Concours Centrale Supélec

Jean-Philippe Rey

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2000 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière MP Définitions Si est une fonction de classe définie sur un ouvert et à valeurs réel- les, on notera, pour , fois, fonction définie sur le sous- domaine de défini par . On appelle -cycle de un ensemble de éléments tel que . On appelle multiplicateur du cycle la quantité . Un point est dit -périodique s'il est élément d'un -cycle ; un point périodique est encore appelé point fixe. Le multiplicateur d'un point périodi- que est alors le multiplicateur du cycle le contenant, qui n'est autre que le multiplicateur de comme point fixe de . Le cycle (ou le point -périodique) sera dit attractif, super attractif, indifférent ou répulsif suivant que la valeur absolue de son multiplicateur est strictement inférieure à , égale à , égale à ou strictement supérieure à . On pourra être amené à utiliser un théorème de fonctions implicites dans . On pourra alors admettre le résultat suivant : Théorème : Soit un ouvert de , une fonction de classe , et un point de , tels que . Alors il existe , tels que si on pose , , l'ouvert est inclus dans et il existe une fonction : de classe telle que : . Le thème général du problème est l'étude globale de la méthode de Newton appliquée aux polynômes.

• ir?


• m?m m?m


• polynôme de degré


• logiciel de calcul formel


• cycle attractif d'ordre


• bassin immédiat


• x1


• super attractif

Sujets

• Système de calcul formel

Informations

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• Langue: Français

Extrait

MATHÉMATIQUES IFilière MP MATHÉMATIQUES I

Définitions  Si f est une fonction de classe C définie sur un ouvert  IR et à valeurs réel- p les, on notera, pour p1 , f=f f..fp  fois,fonction définie sur le sous- o o 2p– 1 domaine de   définipar {x f(x) ,f(x), , f(x) } . On appelle p -cycle de f  unensemble de p  éléments {x,x}   telque 0p– 1 f(x)=x ,,f(x)=x,f(x)=x . On appelle multiplicateur du cycle 0 1p– 2p– 1p0– 1 la quantité p (f)(x)=f(x)f(x)f(x) . 0 01p– 1 Un point x   estdit p -périodique s’il est élément d’un p -cycle ;un point 1 - périodique est encore appelé point fixe. Le multiplicateur d’un point périodi- que x est alors le multiplicateur du cycle le contenant, qui n’est autre que le 0 p multiplicateur de x comme point fixe de f . Le cycle (ou le point p -périodique) 0 sera dit attractif, super attractif, indifférent ou répulsif suivant que la valeur absolue de son multiplicateur est strictement inférieure à 1 , égale à 0 , égale à 1 ou strictement supérieure à 1 . 2 On pourra être amené à utiliser un théorème de fonctions implicites dans IR . On pourra alors admettre le résultat suivant : 2 1 Théorème:Soit  un ouvert de IR , F: IR une fonction de classe C , et (x,y) un point de  , tels que 0 0 F F(x,y)= 0, - (x,y)0 . 0 00 0 y Alors il existe  ,  >0 tels que si on pose I= ]x–,x+[ , 0 0 J= ]y–,y+[ , l’ouvert V=I×J est inclus dans  et il existe une 0 0 1 fonction g : ]x–,x+[]y–,y+[ de classe C telle que : 0 00 0 (x,y)V,F(x,y)= 0y=g(x) .

Le thème général du problème est l’étude globale de la méthode de Newton appliquée aux polynômes.

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MATHÉMATIQUES I

Filière MP

Filière MP

Partie I - La méthode de Newton pour les polynômes réels Soit P:IRIR fonction polynomiale non constante et une ={xIRP(x) 0} . Si x  , on définit N(x) étant l’abscisse de comme P l’intersection de la tangente en (x,P(x)) au graphe de P avec l’axe des x . I.A -Montrer que : P(x) x ,N(x)=x– - . P P(x) I.B - I.B.1) Si x  , calculer N (x) . P I.B.2) Soit a un nombre réel. Montrer que si P(a)= 0 , P(a)0 alors a est un point fixe super attractif de N . P Si a est un zéro d’ordre p2 de P montrer que N peut se prolonger par con- P tinuité en a qui devient un point fixe attractif de N de multiplicateur 1 – 1p . P Si x  , on dira que la suite de Newton de x par P est bien définie si l’on peut définir une suite (x) telle que x=x et : n0 nIN,x  et x=N(x) . n n+ 1P n Dans ce cas, cette suite (x) sera la suite de Newton de x par P . n I.C -Montrer que si la suite de Newton de x par P est bien définie et converge vers aIR alors P(a)= 0 . I.D -Soit réciproquement aIR un zéro de P . I.D.1) Montrerl’existence de  >0 tel que si y–a<  alors la suite de Newton de y par P est bien définie et converge vers a . On appelle I(a) le plus grand intervalle contenant a et formé de points dont la suite de Newton par P converge vers a . I.D.2) Montrerque c’est un intervalle ouvert ; on l’appelle le bassin immédiat de a .

