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Chapitre 1 - Econométrie Appliquée SériesTemporelles

De
58 pages
Niveau: Supérieur, Master
Chapitre 1. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin 1 U.F.R. Economie Appliquée Maîtrise d'Economie Appliquée Cours de Tronc Commun Econométrie Appliquée Séries Temporelles Christophe HURLIN

  • population des moment

  • u∞ ?∞

  • fondements probabilistes des méthodes statis

  • variable aléatoire

  • variance

  • rappels de probabilité et de statistiques

  • appliquée


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Les Processus Aléatoires lesProcessusARMA
Stationnaires
et
2
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3
Le but de ce chapitre est dintroduire la notion de processus temporel et plus particulièrement la classe des processusARM Aqui sont particulièrement utiles pour décrire le comportement des séries temporelles univariées. Cette présentation suppose que lon dénisse au préalable un certain nombre de notions essentielles à lanalyse des séries temporelles, et en particulier la notion de stationnarité. Létude des séries temporelles suppose que lon fasse au préalable un certain nombre de rappels en probabilité et en statistiques.
1 Rappels de Probabilité et de Statistiques Avant de dénir la notion de série temporelle, il convient de faire un certain nombre de rap-pels succincts. Les rappels proposés dans le cadre de cette section portent avant tout sur les probabilités et les statistiques usuelles. Toutefois, la lecture de ces rappels doit nécessairement saccompagner dune étude plus systématique des fondements probabilistes des méthodes statis-tiques (cf. Méthodes Statistiques, Philippe Tassi,Economica1989).
On considère unevariable stochastique réelleouvariable aléatoire réelle (v.a.r.en abrégé) continue, notéeX, dont la loi de probabilité, pour une réalisationx,est dénie par la fonction de densitéfX(x),supposéecontinue, telle quefX(x)0: b Xb]a (a, b)R2P(a) =fX(x)dx(1.1) ]10fX(x)dx= 1(1.2) On noteFX(.)lafonction de répartitionoufonction de distributioncumulative associée à X,telle que : a)P(X < a) =]afX(x)dx(1.3) FX(a)P(X
Nous allons à présent successivement proposer des rappels sur les notions de population des moments, de moments empiriques, distribution jointe, de distribution conditionnelle, dindépen-dance, de convergence, ainsi que des rappels sur les propriétés dun certain nombre de lois usuels.
Chapitre 1. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin
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1.1 La population des moments théoriques Pour une variable aléatoire réelle (v.a.r.)X,lespérance et la varianceconstituent deux moments particuliers, mais plus généralement il est possible, sous certaines hypothèses, de dénir la population des momentset lapopulation des moments centrésde la façon suivante : Denition 1Pour une variable aléatoire réelle continueX,de densitéfX(.),la pop-ulation des moments associée à tout ordrekN,est dénie par : EXk=]xkfX(x)dx(1.4) La population des moments centrés associée à tout ordrekN,notéeµk,est dénie par : µk=Ek(Xµ)kl=](xµ)kfX(x)dx(1.5) avecµ=E(X) =UxfX(x)dx. Ainsilespérance, notéeE(X),correspond au moment dordre un (k= 1) : E(X) =]x fX(x)dx=µ De la même façon, lavariance, notéeV(X),est dénie par le moment centré dordre deux (k= 2) : V(X) =µ2=Ek(Xµ)2l=]x)dx (xµ)2fX( −∞ En général, lorsque lon cherche à établir la population des moments dune transformée, linéaire ou non, de la v.a.r.X,on utilise la propriété suivante : Propriété 1. On considère une v.a.r. transformée, telle queY=g(X).SoitfX(.)la fonction de densité de la v.a.r.X.La population des moment et la pop-ulation des moments centrés dordrek,de la transforméeg(X)sont alors nies par lespérance respective des transformées[g(X)]ketg(X)µYk, avecµY=E[g(x)],kN: Eq[g(X)]k[g(x)]kfX(x)dx(1.6) r=]−∞ g(x)µYkfX(x)dx(1.7) µkY=Eqg(X)µYkr=]En particulier, lespérance deYcorrespond à : E =[ ]]g(X)g(x)fX(x)dx −∞
(1.8)
Chapitre 1. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin
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Considérons lexemple suivant. SoitYla transformée linéaire deX,telle queY=a+bX, (a, b)R2.Le moment dordre un deY,est déni par : E(a+bX) =](a+bx)fX(x)dx =a]fX(x)dx+b]x fX(x)dx =a+b E(X) On retrouve ainsi le résultatE(Y) =a+b E(X),selon lequel lespérance est un opérateur linéaire. De la même façon, on peut calculer la variance de la variable transforméeY,notée V(Y),qui correspond au moment centré dordre deux. note Onµ,avecµR, lespérance de la variableX. V(a+bX) =][(a+bx)(a+)]2fX(x)dx =b2]−∞(xµ)2fX(x)dx On obtientnalement la relation standard : V(a+bX) =b2V(X)
(1.9)
Un autre résultat, découlant de la propriété 1, est particulièrement utile dans le cadre des modèles linéaires. Il sagit du résultat suivant : EX2=V(X) + [E(X)]2(1.10) Pour démontrer ce résultat, il sut de réécrireEX2sous la formeEk(Xµ+µ)2l.Dès lors, il vient : EX2=Ek(Xµ+µ)2l =Ek(Xµ)2+ 2µ(Xµ) +µ2l =Ek(Xµ)2l+ 2µ[E(X)µ] +µ2 =V(X) + [E(X)]2
Dans lapplication de certains tests, nous aurons par la suite besoin dintroduire les moments centrés dordre 3 et 4, qui correspondent respectivement à laSkewnesset à laKurtosis: Skewness=µ3=Ek(Xµ)3l(1.11)