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Corrig´edelexamendelunit´ede Math´ematiquesLM151 Universit´ePierreetMarieCurie.
Responsable: Henri Skoda
septembre 2005.
Question de cours. Donnerlad´enitiondedeuxsuitesadjacentespuis´enonceretd´emontrerle the´ore`medeconvergencedessuitesadjacentes.
D´enition Deuxsuitesr´eelles(un)et(vn)sont ditesadjacentes,si on a: 1)nIN,unun+1vn+1vn. 2)limn+(vnun) = 0.
Remarque On peut remplacer la condition 1) par (un) est croissante, (vnst)eecd´.eorsiastn La condition 2) entraˆıne alors que pour toutn,unvn´egisMa.tneuemrtqimoe´ la condition 1) est plus ”visuelle”.
The´ore`me Deux suites adjacentes(un)et(vn)octnegrevnversunemˆemelimietltelle que: n, unlvn.
En effet la suite (un)ctsesiore´pejaroeemtastnetermarlev0(par exem-ple). (un) a donc une limiteliuet(eˆeml,saem.Dvn)setetoissanteestd´ecr
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0 minore´eparu0. (vn) a donc une limitela:. On
nIN,
0 u0unllvnv0
(passagea`lalimitedanslesine´galite´slarges). et donc: 0 0llvnun. Comme lim(vnun) = 0,on a donc:
0 Soitnalement,l=l.
0 ll= 0.
Exercice 1 Onconsid`erelafonctionfRI:+−→IR+:d´,niearep f(x2 +) = x.
1) Etudier sur [0,+] les variations et le signe de la fonction :
g(x) :=f(x)x.
End´eduirequel´equation:f(x) =xauneur2s`alegaeue´nuqiitnoosul ]0,+[.
On a : 1 1 0 g(x) =√ −1≤ √ −1<0 2 2 +x2 2 La fonctiongemcttdenncdoriste´rcˆotı`2eda−∞quandx`0aeriaevd +.godcnaulz´unseur[0eros,+se2.[sefinamtz´ntmeteeoderg √ √ (f= 2).2 + 2 = 4 (2) = gest donc>2edetstetcirnemet0`agauch n´egative`adroite.
2)Onconside´relasuite(une´d):erencecurarr´niep
un+1=f(un)
avec 0u0<2. Montrer que la suite (unreegevsreeteocvne,major´roissant)ctse.2
2
Commeftse(etnerruce´retasuiquelurs)t(cosniaeto,ssnarcioun) est mono-tone. Comme 0u0<2, on a vu queg(u0)>0,cest`ridaef(u0)u0>0, u1> u0la suite (un) est strictement croissante. Comme 0u0<2, on aaussitˆotparr´ecurrence:un<2 (carun<nıˆae2trenf(un)< f(2), soit un+1<2). La suiteunetilimusenvcreetsrciossna2rapee´rojamteetonedrgveonecll,e ledit´etinurcon2.Pafau pointl,lest un point fixe defits´useru [0,+[ doncl= 2.
3)Onconsid´erelasuite(vn)d´eneiap:r
vn:= 2un.
a) Montrer que : 1 vn+1vn 2 Par l’application de la formule des accroissements finis sur l’intervalle [un,2], il existecn]un,2[ tel que:
0 0 vn+1= 2un+1=f(2)f(un) =f(cn)(2un) =f(cn)vn.
01 1 1 √ √ Comme:f(x) =≤ ≤, on a bien: 2 2+x2 2 2 1 vn+1vn 2 b) Montrer que la suite (wnienr:pa´e)d
wn=v0+v1+v2+. . .+vn
estconvergente(nepascherchera`calculersalimite). Parre´currencesurn, on a: 1 1 vnv0= (2u0) n n 2 2 La suitewnest croissante carwn+1=wn+vnavecvn>0 de sorte que wn+1> wnetwnapee´roj:restma
1 1 1 1 1n+1 2 wn+ +[1 + . . .+ ]v0=v0<2v0 1 2n 2 2 2 12
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Elle est donc convergente.
