La lecture en ligne est gratuite
Lire Télécharger
CONCOURS COMMUN 2008 ´ ` DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES
Instructionsg´en´erales:
´ EpreuveSp´eciquedeMathe´matiques (li`ereMPSI)
Mardi20mai2008de8h00`a12h00
Lescandidatsdoiventv´erierquelesujetcomprend4pagesnum´erote´es1/4,2/4,3/4,4/4. Lescandidatssontinvit´es`aporteruneattentionparticuli`ere`alar´edaction:lescopiesillisiblesoumal pre´sent´eesserontp´enalis´ees. Lescandidatscollerontsurleurpremie`refeuilledecompositionl´etiquette`acode`abarrescorrespondant a`l´epreuvesp´eciquedeMathe´matiques.
L’emploi d’une calculatrice est interdit
Remarque importante :
Siaucoursdele´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurde´nonc´e,illesignalera sursacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquila´et´e amene´a`prendre.
Lesdeuxprobl`emessontind´ependants. Bare`meindicatif:10pointspourchaqueprobl`eme.
Premierprobl`eme 2 Dans le plan euclidienR, au pointMroodnne´se(decox, y) on associe l’affixem=x+iy. z+z Leconjugu´edez´tetsonez, son module|z|=zz,ete(ee´rRellapaseitrz) =. 2 1 3 2π i2 2 3 On notej= e= +ile complexe solution deX+Xet on rappelle que+ 1 = 0,j=j. 2 2 Etudeduneine´galite´
+ 1.SoitaC. Montrer que|a|= Re(a)aR. ¡ ¢ 2 2 2.Soitz, wC(´elertron,m:etnaviuse´tilag|z|+|w|)− |z+w|= 2|zw| −Re(zw) . 3.et:Ee´dnriudileegn´italsu´eaniv|z+w|6|z|+|w|ntreetmoilyarqu´tilage´este,isetsenemuli,z etwe.insoe´utrussniopisstdeesuxdelentxsaedlrogitiiesseudemidrounemˆeme
La notion de(p:q)point
SoientAetBdeux points du plan d’affixes respectivesaetb. Soientpetq.dxreuel´etrsscietemtnopisitsf za p 4.PourA6=B, montrer qu’il existe un unique point d’affixez,onl=ellelae(pprei´vnatp:q) bz q pointdeA`aBernteiunuiqnsai´moe´gnoitate´rpetrique.aexsrnonoenD. 5.Soitα]0,+[, montrer que le (p:q)pointdeAa`Bet le (αp:αq)pointdeAa`B.dentnıicc¨o 6.1(elresi)1:Ct´eraracpointdeAa`B.
´ ` CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES ´ EpreuveSpe´ciquedeMathe´matiques(lie`reMPSI)
Page 1/4
7.A, B, Co,nnedxuxua`stedaoterrttnengise´dnctiissdntoispoicl’affixe deC. SoientXle (p:q) pointdeA`aBetYle (p:q)pointdeA`aC. Montrer que la droite (XYioetela`alrdparall`e)est (BC). La notion de(p:q)soustriangle ′ ′ ′ On appelle (p:q)soustriangledu triangle Δ(ABC), le triangle Δ(A B Cu`o) ′ ′ Aest le (p:q)pointdeA`aBd’affixea, ′ ′ Best le (p:q)pointdeB`aCd’affixeb, ′ ′ Cest le (p:q)pointdeCa`Ad’affixec. 8.raegt´vienucedtrelgn(Δud)eairtrybasoi(orentcelrennoDledexaABC). 9.Montrer que le (p:q)soustriangledu triangle Δ(ABC(queΔntreryceabosiemeˆmela)ABC). Etude de suites Onvaconside´rerunesuitedetrianglesΔ(AkBkCketnavius.)ocsnrtuitsdelamani`ere Le triangle Δ(A0B0C0tes)elps´x(edsueiotneuxdx`adnctsistitoutpour).EtkN, Δ(Ak+1Bk+1Ck+1) est le (p:q)soustriangledu triangle Δ(AkBkCk). On note, pourkN, parak,bketckles affixes respectives des pointsAk,BketCk.     q p0akak+1 1     10.0vinaet:riatnmiosuleelcineire´vtaleraltrquentrexeslesaoMbq pk=bk+1. p+q p0q ckck+1 2 2 11.On pose, pour toutkN,αk=ak+bk+ck,βk=ak+jbk+j ck,γk=ak+j bk+jckire´Vre. 2 q+qj p+jp que les suites (αk)k, (βk)ket (γk)kquesderaeom´etritesino,1rvitcepseeotst,e´ngetmn p+q p+q quellessonttoutesconvergentesenpr´ecisantleurlimite.(Onpourrautiliserlaquestion3..)    1 11 10 0 2    On poseV= 1j jetQ= 0on va prouver que0 1 ,Vitserevnlbisete,´eprsecionrs 2 1j j0 1 0 inverse. 12.SoitBM3(C), on poseC=BQnemmoC.ude´desttrmalaiteicCde la matriceB? 