Concours Centrale Supélec

Laurent Llabres

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2008 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PC Objectifs On se propose, dans ce qui suit, de déterminer l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants lorsqu'elle est homogène, puis lorsque celle-ci admet un « second membre » d'un type particulier. La partie I vise à établir des résultats utiles dans les suivantes. Notations • Pour tout couple : si l'ensemble est noté ; vaut si , sinon. • Si , on note l'ensemble constitué des éléments de de degré inférieur ou égal à et celui constitué des éléments de divisibles par . • Si est une application linéaire, et désignent respectivement son noyau et son image. • Si est un endomorphisme, par convention, est l'application identité, et pour tout entier naturel , on pose . • On considère un intervalle de contenant au moins deux éléments. On dira que l'intervalle est un voisinage de s'il existe un réel tel que . On note le espace vectoriel des applications de classe de dans , son élément nul, l'application identité de et l'endo- morphisme « dérivation » de , c'est-à-dire tel que : . • Pour tout de , et pour tout entier strictement positif, désigne la dérivée de .

• p≤ ?k πp


• espace vectoriel de dimension finie


• série entière


• solution dévelop- pable en série entière sur l'intervalle


• equation différentielle

Sujets

• Espace vectoriel de dimension finie
• Série entière
• Équation différentielle

Informations

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• Langue: Français

Extrait

MATHÉMATIQUES IFilière PC MATHÉMATIQUES I

Objectifs On se propose, dans ce qui suit, de déterminer l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants lorsqu’elle est homogène, puis lorsque celle-ci admet un « second membre » d’un type particulier. La partie I vise à établir des résultats utiles dans les suivantes.

Notations 2 • Pourtout couple (m,n) ∈IN :  si m≤n l’ensemble {k∈IN,m≤k≤n} est noté [[m,n]] ; * δ vaut 1 si m=n , 0 sinon. * m,n 2 • Si (p,q) ∈IN , on note IC[X] l’ensemble constitué des éléments de IC[X] de q degré inférieur ou égal à q et IC[X] celui constitué des éléments de IC[X] q,p q p divisibles par X . • Si u est une application linéaire, Ker(u) et Im(u) désignent respectivement son noyau et son image. 0 • Si u est un endomorphisme, par convention, u est l’application identité, et p+1p pour tout entier naturel p , on pose u=uou . • Onconsidère un intervalle I de IR contenant au moins deux éléments. On dira que l’intervalle I est un voisinage de 0 s’il existe un réel α >0 tel que ∞ [–α, α] ⊂I . On note E le IC- espace vectoriel des applications de classe C de I dans IC , 0 son élément nul, id l’application identité de E et D l’endo- E E morphisme « dérivation » de E , c’est-à-dire tel que : ∀f∈E,D(f)=f′ . (k) • Pourtout y de E , et pour tout k entier strictement positif, y désigne la ième(0) dérivée k de y . Par convention y=y . • Si P∈IC[X] et z∈IC , on note deg(P) le degré de P et P l’application de I 〈z〉 zt dans IC définie par : ∀t∈I,P(t)=P(t)e . 〈z〉

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MATHÉMATIQUES I

Filière PC

Filière PC

Partie I - 2 Soient z∈IC et (p,q) ∈IN tel que p≤q . I.A -Montrer que IC[X] est un IC- espace vectoriel de dimension finie et pré- q,p ciser sa dimension. I.B -Montrer qu’on peut définir une application ϕ de IC[X] dans E définie par : z ∀P∈IC[X],ϕ (P)=P . z〈z〉 Montrer que ϕ est linéaire et injective. z I.C -Déduire des questions précédentes que les images par ϕ  de IC[X]  et z q IC[X] sont des sous-espaces vectoriels de E de dimensions finies que l’on pré- q,p cisera.

Dans la suite de ce problème, n est un entier naturel non nul, α=(α ,…α ) un 0n n+1 élément de IC tel que α n’est pas nul, et on note (H) l’équation différentielle, n d’inconnue y élément de E : n (k) (H)αy=0 . ∑ k E k=0

Partie II - On se propose, dans cette partie, de déterminer S , l’ensemble des solutions de H (H) définies sur I . On admettra quedim (S)=n . H n   k II.A -Justifier que S=Ker αD  . ∑ H k   k=0 n k On note p le nombre de racines distinctes du polynôme A=αX de IC[X] ; ∑ k k=0 on note r,r…r ses racines et m,m…m leurs ordres de multiplicité respec- 1 2p1 2p tifs.

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MATHÉMATIQUES IFilière PC II.B -Vérifier que S contient le sous-espace vectoriel de E : H p m j Ker((D–r⋅id) ) . ∑ j E j=1 On admettra que cette somme est directe. * II.C -Dans cette question, r∈IC et m∈IN . a) Soit P un élément non nul de IC[X] . Justifier l’existence d’un élément Q de IC[X] tel que d°Q<d°P et (D–r⋅id)(P)=Q . E〈r〉 〈r〉 b) En déduire par récurrence la propriété suivante pour tout entier k  de [[1,m]] : k si P∈IC[X] , alors P∈Ker((D–r⋅id) ) . k–1〈r〉E m c) Enconclure que Ker((D–r⋅id) )  estun sous-espace vectoriel de E  de E dimension au moins m . II.D -Déduire de ce qui précède que, pour tout élément y de E , on a l’équiva- lence suivante, y ∈ S si et seulement si il existe une famille (P) d’élé- H j j∈ [[1,p]] ments de IC[X] telle que : p r t j ∀j∈ [[1,p]],deg(P) <m et ∀t∈I,y(t)=P(t)e . ∑ j jj j=1 II.E -Dans le cas où I est un voisinage de 0 , prouver que pour tout réel α stric- tement positif tel que ]–α, α[⊂I , les solutions de (H)  sontdéveloppables en série entière sur ]–α, α[ .

