Cours PC Brizeux Ch PO4 Dispersion Absorption

Jno

Description

Niveau: Supérieur
Cours PC Brizeux Ch. PO4 Dispersion – Absorption 44 - 44 - C H A P I T R E P O 4 DISPERSION - ABSORPTION Les problèmes mis en équation dans les chapitres précédents étaient tous solutions de l'équation de d'Alembert. Ces solutions faisaient apparaître la propagation d'un signal quelconque sans déformation ni atténuation. Nous allons voir dans ce chapitre qu'il existe des milieux et/ou des conditions pour lesquels la propagation d'une onde s'accompagnera des phénomènes de dispersion et/ou d'absorption. 1. CHAINE D'OSCILLATEURS DISPERSIVE 1.1. Position du problème 1.1.1. Rappel : chaîne d'oscillateurs discrète Nous reprenons ici l'exemple d'une chaîne d'oscillateurs discrète représentée sur la figure ci-dessous : ... ... X p - 1 X p X p + 1 K m Un oscillateur quelconque de la chaîne, indicé p, a une équation de mouvement de la forme : ˙ ˙ X p = - ?20(Xp - Xp - 1) + ?20 (Xp + 1 - Xp) où ?0 = ? K m Nous supposons enfin le milieu non limité et étudions la possibilité d'existence d'une onde progressive sinusoïdale le long de la chaîne. 1.1.2. Onde progressive sinusoïdale dans une chaîne discrète Guidés par les résultats précédents, nous cherchons à faire intervenir dans cette onde un terme de propagation.

• définition de la vitesse de phase de l'onde


• vitesse de phase


• onde


• chaîne d'oscillateurs discrète


• tension


• onde progressive


• propagation

Sujets

• Vitesse d'une onde
• Tension
• Onde
• Propagation

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Extrait

Cours PC Brizeux

Ch. PO4 Dispersion – Absorption

44

- 44 -

CHAPITRE PO4

CHAPITRE PO4

DISPERSION - ABSORPTION

Les problèmes mis en équation dans les chapitres précédents étaient tous solutions de l’équation de

d’Alembert. Ces solutions faisaient apparaître la propagation d’un signal quelconque sans déformation

ni atténuation. Nous allons voir dans ce chapitre qu’il existe des milieux et/ou des conditions pour

lesquels la propagation d’une onde s’accompagnera des phénomènes de dispersion et/ou d’absorption.

1.

CHAINE D’OSCILLATEURS DISPERSIVE

1.1.

Position du problème

1.1.1. Rappel : chaîne d’oscillateurs discrète

Nous reprenons ici l’exemple d’une chaîne d’oscillateurs discrète représentée sur la figure ci-

dessous :

...

...

X

p - 1

X

p

X

p + 1

K

m

Un oscillateur quelconque de la chaîne, indicé p, a une équation de mouvement de la forme :

˙˙

X

p

= -

ω

2

0

(X

p

- X

p - 1

) +

ω

2

0

(X

p + 1

- X

p

)

où

ω

0

=

K

m

Nous supposons enfin le milieu non limité et étudions la possibilité d’existence d’une onde

progressive

sinusoïdale

le long de la chaîne.

1.1.2. Onde progressive sinusoïdale dans une chaîne discrète

Guidés par les résultats précédents, nous cherchons à faire intervenir dans cette onde un terme de

propagation. Celui-ci doit correspondre à une propagation “ discrète ”, par “ sauts ” d’un oscillateur à

l’autre. La longueur au repos de chaque ressort étant a, la position de repos de l’oscillateur p est

x

p

= pa. En l’absence de terme d’amortissement, l’onde, d’amplitude constante, sera de la forme :

X

p

= X

0

e

j(

ω

t - kpa)

X

p

représente l’élongation de l’oscillateur p par rapport à sa position de repos.

ω

est la pulsation de

l’onde et k le “ vecteur d’onde ” associé.

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Ch. PO4 Dispersion – Absorption

45

- 45 -

Nous retrouvons, pour l’oscillateur p + 1, à un instant t +

Δ

t, la même valeur de l’élongation que

pour l’oscillateur p à l’instant t si :

ω

t - kpa =

ω(

t +

Δ

t) - k(p + 1)a

=>

ωΔ

t = ka => v

φ

=

a

"

t

=

"

k

La définition de la vitesse de phase de l’onde est donc inchangée dans le cas discret. Mais que vaut

cette vitesse ?

