Brevet de technicien supérieur

Description

Niveau: Supérieur, BTS, Bac+2
Brevet de technicien supérieur Sujet BTS Groupement C Métropole 2009 Corrigé Exercice 1 : 10 points Partie A : Résolution d'une équation différentielle 1. Soit g une solution constante de (E) : y ??+2y ?+ y = 3. On pose g (x)= c, où c ?R et donc g ?(x)= 0 et g ??(x)= 0 Si g est solution de (E) on a : g (x)??+2g ?(x)?+ g (x)= 3 donc g (x)= c = 3 2. • ::: On :::::: résoud :::::::::: l'équation :::: (E0)::::::::::::::y ??+2y ?+ y = 0 l'équation caractéristique est r 2+2r +1= 0 soit (r +1)2 = 0. donc l'équation carateristique admet une racine double r =?1 donc la solution générale de l'équation (E0) est y0 = (?x+µ)e?x ou ??R et µ ?R • ::: On :::::: résoud :::::::::: l'équation ::: (E) La solution générale de l'équation (E) est y(x)= (?x +µ)e?x +3 3.

• loi normalen


• loi normale de moyenne


• solution générale de l'équation


• temps d'attente moyen

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• Langue: Français

Extrait

Brevetdetechniciensupérieur
SujetBTSGroupementCMétropole2009
Corrigé
Exercice1: 10points
PartieA:Résolutiond’uneéquationdifférentielle
′′ ′1. Soitg unesolutionconstantede(E): y +2y +y=3.
′ ′′Onposeg(x)=c,oùc∈Retdoncg (x)=0etg (x)=0
′′ ′ ′Sig estsolutionde(E)ona:g(x) +2g (x) +g(x)=3donc g(x)=c=3
′′ ′2. • Onrésoudl’équation(E )y +2y +y=00:::::::::::::::::::::::::::::::::::::
2 2l’équationcaractéristiqueestr +2r+1=0soit(r+1) =0.doncl’équationcarateristiqueadmetune
−xracinedoubler =−1donclasolutiongénéraledel’équation(E )esty =(λx+μ)e ouλ∈Retμ∈R0 0
• Onrésoudl’équation(E)
::::::::::::::::::::::
−xLasolutiongénéraledel’équation(E)est y(x)=(λx+μ)e +3
3. Graphiquement on constate que f(0)=5 et qu’au point d’abscisse 0, la courbeC admet une tangente
′horizontaledonc f (0)=0
−xOnpose f(x)=(λx+μ)e +3.
−0 ′f(0) = (λ×0+μ)e +3 Oncalcule f (x)
′u(x)=(λx+2) u (x)=λ5 = μ+3 ′ −xf (x) = λe +−x ′ −xv(x)=e v (x)=−e
−x −xdoncμ=2et f(x)=(λx+2)e +3. (λx+2)(−e )
′ 0 0donc f (0)=λe −(λ×0+2)e donc0=λ−2doncλ=2
−xDoncona f(x)=(2x+2)e +3
PartieB:Étudestatistique
x 2,3 1,4 −0,6 2,9 −0,3 −0,8 0,8 0,1
1. y 3,8 4,4 1,6 3,5 3,8 1,3 4,8 4,9
xz=(y−3)e 8,0 5,7 -0,8 9,1 0,6 -0,8 4,0 2,1
2. Lespointssemblentalignés,unajustementaffinesembleapproprié
3. Àlacalculatriceonobtient: r =1,00etz=2,80x+1,46
4. D’après la question précédente on peut approcher le nuage des points M x , z par une droite car le( )i i
coefficientdecorrélationr esttrèsprochede1.
2,80x+1,46 −x −xOnaz=(y−3)e doncy−3=(2,80x+1,46)e doncy=(2,80x+1,46)e +3.Onretrouvedonc
−xunefonctiondutype(λx+μ)e +3.
Donclenuage depoints peut êtreajusté par unecourbereprésentant une fonction solution del’équa-
−xtion(E),cettefonctionest f(x)=(2,80x+1,46)e +3
GroupementC 1/4 mai2009Brevetdetechniciensupérieur
Exercice2: 10points
PartieA
Onaλ=n×p doncλ=60×0,05=3
OnapprocheY parunevariablealéatoireZ quisuituneloidePoissondeparamètreλ=3.
p(Z≥6) = 1−p(Z<6)
= 1−(P(Z =0)+p(Z=1)+p(Z=2)+p(Z=3)+p(Z=4)+p(Z =5))
= 1−(0,0498+0,1494+0,224+0,224+0,168+0,1008)
= 0,084
p(Z≥6)=0,08
PartieB
1×13+2,5×16+...+10×5 4335
¯ ¯1. d= = d=4,34
100 100
2. L’hypothèsenulleestH : μ=4.0
(a) l’hypothèsealternativeH : μ>4.1
(b) Sousl’hypothèseH ,lavariablealéatoireD suitlaloinormaledemoyenne4etd’écart-type0,24.0
P(D64+h) = 0,95
à !
D−4 4+h−4
P 6 = 0,95
0,24 0,24
à !
D−4 +h
P 6 = 0,95
0,24 0,24
D−4 h
Lavariablealéatoire suivantlaloinormaleN (0,1)onendéduitd’aprèslatableque =1,645
0,24 0,24
donch=1,645×0,24=0,3948 h=0,39
(c) 4+h=4,39
¯• sisid≤4,38(soit4h22minet48s)alorsaurisquede5%letempsd’attentemoyenn’estpassupérieur
à4h.
¯• sid>4,38alorsaurisquede5%letempsd’attentemoyenestsupérieurà4h.
¯D’aprèsl’échantillon étudié,d=4,3464,39doncauseuilde5%onpeutconclurequelamoyennedes
(d)
tempsd’attenten’estpassupérieureà4minutes
GroupementC 2/4 mai2009Brevetdetechniciensupérieur
Annexe(àrendreaveclacopie)
Exercice1
Surlegraphiqueci-dessoussontreprésentées:
– UnecourbeC,utiliséedanslapartieAdel’exercice1.
– UnnuagedepointsutilisésdanslapartieBdel’exercice1.
(Lescoordonnéesdespointsdecenuagesontdonnéesdansletableaufigurantsouslegraphique).
y
5
4
3
2
1
x−2 −1 1 2 3 4 5
PartieC
1)Coordonnéesdunuagedepoints
x 2,3 1,4 −0,6 2,9 −0,3 −0,8 0,8 0,1
y 3,8 4,4 1,6 3,5 3,8 1,3 4,8 4,9
xz=(y−3)e 8,0 5,7 -0,8 9,1 0,6 -0,8 4,0 2,1
GroupementC 3/4 mai2009
bbbbbbbbBrevetdetechniciensupérieur
z
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 x-1 1 2 3
-1
GroupementC 4/4 mai2009
bbbbbbbb