CONCOURS COMMUN DES ECOLES DES MINES D'ALBI ALES DOUAI NANTES

Description

Niveau: Supérieur
CONCOURS COMMUN 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve Specifique de Mathematiques (filiere MPSI) Mardi 20 mai 2008 de 8h00 a 12h00 Instructions generales : Les candidats doivent verifier que le sujet comprend 4 pages numerotees 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invites a porter une attention particuliere a la redaction : les copies illisibles ou mal presentees seront penalisees. Les candidats colleront sur leur premiere feuille de composition l'etiquette a code a barres correspondant a l'epreuve specifique de Mathematiques. L'emploi d'une calculatrice est interdit Remarque importante : Si au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. Les deux problemes sont independants. Bareme indicatif : 10 points pour chaque probleme. Premier probleme Dans le plan euclidien R2, au point M de coordonnees (x, y) on associe l'affixe m = x + iy. Le conjugue de z est note z, son module |z| = √ zz, et sa partie reelle Re(z) = z + z2 . On note j = ei 2pi3 = ?12 + i √ 3 2 le complexe solution de X 2 + X + 1 = 0, et on rappelle que j = j2.

• deduire sur la monotonie de ?x ?


• unique point d'affixe z verifiant


• plan euclidien


• determination des points fixes


• affixes respectives des points ak


• specifique de mathematiques


• ?x


• affixe

Sujets

• Plan euclidien
• Affixe

Informations

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• Langue: Français

Extrait

CONCOURS COMMUN 2008 ´ ` DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

Instructionsg´en´erales:

´ EpreuveSp´ecifiquedeMathe´matiques (fili`ereMPSI)

Mardi20mai2008de8h00`a12h00

Lescandidatsdoiventv´erifierquelesujetcomprend4pagesnum´erote´es1/4,2/4,3/4,4/4. Lescandidatssontinvit´es`aporteruneattentionparticuli`ere`alar´edaction:lescopiesillisiblesoumal pre´sent´eesserontp´enalis´ees. Lescandidatscollerontsurleurpremie`refeuilledecompositionl’´etiquette`acode`abarrescorrespondant a`l’´epreuvesp´ecifiquedeMathe´matiques.

L’emploi d’une calculatrice est interdit

Remarque importante :

Siaucoursdel’e´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurd’e´nonc´e,illesignalera sursacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ila´et´e amene´a`prendre.

Lesdeuxprobl`emessontind´ependants. Bare`meindicatif:10pointspourchaqueprobl`eme.

Premierprobl`eme 2 Dans le plan euclidienR, au pointMroodnne´se(decox, y) on associe l’affixem=x+iy. √ z+z Leconjugu´edez´tetsonez, son module|z|=zz,ete(ee´rRellapaseitrz) =. 2 √ −1 3 2π i 2 2 3 On notej= e= +ile complexe solution deX+Xet on rappelle que+ 1 = 0,j=j. 2 2 Etuded’uneine´galite´

+ 1.Soita∈C. Montrer que|a|= Re(a)⇔a∈R. ¡ ¢ 2 2 2.Soitz, w∈C(´el’ertron,m:etnaviuse´tilag|z|+|w|)− |z+w|= 2|zw| −Re(zw) . 3.et:Ee´dnriudi’leegn´italsu´eaniv|z+w|6|z|+|w|ntreetmoilyarqu’´tilage´este,isetsenemuli,z etwe.insoe´utrussniopisstdeesuxdelentffixsaed’lrogitiiesseudemidrounemˆeme

La notion de(p:q)point

SoientAetBdeux points du plan d’affixes respectivesaetb. Soientpetq.dxreuel´etrsscietemtnopisitsf z−a p 4.PourA6=B, montrer qu’il existe un unique point d’affixez,onl=elle’lae(pprefii´vnatp:q) b−z q pointdeA`aBernteiunu’iqnsai´moe´gnoitate´rpetrique.ffiaexsrnonoenD. 5.Soitα∈]0,+∞[, montrer que le (p:q)pointdeAa`Bet le (αp:αq)pointdeAa`B.dentnıicc¨o 6.1(elresi)1:Ct´eraracpointdeAa`B.