1.2.

Relation de dispersion

1.2.1. Expression : vitesse de phase

Introduisons dans l’équation de mouvement la forme supposée de l’onde. Nous obtenons :

-

ω

2

X

0

e

j(

ω

t - kpa)

= -

ω

2

0

(X

0

e

j(

ω

t - kpa)

- X

0

e

j(

ω

t - k(p - 1)a)

) +

ω

2

0

(X

0

e

j(

ω

t - k(p + 1)a)

- X

0

e

j(

ω

t - kpa)

)

-

ω

2

= -

ω

2

0

( 1 - e

jka

) +

ω

2

0

( e

-jka

-

1 ) =

- 2

ω

2

0

(1 - coska) = - 4

ω

2

0

sin

2

ka

2

ω

2

= 4

ω

2

0

sin

2

ka

2

La relation entre

ω

et k n’est plus ici linéaire. La vitesse de phase est :

v

φ

=

"

k

= ± 2

"

0

k

sin

ka

2

Le signe ± correspond simplement à une propagation progressive ( vers les p croissants ) ou

régressive ( vers les p décroissants ). Le fait important est que la vitesse de phase dépend de k, donc de

ω.

Dans un milieu dispersif, la vitesse de phase dépend de

la fréquence de l’onde

Des ondes de fréquence différentes, initialement “ rassemblées ” en un même point ( on parle de

paquet d’ondes ), se propagent dans la chaîne à des vitesses différentes et sont ainsi dispersées.

La relation non linéaire entre

ω

et k est appelée

relation de dispersion

.

Rq.

La relation de dispersion associée à la chaîne d’oscillateurs impose ici une limitation sur les

pulsations possibles de l’onde :

ω

ne peut qu’être inférieure à 2

ω

0

.

1.2.2. Approximation de la chaîne continue : milieu non dispersif

Pour passer du cas discret au cas continu, nous avions supposé que a était faible : nous pouvons

maintenant préciser ce point. En effet, nous disposons d’une longueur caractéristique associée à l’onde

: sa longueur d’onde

λ =

2π

k

.

Si a <<

λ

, c’est à dire si le produit ka << 1, alors :

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Ch. PO4 Dispersion – Absorption

46

- 46 -

v

φ

= 2

"

0

k

sin

ka

2

≈ 2

"

0

k

ka

2

=

ω

0

a =

Ka

2

m

Nous retrouvons la célérité associée au milieu continu, indépendante de

ω.

Il est possible de

visualiser ces résultats en représentant le graphe de

ω

(k).

Pour tracer celui-ci, on peut restreindre les valeurs de k à l’intervalle [ -

π

a

,

π

a

] :

!

k

2

!

0

"

/a

-

"

/a

L’approximation du milieu continu correspond aux faibles valeurs de k, pour lesquelles la courbe et

assimilable à la tangente à l’origine,

ω

devenant alors proportionnelle à k....

2.

PROPAGATION DISPERSIVE DANS UNE CORDE

Nous allons reprendre l’exemple de la corde vibrante en supposant cette fois que les forces de

frottement de l’air ne sont pas négligeables : nous introduisons ainsi un terme supplémentaire de type

dissipatif dans les équations mécaniques précédentes.

Nous allons dégager de cet exemple des généralités qui pourront s’appliquer aux autres cas

envisagés : ligne électrique avec résistances, prise en compte de la viscosité pour la propagation

d’ondes sonores dans un fluide, forces de frottement dans la chaîne de ressorts….

2.1.

Nouvelle mise en équation du problème

On considère une corde de masse linéique

μ

, tendue par une force F et confondue au repos avec

un axe horizontal Ox. On étudie des déplacements

transversaux

y(x,t) des points de la corde.

Rappelons les approximations :

-

les déplacements sont contenus dans un plan vertical, et de faible amplitude : y << x et

"

y

"

x

<< 1 ( la corde reste toujours faiblement inclinée par rapport à l’horizontale ). On en

déduit notamment qu’un élément de corde de longueur au repos dx a approximativement la

même longueur quand il est déplacé transversalement.

-

les forces de pesanteur sont négligées.

Cours PC Brizeux

Ch. PO4 Dispersion – Absorption

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- 47 -

-

les forces de frottement de l’air sont cette fois prises en compte et modélisées par une force

de type frottement fluide en

"#

l

$

y

$

t

dx

pour

un élément de corde de longueur dx.

