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Combinatoire Master Enseignement T Champion S Junca

5 pages
Niveau: Supérieur, Master
Combinatoire Master 2 Enseignement T. Champion & S. Junca Denombrements 1 Des livres sur une etagere Dans une bibliotheque, n livres sont exposes sur une etagere rectiligne et repartis au hasard. Parmi ces n livres, k sont du meme auteur Godement, les autres etant d'auteurs tous di?erents. Calculer la probabilite qu'au moins p livres de Godement se retrouvent cote a cote dans les cas suivants: 1. n = 20, k = 3, p = 3; 2. * n = 20, k = 5, p = 2; 2 Compter des p?uplets (x1, x2, ? ? ? , xp) ? ?p 1. Montrer que ( n p ) est le nombre de p?uplets (x1, x2, ? ? ? , xp) ? ?p tels que: 0 ≤ x1 < x2 < ? ? ? < xp < n. 2. Montrer que ( n + p? 1 p ) est le nombre de p?uplets (y1, y2, ? ? ? , yp) ? ?p tels que: 0 ≤ y1 ≤ y2 ≤ ? ? ? ≤ yp < n. On pourra poser xi = yi + (i? 1) et se ramener au cas precedent. 3. Montrer que ( n + p? 1 p? 1 ) est le nombre de p?uplets (z1, z2, ? ? ? , zp) ? ?p tels que: z1 + z2 + ? ? ?+ zp = n On pourra poser yi = z1 +

  • livres par ordre alphabetique du nom de l'auteur

  • comportement asuymptotique en ±1

  • auteur

  • meme resultat

  • developper en serie entiere


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1Deslivressuruneetagere Dansunebibliotheque,ntegaeerssrunueneetreprectiligitrauaslnosserviesopxet hasard. Parmicesnlivres,ketruemuamue^nodtautr,lesmentGoderuetua'dtnatesess tousdierents.Calculerlaprobabilitequ'aumoinsplivres de Godement se retrouvent co^teaco^tedanslescassuivants: 1.n= 20; k= 3; p= 3; 2. *n= 20; k= 5; p= 2;
p 2 Compterdespuplets(x1; x2;  ; xp)2N   n p 1. Montrerque estle nombre depuplets (x1; x2;  ; xp)2Ntels que: p 0x1< x2<  < xp< n.   n+p1 p 2. Montrer queest le nombre depuplets (y1; y2;  ; yp)2Ntels p que: 0y1y2  yp< n. On pourra poserxi=yi+ (i1)erencaaurspeectned.estrema   n+p1 p 3. Montrerque estle nombre depuplets (z1; z2;  ; zp)2Ntels que: p1 z1+z2+  +zp=n On pourra poseryi=z1+  +ziarensacuesteemart.enepredcUneautremethodeeleganteconsisteacoderlessolutions:zierpmperaalcsde1(dont la somme estzi) et garder les symboles+. Onconclut en comptant le nombre de tels codes. n1;n2;;np 4. Soit1pn,n1+n2+  +np=nouni2Nle nombre. CompterCnde p nupletsX:= (x1; x2;  ; xn)2Ntels quecardfi; xi=kg=nkpourk= 1; ::; p. Cela signie queXcontientn1fois le nombre 1,n2. .fois 2, .npfoisp. 5. Exemples: (a) Combieny-a-t'il d'injections croissantes def1;  ; pgdansf1;  ; ng? (b)20auteursontecritdeslivresparticulierementinteressantspourreussirnotre concours. Ona un buget susant pour acheter 10 livres.Il va falloir faire un choix. Onne pourra pas avoir un livre par auteur.En revanche, on pourra avoirplusieurslivresdum^emeauteur.Pourchaqueachatpossiblede10livres, 1