Partie III - Dans cette partie, on considère un polynôme B de IC[X] , non nul. On note d le degré du polynôme B . On choisit un nombre complexe z et on note m l’ordre de multiplicité (éventuellement nul) de z  entant que racine du polynôme n k A=αX de IC[X] . ∑ k k=0 On se propose de résoudre l’équation différentielle, d’inconnue y élément de E , notée (L) : n (k) (L) αy=B . ∑ k〈z〉 k=0

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MATHÉMATIQUES IFilière PC III.A -Vérifier qu’on peut définir une application ψ , de IC[X]  dans E , m+d,m définie par n k ∀P∈IC[X],ψ(P)=αD(P) ∑ m+d,m k〈z〉 k=0 puis montrer que celle-ci est linéaire. III.B -Prouver que ψ est injective et que Im⊂ ϕ((ψ )IC[X]) . z d III.C -Démontrer qu’il existe un unique élément Π de IC[X] tel que Π m+d,m〈z〉 soit solution de (L) , définie sur I , puis préciser, en fonction de Π , l’ensemble des solutions de (L) sur I . III.D -Dans le cas où l’intervalle I est un voisinage de 0 , les solutions de (L) sont-elles développables en série entière sur tout intervalle ]–α, α[(α >0)  tel que ]–α, α[⊂I ?

Partie IV - On suppose, dans cette dernière partie, que α vaut 1 et que : 0 M=maxα . k k∈ [[0,n]] On considère également un élément b de E et on note (L) l’équation différen- b tielle, d’inconnue y élément de E : n (k) (L) αy=b . ∑ b k k=0 + * IV.A -Soit α ∈IR tel que ]–α, α[⊂I et que (L) admette une solution dévelop- b pable en série entière sur l’intervalle ]–α, α[ . Montrer que b également développable en série entière sur l’intervalle est ]–α, α[ . Qu’en est-il alors des autres solutions de (L) ? b IV.B -Montrer que, si p∈IN , alors il existe un unique élément Π de IC[X] tel p p que : n p (k) X α Π= - . ∑ k p p! k=0 p+1 Prouver qu’il existe un unique élément (π ) de IC tel que : p,j j∈ [[0,p]] p j X   Π=π ⋅ - . ∑  j!  p p,j j=0

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MATHÉMATIQUES IFilière PC IV.C -Prouver que : min{n,p–q} 2 ∀(p,q) ∈INq≤p)⋅ π⇒ (α=δ ∑ k p,q+k p,q k=0 IV.D -Lorsque p est un entier strictement positif, traduire sous forme matri- p+1 cielle le système linéaire précédent d’inconnue (π ) , élément de IC , p,j j∈ [[0,p]] puis écrire une procédure qui, en fonction de n et du système α , détermine l’uni- que solution de celui-ci. IV.E - j a) Vérifierque : ∀p∈IN, ∀j∈ [[0,p]],π ≤(2M) . p,p–j b) Endéduire que, pour tout t∈IR et pour tout entier q , alors : q Π (t) ≤(2M+t) . q On suppose dorénavant que b est une application de I dans IC développable en série entière sur un intervalle ]–α, α[ ( α >0 ) inclus dans I . On note r le rayon (n)n de convergence de la série entière b(0)z et on suppose que r>2M . ∑ IV.F - a) Montrerqu’il existe β élément de ]0, α[ tel que la suite de fonctions (f) p p∈IN définie par : p (q) ∀p∈IN∀t∈I , f(t)=b(0)Π (t) ∑ q p q=0 converge sur ]–β, β[ . On note f la limite de cette suite de fonctions, définie sur ]–β, β[ . n b) Prouverque f est de classe C sur ]–β, β[ . IV.G -Justifier que f est une solution de (L) définie sur l’intervalle sur ]–β, β[ . b

∞ IV.H -Prouver que f est de classe C sur ]–β, β[ et que pour tout entier k>0 , on a : (k) (k) ∀t∈]–β, β[,f(t)=limf(t) . p p→+∞ + IV.I -Si t∈IR , on note E(t) sa partie entière.

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MATHÉMATIQUES IFilière PC On se propose, dans cette question, de démontrer que f est développable en série entière sur ]–β, β[ . À cet effet, on introduit un élément x de ]–β, β[ puis, pour + tout entier p de IN , l’application e de IR dans IC définie par : p (E(t))E(t) f(0) ⋅x + p ∀p∈IN,∀t∈IR,e(t)= - . p [E(t)]! + a) Montrerque, si p∈IN , e est intégrable sur IR et préciser la valeur de son p + intégrale sur IR . + b) Exhiberune application e en escalier de IR dans IR intégrable telle que : + ∀p∈IN,∀t∈IR,e(t) ≤e(t) . p c) Conclure. IV.J - a) Qu’endéduit-on pour les solutions de (L) sur l’intervalle ]–β, β[ ? b b) Lesrésultats précédents sont-ils encore valables si α n’est pas égal à 1 ? 0

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