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7.A, B, Co,nnedxuxua`stedaoterrttnengise´dnctiissdntoispoicl’affixe deC. SoientXle (p:q) pointdeA`aBetYle (p:q)pointdeA`aC. Montrer que la droite (XYioetela`alrdparall`e)est (BC). La notion de(p:q)soustriangle ′ ′ ′ On appelle (p:q)soustriangledu triangle Δ(ABC), le triangle Δ(A B Cu`o) ′ ′ Aest le (p:q)pointdeA`aBd’affixea, ′ ′ Best le (p:q)pointdeB`aCd’affixeb, ′ ′ Cest le (p:q)pointdeCa`Ad’affixec. 8.raegt´vienucedtrelgn(Δud)eairtrybaso’i(orentcelrennoDledexffia’ABC). 9.Montrer que le (p:q)soustriangledu triangle Δ(ABC(queΔntreryceabosiemeˆmela)ABC). Etude de suites Onvaconside´rerunesuitedetrianglesΔ(A k B k C k etnavius.)ocsnrtuitsdelamani`ere Le triangle Δ(A 0 B 0 C 0 tfies)elps´x(edsueiotneuxdx`adnctsistitoutpour).Etk∈N, Δ(A k+1 B k+1 C k+1 ) est le (p:q)soustriangledu triangle Δ(A k B k C k ). On note, pourk∈N, para k ,b k etc k les affixes respectives des pointsA k ,B k etC k .     q p0a k a k+1 1     10. 0 vinaet:riatnmiosuleelcinefiire´vtaleraltrquentreffixeslesaoM bq p k = b k+1 . p+q p0q c k c k+1 2 2 11.On pose, pour toutk∈N,α k =a k +b k +c k ,β k =a k +jb k +j c k ,γ k =a k +j b k +jc k fiire´Vre. 2 q+qj p+jp que les suites (α k ) k , (β k ) k et (γ k ) k quesderaeom´etritesino,1rvitcepseeotst,e´ngetmn p+q p+q qu’ellessonttoutesconvergentesenpr´ecisantleurlimite.(Onpourrautiliserlaquestion3..)    1 11 10 0 2    On poseV = 1j j etQ = 0 on va prouver que 0 1 , Vitserevnlbisete,´eprsecionrs 2 1j j0 1 0 inverse. 12.SoitB∈M 3 (C), on poseC=BQnemmoC.ude´desttrmalaiteicCde la matriceB? 2 13.Montntnade´dtereimerqreuelVvaut 3j(j−1). Montrer queVest inversible. CalculerV, en − 1 1 ∗ de´duirequeVest de la formeV Q, avecm∈Nrpa`ice´.res m    α k a k    14.En remarquant que β k = V b k ,end´eduireqiusseleu(seta k ) k , (b k ) k et (c k ) k sont toutes les γ k c k troisconvergentes,etpr´eciserleurlimite. Etuded’uneapplicationlin´eaire ϕ:M 3 (C)−→M 3 (C) Ond´efinitl’applicationsuivante: −1 M−7→VV M 2 15.Montrer queϕllpncniietnapoaiesreuuqte´iarifieiv´e∀(M, N)∈M 3 (C) ,ϕ(M N) =ϕ(M)ϕ(N). −1 16.e`er’lpalpcitaoinidnscoOnψdeM 3 (Crap)d´efinieψ(M) =V MV. Calculerψ◦ϕ. Montrer que ϕest une application bijective.      q p1 10 1 1q+jp      17.On poseA (p,q) = 0q p. CalculerA (p,q) montrer que1 ,A (p,q) j=j, p+q 2 p+q 2 p0q1j j   1 2   et donner une expression similaire pourA (p,q) j . j

