Concours Centrale Supélec

Laurent

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2005 1/4 MATHÉMATIQUES I Filière TSI Les polynômes intervenant dans ce problème sont des polynômes à une indéter- minée sur le corps des nombres réels. Un polynôme pourra être indifférem- ment noté ou . On désigne par l'espace vectoriel des fonctions continues de sur , par le sous-espace vectoriel de constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à ( entier naturel), et par la partie entière d'un entier . Partie I - I.A - désignant la fonction cosinus hyperbolique et la fonction sinus hyper- bolique, on rappelle que : . I.A.1) Montrer que, . I.A.2) En déduire, pour tout entier naturel , l'existence d'un polynôme tel que : , . Expliciter , , , et . I.B - I.B.1) Démontrer que pour tout : En déduire que la suite est unique. I.B.2) Démontrer que, pour tout entier naturel : , . I.B.3) Calculer le terme de plus haut degré de . Déterminer la parité de . I.B.4) Démontrer que, si et , alors . I.C - Dans cette question est un entier naturel non nul fixé. Démontrer que les racines de sont toutes réelles, distinctes, et qu'elles appartiennent à l'intervalle .

• p2 p3


• application définie dans la relation


• polynôme


• a0 a1


• a1 a2


• polynôme de degré inférieur

Sujets

• Polynôme

Informations

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Extrait

MATHÉMATIQUES I

MATHÉMATIQUES I

Filière TSI

Les polynômes intervenant dans ce problème sont des polynômes à une indéter- minée X sur le corps IR des nombres réels. Un polynôme pourra être indifférem- ment noté P ou P(X) . On désigne par E l’espace vectoriel des fonctions continues de [–1,1] sur IR , par F le sous-espace vectoriel de E constitué des polynômes de n degré inférieur ou égal à n ( n entier naturel), et par [n] la partie entière d’un entier n .

Partie I - I.A - ch désignant la fonction cosinus hyperbolique et sh la fonction sinus hyper- nαn bolique, on rappelle que : ∀α ∈IR, ∀n∈IN,e=(chα+ shα) . [n∕2] k n n– 2k2   I.A.1) Montrerque, ∀α ∈IR, ∀n∈IN,chnα=(chα) (chα– 1) . ∑   2k k= 0 I.A.2) Endéduire, pour tout entier naturel n , l’existence d’un polynôme P n tel que : ∀α ∈IR , ch(nα)=P(chα) . n Expliciter P , P , P , P et P . 0 1 2 34 I.B - I.B.1) Démontrerque pour tout n≥2 : P(X)+P(X)= 2X P(X) n n– 2n– 1 En déduire que la suite (P) est unique. n n∈IN I.B.2) Démontrerque, pour tout entier naturel n : ∀α ∈IR , P(cosα)= cos(nα) . n I.B.3) Calculerle terme de plus haut degré de P . Déterminer la parité de n P . n I.B.4) Démontrerque, si x>1 et n≥1 , alors P(x) >1 . n I.C -Dans cette question n est un entier naturel non nul fixé. Démontrer que les racines de P toutes réelles, distinctes, et qu’elles sont n appartiennent à l’intervalle ]–1,1] . Elles seront notées x , 0≤i≤n– 1 telle de i sorte que la suite des x soit strictement décroissante. On déterminera la valeur i de x . i

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MATHÉMATIQUES I

Filière TSI

Filière TSI

Partie II - II.A - II.A.1) Pour f élément de E , justifier la convergence de l’intégrale : 1 f(t) - dt . –1 2 1 –t II.A.2) Montrerque l’application Φ de E×E dans IR définie par 1 f(t)g(t) Φ:(f,g)a(f g)= - dt ∫ –1 2 1 –t définit un produit scalaire sur E . On notera . la norme associée à ce produit scalaire. II.B -Pour un entier naturel n , on pose : n 1 t I= - dt . ∫ –1 2 n 1 –t Établir une relation de récurrence entre I et I , pour n≥2 . En déduire la n n– 2 valeur de I . n II.C - II.C.1) Calculer,pour m et n entiers naturels : 1 P(t)P(t) n m - dt . –1 2 1 –t Que peut-on en déduire ? II.C.2) Démontrerque n 1 t P(t) m - dt= 0 –1 2 1 –t lorsque n et m sont deux entiers naturels tels que n<m . 2 II.D -Soit h la fonction de E définie par h(x)= 1–x . Calculer la distance de h au sous-espace F , c’est-à-dire le nombre d(h,F)= infh–P . 4 4P∈F 4

