Cours PC Brizeux Ch DF3 Dynamique locale des fluides parfaits

Jno

Description

Niveau: Supérieur
Cours PC Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 29 - 29 - C H A P I T R E D F 3 DYNAMIQUE LOCALE DES FLUIDES PARFAITS Dans ce chapitre, nous allons relier l'écoulement d'un fluide aux actions qu'il subit. Nous privilégions le point de vue eulérien, c'est-à-dire la connaissance, en tout point du fluide et à tout instant de champs tels que ? r v (M, t), P(M, t) et ?(M, t). Nous établirons des relations différentielles ou de conservation entre ces grandeurs et les actions subies : il s'agit bien d'une dynamique locale. Remarquons dès à présent que le problème comporte donc 5 inconnues scalaires et nécessite 5 équations pour sa résolution… Nous nous limiterons enfin dans ce chapitre à l'étude de fluides parfaits où n'intervient donc aucune force de viscosité. 1. EQUATION D'EULER - APPLICATIONS 1.1. Expression Appliquons la relation de la résultante cinétique à une particule de masse dm de fluide dont on suit le mouvement, on a : dm ? D r v Dt = ? d r f où ? D r v Dt représente l'accélération de la particule et ? d r f la résultante des forces subies par l'élément dm.

• masses volumique


• forces massiques


• conservation


• accélération locale


• pression hydrostatique


• ecoulement


• dynamique locale des fluides parfaits

Sujets

• Conservation
• Hydrostatique
• Écoulement

Informations

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Extrait

Cours PC Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 29

C H A P I T R E D F 3
DYNAMIQUE LOCALE DES
FLUIDES PARFAITS



Dans ce chapitre, nous allons relier l’écoulement d’un fluide aux actions qu’il subit. Nous
privilégions le point de vue eulérien, c’est-à-dire la connaissance, en tout point du fluide et à tout instant r
de champs tels que v (M, t), P(M, t) et ρ(M, t). Nous établirons des relations différentielles ou de
conservation entre ces grandeurs et les actions subies : il s’agit bien d’une dynamique locale.
Remarquons dès à présent que le problème comporte donc 5 inconnues scalaires et nécessite 5
équations pour sa résolution…
!
Nous nous limiterons enfin dans ce chapitre à l’étude de fluides parfaits où n’intervient donc aucune
force de viscosité.


1. EQUATION D’EULER - APPLICATIONS


1.1. Expression

Appliquons la relation de la résultante cinétique à une particule de masse dm de fluide dont on suit
le mouvement, on a : r r Dv
dm = df
Dt r r Dv
df où représente l'accélération de la particule et la résultante des forces subies par l'élément dm.
Dt
!
! En privilégiant la description volumique des forces et en faisant apparaître le rôle spécifique des r
! forces de pression, df s’écrit : r r !
df = ( f - gradP) dτ v

En écrivant dm = ρ dτ, il vient : ! r r r r "v
! ρ[ (v .grad)v + ]= f - gradP ! ! v "t

Cette équation, qui n'est autre que la relation locale de la résultante cinétique, est appelée équation r
d'Euler. Une division par ρ fait apparaître les forces massiques f et une deuxième forme de l’équation ! ! ! m !
d’Euler. Nous retiendrons :


! r r r r r r r r "v "v gradP
ρ[ + (v .grad)v ] = f - gradP + (v .grad)v = f - v m ""t "t
Equation d’Euler

! ! ! ! !
! ! - 29 - ! Cours PC Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 30

1.2. Equation locale de la statique des fluides

Le cas particulier d’un fluide au repos dans un référentiel R s’obtient très facilement comme un cas
particulier de l’équation d’Euler :

r r
Pour un fluide en équilibre :0 = f - gradP v
r
Rq. Dans un référentiel non galiléen, f inclut les forces volumiques d’inertie... v
! ! !
Par exemple, si l’on suppose le fluide seulement soumis aux forces de pesanteur telles que r r r
f = ρg = - ρg e , avec un axe vertical z ascendant,cette relation redonne la forme scalaire simple en v z !
projection sur z :
dP = - ρg dz

! ! ! Il est important de remarquer que la répartition de pression n’est pas la même dans un fluide au
repos,où on parle de pression hydrostatique, et dans le même fluide en mouvement. En particulier, le
théorème d’Archimède, qui utilise la pression hydrostatique pour calculer la résultante des forces
pressantes exercées par un fluide sur un objet immergé, n’est plus valable dans un fluide en
mouvement…


1.3. Détermination des grandeurs locales associées à un fluide en écoulement : recherche
d’un système complet d’équations

