Concours Centrale Supélec

Jean-Philippe Rey

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2000 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière TSI Le but de ce problème est de définir et d'étudier, de différentes manières, la cons- tante d'Euler. Les quatre parties proposées sont, dans une large mesure, indé- pendantes les unes des autres. Partie I - Pour tout , on pose : , , . I.A - Montrer que : , , . I.B - Montrer que les suites et sont adjacentes. On notera leur limite commune. Montrer, de plus, que : . I.C - En déduire une valeur approchée de à près. I.D - Posons : , . Montrer que la série de terme général est convergente et que l'on a : . I.E - Soit un entier supérieur ou égal à . Pour tout réel non nul , on pose : . I.E.1) Soit la fonction affine définie sur l'intervalle par : , . Calculer : . n 2≥ Sn 1 i -- i 1= i n= ∑= un Sn nln–= vn Sn 1– nln–= x [0 1[,?? x 1 x–( ) 0≤ln+ x 1 x+( ) 0≥ln– un( ) vn( ) ? n 2 vn ? un≤ ≤,≥? ? 10 1– n 2≥? wn n n 1–------------? ?? ? 1n--

• up ? wn


• filière tsi


• ?n ?


• vn sn


• polynôme de degré inférieur


• concours centrale -supélec


• wn

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• Langue: Français

Extrait

MATHÉMATIQUES I

MATHÉMATIQUES I

Filière TSI

Le but de ce problème est de définir et d’étudier, de différentes manières, la cons- tante d’Euler. Les quatre parties proposées sont, dans une large mesure, indé- pendantes les unes des autres.

Partie I - Pour tout n2 , on pose : i=n 1 S=- , u=S– lnn , v=S– lnn . n  n nn n– 1 i i= 1 I.A -Montrer que : x[0,1[ , x+ ln(1 –x) 0 , x– ln(1 +x) 0 . I.B -Montrer que les suites (u) et (v) sont adjacentes. On notera leur limite n n commune. Montrer, de plus, que : n2,vu . n n –1 I.C -En déduire une valeur approchée de à 10 près. I.D -Posons : n2 , n 1  w= ln - – - . n   n– 1 n Montrer que la série de terme général w est convergente et que l’on a : n n= + u–=w . p  n n=p+ 1 I.E -Soit k un entier supérieur ou égal à 2 . Pour tout réel non nul t , on pose : 1 f(t)= - . t I.E.1) Soit g la fonction affine définie sur l’intervalle [k–1,k] par : g(k– 1)=f(k– 1) , g(k)=f(k) . Calculer : k g(t)dt .  k– 1

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MATHÉMATIQUES I

Filière TSI

Filière TSI

I.E.2) Montrerqu’il existe une et une seule fonction h , affine sur chaque 1 1 intervalle ]- ,k– - ,k– - ,+ [ , telle que : 2 2 h(k– 1)=f(k– 1) , h(k)=f(k) , h(k– 1)=f(k– 1) , h(k)=f(k) . I.E.3) Quepeut-on dire de la continuité de h ? I.E.4) Calculer: k h(t)dt .  k– 1 I.F -Montrer que : t [k– 1,k],h(t) f(t) g(t) . I.G -Etablir l’encadrement suivant : 1 1 1 1k 1 1  - + - + - – - ln - - + - . 2 2   2(k– 1)2 k k– 1 2(k– 1)2k 8k 8(k– 1) I.H -En déduire un encadrement de u– , pour n2 . n –3 I.I -Donner une valeur approchée de à 10 près.

Partie II - II.A -Montrer l’égalité : i=n n 1 1 1–t - = - dt .   1 –t i 0 i= 1 II.B -En déduire que : n x  i=n 1 –1 – - n   n 1 - = - dx   i 0 x i= 1 1 nn n x dxx dx    u–= 1– 1 - - –– 1 - - .        n 0 n x 1 n x II.C -Démontrer les inégalités suivantes : Concours Centrale-Supélec 2000

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MATHÉMATIQUES I II.C.1) xIR , x 1 +xe . II.C.2) x [0,n] , n x –x  1 – - e .   n II.C.3) x [0,n] , n x x  1 + - e .   n II.C.4) x [0,n] , n 2 2  x x  1 – -  1 – - . 2 n   n N.B. : on pourra commencer par démontrer que : n u [0,1], (1 –u)– 1 +nu0 . II.C.5) x [0,n] , n 2 –x x  x –x 0e–– 1 - - e .   n n II.D -Montrer que l’intégrale –x + e - dx  1 x converge et que l’on a : –x 1 + –x dx e =(1 –e) - – - dx .   0 x 1 x

On pose : x>0 , 1 1 (x)= - – - . –x x 1 –e

Partie III -

Filière TSI

III.A -Montrer que  est prolongeable par continuité en 0 et bornée sur IR+ . + –x III.B -Montrer que l’intégrale e(x)dx est convergente.  0 III.C -On pose, pour n2 : –x–nx + e–e I(a)= - dx .  x n a

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Filière TSI

Montrer que I(a) existe, pour tout a>0 , et que l’on a : n –x–x na na e1 –e a>0 , I(a)= - dx= lnn– - dx .   n a x a x –x–nx + e–e III.D -Montrer que l’intégrale - dx est convergente et que l’on a :  0 x –x–nx + e–e - dx= lnn .  x 0

III.E -Montrer que : + –x–nx v=(e–e)(x)dx .  n 0

III.F -En déduire que : + –x =e(x)dx .  0

Partie IV -

Soit IR[X] le sous-espace de IR[X] formé des polynômes de degré inférieur ou n égal à n . Soit  l’endomorphisme de IR[X] défini par : PIR[X] ,  (P)(X)=P(X+ 1)–P(X) . Soit   larestriction de   à IR[X] , considérée comme endomorphisme de n n IR[X] . n IV.A -Déterminer Ker , Ker , Im , Im . n n IV.B -Soit pIN . Montrer qu’il existe un et un seul polynôme P de IR[X] tel p que : p (P)(X)=X , P(0)= 0 . p p

IV.C -Soit, pour p1 , Q(X)=P (X)–P (0) . p pp IV.C.1) Calculer (Q) . p IV.C.2) Endéduire l’égalité : Q(X)=pP(X) , p1 . p p–1

IV.D -Déterminer les polynômes P , pour 0p5 . p IV.E -Montrer que : 1 x [0,1] , – - P(x) 0 . 5 128

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MATHÉMATIQUES I

Filière TSI

 IV.F -Pour k , pIN , on pose : 1 p P(t) p– 1 I(k)= - dt .  p+ 1 p 0 (t+k) IV.F.1) Déterminerune relation de récurrence entre I(k) et I(k) . p p+ 1 IV.F.2) Calculer I(k) . 1 IV.F.3) Donnerune expression de I(k) en fonction de I(k) . 6 1 IV.F.4) Etablirles inégalités suivantes : 1 1 1  – - - – - I(k) 0 . 6  6 6  128 k(1 +k) IV.F.5) Al’aide de la question I.D, en déduire un encadrement de u– . n IV.F.6) Donnerles dix premières décimales de .

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