2 13.Montntnade´dtereimerqreuelVvaut 3j(j1). Montrer queVest inversible. CalculerV, en 1 1de´duirequeVest de la formeV Q, avecmNrpa`ice´.res m    αkak    14.En remarquant queβk=V bk,end´eduireqiusseleu(setak)k, (bk)ket (ck)ksont toutes les γkck troisconvergentes,etpr´eciserleurlimite. Etudeduneapplicationlin´eaire ϕ:M3(C)−→M3(C) Ond´enitlapplicationsuivante: 1 M7VV M 2 15.Montrer queϕllpncniietnapoaiesreuuqte´iarieiv´e(M, N)M3(C) ,ϕ(M N) =ϕ(M)ϕ(N). 1 16.e`erlpalpcitaoinidnscoOnψdeM3(Crap)d´enieψ(M) =V MV. Calculerψϕ. Montrer que ϕest une application bijective.      q p1 10 1 1q+jp      17.On poseA(p,q)= 0q p. CalculerA(p,q)montrer que1 ,A(p,q)j=j, p+q2p+q2 p0q1j j   1 2   et donner une expression similaire pourA(p,q)j. j
´ ` CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES ´ EpreuveSp´eciquedeMath´ematiques(lie`reMPSI)
Page 2/4
18.dcnlel´uuqd,eriu,eassnEacϕ(A(p,q)) =Do`uDnptoecr´alononedecirgaidnutstameelasesire coefficients diagonaux. 19.On rappelle que l’ensemble des matrices diagonales deM3(Certamuf,tid´enuied)seutannnaecumo © ª que deux matrices quelconques de l’ensembleA(p,q)/(p, q)]0,+[ commutent. 1 20.Montrer queA(1,n). . . A(1,2)A(1,1)=V DnV`ouDnest une matrice diagonale ayant pour coeffi à !à ! n nn n Y YY Y 2 2 k+j k+j k+j k+j cients diagonaux (1, ,). Montrer que les suiteset sont k+ 1k+ 1k+ 1k+ 1 k=1k=1k=1k=1 n n 2 j j convergentes vers 0. (On pourra admettre que1 +61 et1 +61.) ¯ ¯¯ ¯ k k Deuxi`emeproble`me Etude d’une fonction 1 21.Etudier sur ]0,+[ la fonctionf:x7→xition,leeded´enelodamnie´icesarprOn.xuamilsseti x bornes,lesextremaetasymptotes´eventuels. 22.oMqreutnertnocrapre´tiuniutpeonlgeonolprftnesarneoceron´ten0.Ceprolongemeef.Pecr´eris la valeur defen 0. 23.La fonctionflletse?n0eeblvari´eed 1/e 24.Montrer quefest une bijection de ]0,e] sur ]0,e ]. 1/e 25.epioruqdeontiecr´Lancfofuresblva]0setleue,d´erilecontin,?e ] Etude d’une suite t Soitx.OifosnpeΦunrx´e´eeltcmetsirsotineptx(t) =xuite(te,´dnoinesalttn)n`ireedelaman suivante t0= 1, tn+1= Φx(tn) pournN. Lorsque la suite (tn)nest convergente on noteh(x) sa limite dansR. 26.Six= 1, que peuton dire sur la convergence de la suite (tn)n? 27.Justifier que sih(xideralusets`aisex(cteite()tn)nest convergente) alorsh(x) = Φx(h(x)), en de´duiredanscecasquef(h(x)) =x. On va traiter le casx >1 : t 28.Montrer que pourx]1,+[, la fonction Φx:t7→xest strictement croissante surR. 29.Soitx >:ecnerrurentmo1,ecr´arrpnN,tn< tn+1. 1/e 30.On suppose quex]1,e],mceen:e´rrrrucrtnoaprenN,tn6.Eeslacecaadsnqeeuudridne´ suite (tn)nest convergente. 1/e 31.On supposex >et on veut montrer que la suite (e ,tn)na pour limite +. On pourra supposer que la suite est convergente versh(x) et en utilisant les questions27.et21.tnocenua`rituoban.ioctdira Conclure. Onvae´tudierlecasx]0,1[ : t 32.Montrer que pourx]0,1[, la fonction Φx:t7→xts´dceoreurissantesRonen.Qeuuetpuired´ed sur la monotonie de ΦxΦxsurR? 33.Pour 0< x <m,1aprertnorr´ecurrenceque:nN,t2n+1< t2n. 34.On suppose que 0< x <.1tnoMprer´rraite(xtraiteealusqeeuercncerut2n)nispue,tnassiorce´dtse que la suite extraite (t2n+1)nest croissante. 35.tgeeoeureesssnltsusxldeetntvocnoiqlerruielteimuqdtneE,euldeeu´trequunnepeutˆeopnit fixe de ΦxΦxdans [0,`ste,c1]oitulosenueridaΦnde(xΦx) (t) =tdans [0,1].
´ ` CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES ´ EpreuveSpe´ciquedeMathe´matiques(li`ereMPSI)
Page 3/4