes.

• oscilloscopes


• affixe dupointmn


• parc d'oscilloscopes iden- tiques


• points commun


• loi de durée de vie sans vieillissement


• repère ortho

Sujets

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Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2004
• Nombre de lectures: 14
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

Baccalauréat S Polynésie juin 2004

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

E XERCICE 14 points Commun à tous les candidats Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes iden tiques. La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée Xqui suit la « loi de durée de vie sans vieillissement » (ou encore loi exponentielle de paramètreλavecλ>0. −3 Toutes les probabilités seront données à 10près. −3 1.Sachant quep(X>10)=0,286, montrer qu’une valeur approchée à 10près deλest 0,125. On prendra 0,125 pour valeur deλdans la suite de l’exercice. 2.Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois. 3.Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure dix ans? 4.On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure â 10 ans? 5.Combien l’établissement devraitil acheter d’oscilloscopes pour que la proba bilité qu’au moins l’un d’entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999 ? Rappel : Loi exponentielle de paramètreλsur[0 ;+∞[, dite aussi loi de durée de vie sans vieillissement:  b −λt pour 0  a  b,p([a;b])=λe dtet a  c −λt pourc  0,p([c;+ ∞[)=1−λe dt. 0

E XERCICE 25 points Candidat n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité   −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO,u,v. On pren dra pour unité graphique 1 cm.

1.On désigne par A, B et I les points d’affixes respectives :

z A =3+2i,z B = −3 etz I =1−2i. a.Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice. z I −z A b.Écrire sous forme algébrique le nombre complexeZ=. z I −z B Que peuton en déduire sur la nature du triangle IAB?

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c.Calculer l’affixez C du pointCimage de I par l’homothétie de centre A et de rapport 2. d.SoitDle barycentre du système {(A, 1) ; (B,−1) ; (C, 1)} ; calculer l’affixe z D du pointD. e.Montrer que ABC Dest un carré.

2.Déterminer et construire l’ensembleΓ 1 des pointsMdu plan tels que :

1 −−→−−→−→−−−→−−→  MA−MB+MC  =  MA+MC  . 2 3.On considère l’ensembleΓ 2 des pointsMdu plan tels que −−→−−→−−→  MA−MB+MC  =4 5.

a.Montrer que B appartient àΓ 2 . b.Déterminer et construire l’ensembleΓ 2 .

E XERCICE 25 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité   −→−→ Le plan P est rapporté a un repère orthonormalO,u,v. On prendra pour unité graphique 3 cm. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d telles que 2 1 a=3 b=1+i c=3i et d= −i. 3 3 1.Représenter les points A, B, C et D. 2.Déterminer l’angleθet le rapportkde la similitude directestransformant A en B et C en D. 3.Donner l’écriture complexe des. En déduire l’affixe du centre I des.   4.SoitMle point de coordonnées (x;y) etM (x;y) son image pars.  1    x= −y+1 3 Montrer que : 1 1    y=x− 3 3 5.On construit une suite (M n ) de points du plan en posant  M=A  0 et, pour tout entier natureln  M n+1 =s(M n ) Pour tout entier naturel, on notez n l’affixe du pointM n et on poser n = | z n −1 | . a.Montrer que (r n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. −3 b.Déterminer le plus petit entier naturelktel que IM k  10 .

E XERCICE 3 Commun à tous les candidats

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6 points

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1.Pour tout réelkpositif ou nul, on considère la fonctionf k définie surRpar : x 1−ke f k (x)=x+. x 1+ke a.Justifier que, pour rout réelkpositif ou nul, la fonctionf k est solution de l’équation différentielle : 2 (E) :2y=(y−x)+1. b.En déduire le sens de variations def k surR. 2.On noteC k la courbe représentative de la fonctionf k dans un repère ortho   −→−→ normal O,ı,.  Sur l’annexe, on a représenté la droite D d’équationy=x−1, la droite D d’équationy=x+1 et plusieurs courbesC k correspondant à des valeurs par ticulières dek. Déterminer le réelkassocié à la courbeCpassant par le point O puis celui  associé à la courbeCpassant par le point A de coordonnées (1 ; 1). 3.On remarque que, pour toutxréel, on a : x 2 2ke f k (x)=x−1+(1) etf k (x)=x+1−(2). x x 1+ke 1+ke En déduire pour toutkstrictement positif :   la position de la courbeC k par rapport aux droites D et D .  les asymptotes de la courbeC k . 4.Cas particulier :k=1. a.Justifier quef 1 est impaire. b.Soit la fonctionFdéfinie surRpar :  x F(x)=f 1 (t) dt. 0 Interpréter graphiquement le réelF(x) dans les deux cas :x>0 etx<0. Déterminer alors la parité deFà l’aide d’une interprétation graphique. c.Déterminer les variations deFsurR. d.En utilisant l’égalité (2), calculer explicitementF(x).

E XERCICE 45 points Commun à tous les candidats On considère la suite (I n ) n∈N définie par : 2  −t 1 e I n =dt. 0 1+n+t 1. a.Déterminer le sens de variations de cette suite. b.Montrer que (I n ) n∈N , est une suite positive. 2 −t e 1 c.Montrer que pour toutt∈[0 ; 1] on a  et en déduire que 1+t+n1+n 1 0  I n  . n+1 Que peuton en conclure quant à la convergence de (I n ) n∈N ?

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Baccalauréat S juin 2004

2.On considèrefetgdeux fonctions définies sur [0 ; 1] par : 2 x −x−x f(x)=e+x−1 etg(x)=1−x+ −e . 2 a.Étudier le sens de variations et le signe def. b.En déduire le sens de variations degsur [0 ; 1]. c.Établir, pour toutxappartenant à [0 ; 1], l’encadrement : 2 x −x 1−x  e  1−x+. 2 2 −t d.pour toutEn déduire un encadrement de etappartenant à [0 ; 1]. e.Établir l’encadrement :

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2 23  I n  3(n+2) 30(n+1) −2 f.Donner une valeur deptelle queI p  10 .

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Document à rendre avec la copie

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Annexe

O

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−→ 

0

C

A

−→ ı

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 D

 C

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