λ

l

correspond à un coefficient de frottement

linéique.

Si on applique la relation fondamentale de la

dynamique à cet élément, soumis en A à une tension

-

T

(x,t) et en B à

T

(x+dx,t), on obtient :

/ x

0 = T

x

(x+dx,t) - T

x

(x,t) (1)

/ y

μ

dx

"

2

y

"

t

2

= T

y

(x+dx,t) - T

y

(x,t) -

"

l

#

y

#

t

dx

(2)

L'équation (1) montre que la composante horizontale de la tension est indépendante de x. A

l'extrémité fixe de la corde elle vaut la tension imposée F. Donc, quels que soient x et t,

on a T

x

(x,t) = F.

En outre la tension

T

est toujours tangente à la corde si bien qu'on peut écrire, à l'abscisse x,

compte tenu du sens choisi pour la tension :

T

y

T

x

=

"

y

"

x

. D'où T

y

(x,t) = F

∂y(x,t)

∂x

.

L'équation (2) donne alors :

μ

dx

"

2

y

"

t

2

= T

y

(x+dx,t) - T

y

(x,t) -

"

l

#

y

#

t

dx

= F dx

"

2

y

"

x

2

-

"

l

#

y

#

t

dx

L’équation de propagation

est donc :

μ

"

2

y

"

t

2

- F

"

2

y

"

x

2

+

"

l

#

y

#

t

= 0

L’équation d’onde trouvée est une équation différentielle linéaire à coefficients constants mais n’est

plus de type d’Alembert. On peut noter que le terme supplémentaire qui permet de prendre en compte

les forces de frottement fait apparaître cette équation comme irréversible (modifiée par renversement

du temps).

2.2.

Relation de dispersion

La méthode adoptée pour résoudre ce type d’équation consiste à généraliser la notion d’onde plane

progressive harmonique en posant une onde sous la forme :

y(x,t) = Re(y(x,t)) avec

y(x,t)

=

y

0

e

j(

"

t

#

kx )

où

ω

est réel et

k a priori complexe

.

Remarquons bien qu’ici nous allons chercher à quelle condition sur

ω

et k une onde de cette forme

peut être solution de l’équation de propagation.

x+dx

dl

x

y(x+dx,t)

y(x,t)

"

T(x,t)

T(x

+

dx,t)

A

B

Cours PC Brizeux

Ch. PO4 Dispersion – Absorption

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- 48 -

Introduisons dans l’équation de propagation la forme supposée de l’onde. Nous obtenons :

k

2

=

μ

F

"

2

#

$

l

F

j

"

La relation entre

ω

et k est appelée

relation de dispersion

. Ici, elle n’est plus linéaire.

De plus k apparaît comme complexe. Pour interpréter le contenu physique d’un tel cas, nous allons

poser : k(

ω

) = k’(

ω

)+jk’’(

ω

).

3.

PROPRIETES CARACTERISTIQUES DE LA

PROPAGATION DANS LES MILIEUX DISPERSIFS

3.1.

Dispersion - Absorption

On a donc : y(x,t) = Re(y(x,t) . Si on pose

y

0

=

y

0

e

j

"

, cela donne :

y(x,t)

=

y

0

e

k "(

"

)x

cos(

"

t

#

k'(

"

)t

+ $

)

• Le terme sinusoïdal est identique à celui qu’on avait obtenu pour une onde plane progressive qui

se propagerait avec la

vitesse de phase

v

"

=

#

k'(

#

)

.

Le fait important et nouveau est que cette vitesse de phase dépend de

ω

(puisque k’(

ω

) n’est pas

linéaire) :

Dans un milieu dispersif, la vitesse de phase dépend de

la fréquence de l’onde

Des ondes de fréquence différentes, initialement “ rassemblées ” en un même point (on parlera de

paquet d’ondes), se propagent dans la corde à des vitesses différentes et sont ainsi dispersées.

• Le terme en

e

""

k (

#

)x

traduit, selon le signe de k’’(

ω

), un amortissement ou une amplification de

l’onde au cours de la propagation. La situation la plus fréquente est celle de l’

amortissement

et on le

caractérise par la distance caractéristique :

" =

1

##

k (

$

)

: au bout de quelques

δ

l’onde sera fortement

atténuée.

δ

est souvent appelée épaisseur de peau liée au phénomène d’

absorption

.