L'équation d'Euler, vectorielle, fournit 3 équations scalaires et la relation locale de conservation de la
masse 1 équation scalaire : d’après la remarque faite en introduction, il « manque » alors une équation
pour pouvoir résoudre le problème.
Le problème est évidemment immédiatement résolu si le fluide est homogène incompressible : la
masse volumique devient alors une constante ρ connue dans tout l’écoulement. Les équations locales 0
deviennent alors :
r r # & r r r "v P
div v = 0 (v .grad)v + = f - grad % ( m "t " $ ' 0
(On notera le passage de la constante ρ à l’intérieur du gradient …) 0

! ! ! ! Dans le cas où la masse volumique reste une inconnue du problème, nous pourrions penser ajouter ! ! une équation en introduisant une équation d’état du fluide. Cependant, c’est une équation de type
thermodynamique qui introduit en général une nouvelle grandeur a priori également inconnue : le champ
de température T(M, t). Il apparaît donc qu’une nouvelle équation est nécessaire. Cette équation sera en
fait une équation de comportement du fluide au cours de l’écoulement (équation souvent de nature
thermodynamique).

La lenteur des échanges thermiques permet souvent de considérer que ces échanges sont négligeables
entre particules de fluide. Le comportement du fluide est alors adiabatique. Si de plus on néglige toute
irréversibilité due à une diffusion thermique ou à la viscosité, l’hypothèse isentropique peut alors être
envisagée. Ainsi, pour un fluide tel qu’un gaz parfait en évolution isentropique, la loi de Laplace fournit
alors une relation supplémentaire entre P et ρ, de la forme :

-γPρ = cste
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Enfin, dans la résolution des équations différentielles de l’écoulement, la recherche des solutions
devra en outre tenir compte des conditions aux limites que nous avons déjà évoquées, tant au niveau de
la vitesse que de la pression.


1.4. Une conséquence importante de l’équation d’Euler pour les
écoulements unidirectionnels

Par définition, un écoulement unidirectionnel est tel que le vecteur vitesse garde une direction fixe
constante. Le champ des vitesses peut alors être modélisé par une loi du type :
r r
v = v(x, y, z, t) e x

r "v r "v r
L’accélération particulaire s’écrit alors a = e + v e . Si on projette alors l’équation d’Euler x x "t "x! !
sur un axe orthogonal à l’écoulement ( y ou z par exemple), on obtient :
r r ! ! ! e 0 = ( f - gradP). yv ! !

Ce qui conduit au résultat :

! ! !
Dans un écoulement unidirectionnel, la répartition de pression est
hydrostatique dans une direction orthogonale à l’écoulement


1.5. Intégration de l’équation d’Euler le long
d’une ligne de courant

L’équation d’Euler est également souvent utilisée en l’intégrant le long d’une ligne de courant.
Remarquons tout d’abord qu’une identité mathématique affirme que :
2r r v r r
(v .grad)v = grad( ) + rot v ∧ v 2

En utilisant cette identité l’équation d’Euler devient :
! ! ! ! ! r ! 2 r r r v "v gradP
rot v v grad ( ) + ∧ + = f - m 2 "t "

Multiplions alors scalairement tous les termes de l’équation par un élément de la ligne de courant qui
r r r r ! ! ! ! ! s’écrit nécessairement dr =v dt. Cette opération permet d’annuler le terme en rot v ∧ v , ce qui est ! ! !
justement l’intérêt de choisir un élément d’une ligne de courant. Il reste :

r 2 r r r r r v "v gradP! ! ! ! ! grad ( ).dr + . dr = f .dr - . dr m 2 "t "
r
Très souvent,les forces massiques f dérivent d’une énergie potentielle e (elle-même massique) de m pm r ! ! ! ! ! ! sorte que nous puissions écrire : f = - grade ! m! pm !
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!
! ! Cours PC Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 32
r r
Prenons par exemple les forces de pesanteur, pour lesquelles = . Dans le cas d’un champ de f g m
pesanteur uniforme, et avec le choix d’un axe vertical ascendant z, dont l’origine est également celle des
énergies potentielles, on a : r
f = - grad(gz) m ! !

Rassemblons les deux gradients et l’équation devient :

r ! ! 2r r gradP r "v v
.dr + grad(e + ).dr + . dr = 0 pm
"t 2 "

En intégrant entre deux points A et B d’une ligne de courant :
! ! ! !
! ! ! B B
Br 2" % r r "v v gradP
.dr + e + + . dr = 0 " $ ' "pm
"t 2 " # & AA A

Cette relation sera utilisée dans des écoulements non permanents : elle permet, dans des cas à
! !
géométrie simple, de calculer l’acc