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MATHÉMATIQUES IFilière TSI Partie III - Dans cette partie, n est un entier naturel non nul fixé. L’espace F est muni du n produit scalaire défini au II.B. III.A - III.A.1) Soit P∈F un polynôme de degré inférieur ou égal à n , dont le poly- n nôme dérivé est noté P′ . 2 Calculer la dérivée de la fonction x→1 –xP′(x) et en déduire qu’il existe un unique polynôme Q∈F , que l’on exprimera en fonction de P′ et P′′ , tel que n 2 d 2 ∀x∈]–1,1[ , Q(x)= 1–x - [1 –xP′(x)] (1) dx Montrer de plus que l’application ϕ définie dans la relation (1) par ϕ(P)=Q est un endomorphisme de F . n III.A.2) Danscette question seulement, on suppose n≥2 . Déterminer la 2n matrice M de ϕ dans la base canonique (1,X,X, …X) de F . n III.A.3) L’endomorphisme ϕ est-il diagonalisable ? III.B - III.B.1) Démontrerque ϕ est un endomorphisme symétrique de F . On pourra n utiliser l’expression (1) de Q obtenue à la question III.A.1). III.B.2) Enutilisant la question II.C.2), démontrer que pour tout entierk, 0≤k≤n , il existe un réel λ tel que ϕ(P)=λP . En utilisant le terme de plus k kk k haut degré de P , déterminer λ . k k III.B.3) Retrouveret préciser le résultat obtenu à la question III.A.3). III.C -Dans cette question, n= 2 . 2 On pose, pour tout polynôme P∈F et tout réel λ , q(P)=λP+(ϕ(P)P) . 2λ III.C.1) Montrerque q est une forme quadratique sur F . λ2 III.C.2) Discuterselon la valeur de λ  lanature de la quadrique définie par l’équation q(P)= 1 . λ

Partie IV - IV.A -On désigne par x , x , x les racines du polynôme P et par A , A , A 0 1 23 01 2 trois nombres réels. Pour tout élément f de E , on définit le nombre R(f) par : 1 f(t) - dt=A f(x)+A f(x)+A f(x)+R(f) . 0 01 12 2 –1 2 1 –t

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MATHÉMATIQUES IFilière TSI IV.A.1) Déterminer A , A , A  pourque R(P)= 0 toute fonction poly- pour 0 1 2 nôme P élément de F . 2 IV.A.2) Démontrerqu’alors R(P)= 0 pour toute fonction polynôme P de F : 5 on pourra utiliser une division euclidienne par le polynôme P . 3 IV.B -Justifier l’existence de l’intégrale 5 0 x I= - dx ∫ –2 2 –x– 2x et déduire de IV.A) sa valeur. IV.C -Pour n fixé non nul, on désigne par (x) les racines de P (défi- j n 0≤j≤n– 1 nies dans la partie I). IV.C.1) Soit x un réel tel que sinx≠0 . n– 1 Exprimer la somme cos((2j+ 1)x) à l’aide de sin(2nx) et de sinx . ∑ j= 0 IV.C.2) Endéduire pour un entier naturel k donné, k≤2n– 1 , la valeur de n– 1 S=P(x) . ∑ k kj j= 0 IV.C.3) Démontrerqu’il existe un réel α , que l’on déterminera, tel que, pour toute fonction polynôme P de F , on ait 2n– 1 n– 1 1 P(x) - dx=αP(x) . ∑ j –1 2 1 –x j= 0

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