Exercice 2. 1)Calculerlade´rive´edelafonctionfap:rien´ed 2 f(x) :=ln(x+ 1 +x)
et en donner une expression simple. Ona,parapplicationdelar`egledede´rivationdesfonctionscompos´ees: 2 1x+1 1 x+x1 0 f(x) :=(1+) =() =2 2 2 2 2 x+ 1 +x1 +x x++ 1 x1 +x1 +x 1 0 f(x) =2 1 +x 2)Trouverlalimitedelasuitedetermeg´ene´ralunein´d:pera
k=n X 1 1 1 1 1 un:==++. . .++. . .+2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n+k n+ 1n+ 2n+k n+n k=1 Onpeutre´interpr´eterunala`evitalernnamieeRedmmsoneeummcotionfonc 1 f(x) =2: 1+x 1 1 1 1 1 un= [q+ +. . .+ +. . .+ ] q q q n2 1k n2 2 2 1 + ( ) 1 + (f rac2n)1 + ( + ) ) (1 n n n
1 1 2k n un= [f+( ) f( ) +. . .+f( ) +. . .+f( )] n n n n n On a donc : Z Z 1 1 dx limun=f(x)dx=n2 1 +x 0 0 Soit,dapr`eslaquestion1): Z √ √ 1 dx 1 2 limun== [ln(x++ 1 x)] =ln2)(1 + 0 n2 1 +x 0 limun=ln(1 + 2) n
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Exercice 3. Calculerlesinte´grales: Z 1 22x I=dxx e 0 Onutilisea`re´pe´titionlaformuledinte´grationparparties: Z Z b b b u dv= [uv]v du a a a eninte´grantlafonctionexponentielleetd´erivantlepolynˆome,soit: 22x u=x,dv=e dx, 12x du= 2xdx,v=e, 2 Z 1 1 22x12x I= [x e] +xe dx 0 20 Z 1 1 22x I=e+xe dx 20 Z 1 1 1 1 22x12x I=e+ [xe] +e dx 0 2 2 20 Z 1 1 22x I=e+e dx 20 1 1 1 22x1222 I=e+ [e] =e(e1) = (15e) 0 4 4 4 1 2 I= (15e) 4 Z 1 1 J=dx 2 0x+ 3x+ 2 2 2 La factorisation dex+ 3xti´ecr+2sx+ 3x= (+ 2 x+ 1)(x+ 2), on a donc: Z Z 1 1 1 1 J=dx=dx 2 0x+ 3x+ 20(x+ 1)(x+ 2) Lade´compositionene´l´ementssimplesdelafractionsecrit: 1 1 1 =(x+ 1)(x+ 2)x+ 1x+ 2 Z 1 1 1 1 J= ()dx= [ln(x+ 1)ln(x+ 2)] 0 0x+ 1x+ 2
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x4+ 1 2 1 1 J= [ln( )] =ln( )ln=( ) ln( ) 0 x+ 2 33 2 4 J=ln( ) 3 Z π 3 2 K= 2xsin (x)dx 0 2 Le changement de variable:t=x,dt= 2xdx, donne: Z Z π π 3 2 K= sint dt= sint d(cost) 0 0 On peut prendre comme nouvelle variable:u=cost,du= sint dt, 2 2 2 sint= 1cost= 1u, soit: Z3 1 u1 2 1 K= (1u)du= [u2(1] = ) 1 13 3 4 K= 3 Z ln8 x L=e+ 1dx ln 3 x dt On poset=e,x=ln t,dxo`d,u=: t Z 8 dt L=t+ 1 3t 2 2 On poseu:=t+ 1,u=t+ 1,t=u1,dt= 2udu, il vient: Z Z2Z 3 3 3 2udu2u2 L=u=du= (2 + )du 2 2 2 2u12u12u1 Z 3 1 1u1 3 L= (2 +)du= [2u+ln( )] 2 2u1u+ 1u+ 1 2 1 L= 2 +ln( )ln( ) 4 3 3 L= 2 +ln( ) 2
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