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18.dcnlel´uuqd,eriu,eassnEacϕ(A (p,q) ) =Do`uDnptoecr´alononedecirgaidnutstameelasesire coefficients diagonaux. 19.On rappelle que l’ensemble des matrices diagonales deM 3 (Certamuf,tid´enuied)seutannnaecumo © ª que deux matrices quelconques de l’ensembleA (p,q) /(p, q)∈]0,+∞[ commutent. −1 20.Montrer queA (1,n) . . . A (1,2) A (1,1) =V D n V`ouD n est une matrice diagonale ayant pour coeffi à !à ! n nn n Y YY Y 2 2 k+j k+j k+j k+j cients diagonaux (1, ,). Montrer que les suiteset sont k+ 1k+ 1k+ 1k+ 1 k=1k=1k=1k=1 n n 2 j j convergentes vers 0. (On pourra admettre que1 +61 et1 +61.) ¯ ¯¯ ¯ k k Deuxi`emeproble`me Etude d’une fonction 1 21.Etudier sur ]0,+∞[ la fonctionf:x7→xition,leeded´efinelodamnie´icesarprOn.xuamilsseti x bornes,lesextremaetasymptotes´eventuels. 22.oMqreutnertnocrapre´tiuniutpeonl’geonolprftnesarneoceron´ten0.Ceprolongemeef.Pecr´eris la valeur defen 0. 23.La fonctionflletse?n0eeblvari´eed 1/e 24.Montrer quefest une bijection de ]0,e] sur ]0,e ]. 1/e 25.epioruqdeontiecr´Lancfofuresblva]0setleue,d´erilecontin,?e ] Etude d’une suite t Soitx.OifosnpeΦunrfix´e´eeltcmetsirsotinept x (t) =xuite(te,´dnoinfiesaltt n ) n `ireedelaman suivante t 0 = 1, t n+1 = Φ x (t n ) pourn∈N. Lorsque la suite (t n ) n est convergente on noteh(x) sa limite dansR. 26.Six= 1, que peuton dire sur la convergence de la suite (t n ) n ? 27.Justifier que sih(xideraluse’ts`aisex(cteite()t n ) n est convergente) alorsh(x) = Φ x (h(x)), en de´duiredanscecasquef(h(x)) =x. On va traiter le casx >1 : t 28.Montrer que pourx∈]1,+∞[, la fonction Φ x :t7→xest strictement croissante surR. 29.Soitx >:ecnerrurentmo1,ecr´arrp∀n∈N,t n < t n+1 . 1/e 30.On suppose quex∈]1,e],mceen:e´rrrrucrtnoapre∀n∈N,t n 6.Eeslacecaadsnqeeuudridne´ suite (t n ) n est convergente. 1/e 31.On supposex >et on veut montrer que la suite (e ,t n ) n a pour limite +∞. On pourra supposer que la suite est convergente versh(x) et en utilisant les questions27.et21.tnocenua`rituoban.ioctdira Conclure. Onvae´tudierlecasx∈]0,1[ : t 32.Montrer que pourx∈]0,1[, la fonction Φ x :t7→xts´dceoreurissantesRonen.Qeuuetpuired´ed sur la monotonie de Φ x ◦Φ x surR? 33.Pour 0< x <m,1aprertnorr´ecurrenceque:∀n∈N,t 2n+1 < t 2n . 34.On suppose que 0< x <.1tnoMprer´rraite(xtraiteealusqeeuercncerut 2n ) n ispue,tnassiorce´dtse que la suite extraite (t 2n+1 ) n est croissante. 35.tgeeoeureesssnltsusxldeetntvocnoiqlerruieltei’muqdtneE,euldeeu´trequ’unnepeutˆeopnit fixe de Φ x ◦Φ x dans [0,`st’e,c1]oitulosenueridaΦnde( x ◦Φ x ) (t) =tdans [0,1].

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