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MATHÉMATIQUES IFilière MP I.E - _ I.E.1) Onsuppose que P a au moins deux racines réelles. Soit a le plus petit _ zéro de P ; on suppose que  , le plus petit zéro de  vérifie >a et que P ne _ s’annule pas sur ]–,[ . Montrer que le bassin immédiat de a égal à est ]– ,[ . I.E.2) Onsuppose que le bassin immédiat du zéro a  de P  estde la forme ], [ , ,  IR . Montrer successivement que N(], [) ], [ , que P()P()P()P()0 , et P enfin que N()= , N()= . Ce 2 - cycle peut-il être attractif ? P P I.F -Les hypothèses de la question I.E.2 étant toujours vérifiées, montrer que le bassin immédiat de a contient un zéro de P . I.G -On suppose P de degré d2 possédant d zéros distincts. Montrer que N P attire tout zéro de P vers un zéro de P .

Partie II - Étude algébrique Soit P un polynôme de IC[X] de degré d (on note d°(P)=d ) . Dans cette partie la dérivation est à prendre au sens de la dérivation formelle des polynômes ou plus généralement des fractions rationnelles et N est la fraction rationnelle P P(X) N(X)=X– - . P P(X) II.A -Montrer que si P a d zéros distincts alors R=N vérifie P # Q ! R= - ,Q,SIC[X],PGCD(Q,S)= 1,d°(Q)=d,d°(S)=d– 1 S " (*) !  etRpossèded points fixes super attractifs    (Un point fixe super attractif de R  estun point zIC  telque R(z)=z , R(z)= 0 ). $ II.B -Soit réciproquement R fraction rationnelle vérifiant une () . Montrer qu’il existe PIC[X] , de degré d , possédant d zéros distincts, tel que R=N . P II.C -Deux fractions rationnelles f , g sont dites semblables s’il existe une simi- litude T(z)=az+b ( a,bIC,a0 ) telle que si D, D désignent les domaines de définition de f , g le complémentaire dans (c’est-à-dire IC  del’ensemble des pôles) alors T(D)=D et –1 zD , f(z)=TT g(z) . o o

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MATHÉMATIQUES IFilière MP Si a,bIC,a0 et si T(z)=az+b montrer que N est semblable à N . P TP o 2 2 II.D -Déterminer N pour P(X)=X , P(X)=X– 1 : montrer que si P est un P z z 1 polynôme de degré 2 alors N est semblable à za - ou bien à za - + - . P 2 2 2z II.E -Pour mIC on définit 3 2 P(z)=z+(m– 1)z–m=(z– 1)(z+z+m),N(z)=N(z) m mP m Montrer que si P  estun polynôme de degré 3 alors soit N  estsemblable à P 2z za - soit il existe mIC tel que N est semblable à N . P m 3 II.F -Quel est l’intérêt des résultats des deux questions précédentes pour l’étude des suites de Newton par les polynômes de degré %3 ?

Partie III - Étude analytique du cas cubique réel Dans cette partie on suppose mIR , on garde les notations du II.E et on s’inté- resse au comportement des suites de Newton des nombres réels par P . m III.A - III.A.1) Montrerque P a trois zéros (complexes) distincts si et seulement si m m–2 , m14 . III.A.2) Onsuppose m>1 : montrer que la suite de Newton de tout réel x par P est définie et converge vers un réel à préciser. m III.B - III.B.1) Montrerque si m<14 , m–2 alors P possède trois zéros réels dis- m tincts, soient : – 1 +1 – 4m– 1 –1 – 4m 1 , a= - , b= - . mm 2 2 Si de plus m<0 , montrer qu’il existe m]0,14[ tel que N soit semblable à m N . m III.B.2) Onsupposera désormais dans cette partie que m [0,14[ . P  pos- m sède alors trois zéros réels distincts, soient : – 1 +1 – 4m1 – 4– 1 –m 1 , a= - , b= - . m m 2 2

± 1 –m III.B.3) Onpose x=±- et on désigne par ](m), (m)[ le bassin immé- 0 3 diat de a . Montrer que la fonction xaN(x) est strictement décroissante m m - + sur ]x,a[ et strictement croissante sur ]0,x[ . 0m0

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MATHÉMATIQUES IFilière MP III.B.4) Montrerque la fonction M=N N est définie sur un intervalle m m o m - +- +- ++ - ]x,x[]x,x[ où N(x)=x , N(x)=x . 1 10 0m1 0m1 0 - + On désigne par  ,  le plus petit et le plus grand zéro de M . Montrer que la m - - fonction M est strictement décroissante sur ]x, [ et strictement croissante m1 + + sur ] ,x[ . 1 - + III.B.5) Montrerque l’intervalle ][ ,   estinclus dans le bassin immédiat de a . m III.B.6) Déduirede III.B.4 et III.B.5 que {(m),(m)} est le seul 2 - cycle de N . m 1 III.B.7) Montrerque (0)= –(0) et en déduire que (0)= – - . 5 III.B.8) Onpose F(m,x)=M(x)–x . Si u est un réel, un développement limité m à l’ordre 1 de la fonction 1 maF(m,– - +um) 5 peut être obtenu grâce à un logiciel de calcul formel. On trouve : 25 – 75 ) * 35u+ - m+o(m) . ' ( 2 En déduire, avec toutes les justifications nécessaires, un développement limité à l’ordre 1 de  en 0 . III.C - III.C.1) Montrerqu’il existe une et une seule valeur m de mIR telle que 0 0 –3 soit 2 -périodique pour N . Donner une valeur approchée à 10 près par défaut m de m en indiquant l’algorithme utilisé. 0 III.C.2) Montrerqu’il existe  >0 que si tel m–m<   alors N un admet 0m cycle attractif d’ordre 2 qui attire 0 .

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