On peut vérifier rapidement dans le cas de la corde dispersive que k’’ est négatif pour k’ positif et

inversement : l’onde s’atténue dans la direction de propagation.

Cours PC Brizeux

Ch. PO4 Dispersion – Absorption

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- 49 -

3.2.

Propagation d’un paquet d’ondes dans un milieu dispersif –

Vitesse de groupe

Comme nous venons de le voir, la propagation dans un milieu dispersif se fait à des vitesses qui

dépendent des fréquences des ondes qui s’y propagent. Si un signal possède plusieurs fréquences, il

sera donc déformé au cours de sa propagation par ce type de milieu. Nous allons définir la vitesse de

groupe, qui nous allons le voir, correspond à la vitesse de paquets d’ondes et, pour les milieux pas trop

dispersifs, correspondra également à la vitesse de propagation de l’énergie.

3.2.1. Superposition de deux OPPM de pulsations voisines

Nous prenons ici le cas d’un milieu dispersif unidimensionnel quelconque pour lequel il existe une

relation de dispersion f

(ω,

k) = 0. Nous ne nous intéresserons dans ce paragraphe qu’au phénomène de

dispersion et supposerons donc être dans une zone de transparence du milieu (c’est-à-dire dans un

domaine de pulsations pour lesquelles le milieu est faiblement absorbant).

Nous envisageons alors deux ondes de même amplitude, de même sens de propagation, et de

pulsations voisines

ω

et

ω

+

δω.

A ces deux pulsations correspondent 2 valeurs de k, k et k +

δ

k.

Les deux ondes s’écrivent alors :

s

1

= s

0

cos (

ω

t - kx) et

s

2

= s

0

cos [ (

ω

+

δω)

t - (k +

δ

k)x ]

soit :

s(x,t)= s

1

+ s

2

≈ 2s

0

cos(

"#

t

$"

kx

2

).cos(

ω

t - kx)

Représentons, à t

0

donnée l’aspect spatial de l’onde résultante : celle-ci apparaît comme une onde

“ moyenne ” de pulsation spatiale k modulée par une onde de pulsation bien plus faible

δ

k qui

l’enveloppe.

Nous faisons donc apparaître deux ondes dont les vitesses de propagation sont très différentes et

respectivement égales à :

- v

ϕ

=

"

k

pour “ l’onde moyenne ”

- v

g

=

"#

"

k

pour son enveloppe

Pendant

Δ

t, l’onde “ interne ” se déplace de v

φ

Δ

t alors que son enveloppe, elle, se déplace de v

g

Δ

t.

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- 50 -

x

s(x,t

0

)

3.2.2. Paquet d’ondes - Onde localisée

Une OPPM seule n’est localisée ni dans l’espace ni dans le temps

: elle s’étend théoriquement

de - ∞ à + ∞.

La somme de 2 OPPM de fréquences voisines a la forme vue précédemment : on peut dire qu’elle

est “ plus ” localisée au voisinage des ventres des fuseaux modulant son amplitude.

Si on superpose un nombre encore plus important d’OPPM, on réduit encore l’extension de

l’enveloppe du signal qui se localise peu à peu de façon de plus en plus étroite dans le temps et

l’espace.

Un observateur voit en fait passer des bouffées d’onde de durée d’autant plus faible que l’étendue

en fréquences des OPPM composantes est importante.

A la limite,

une onde physique réelle, à la fois localisée dans l’espace et le temps pourra être

modélisée par la superposition d’un nombre infini d’OPPM, à répartition continue de

fréquences

, et d’amplitudes variables suivant la fréquence (profil spectral rappelant celui d’une

fonction périodique décomposée en série de Fourier, mais ici étendu à une répartition continue de

fréquences ) : c’est la définition même d’un

paquet d’ondes

.

3.2.3. Propagation d’un paquet d’ondes

Dans un milieu non dispersif, toutes les OPPM composantes d’un paquet d’ondes se

propagent à la même vitesse : le paquet ne déforme pas au cours de la propagation.

Dans un milieu dispersif en revanche, le paquet d’ondes se déforme de plus en plus au cours

de la propagation.

Si la largeur spectrale du paquet n’est pas trop importante et le milieu pas trop dispersif,

l’enveloppe du paquet d’ondes garde un maximum que l’on peut continuer à repérer : ce maximum se

propage, comme l’enveloppe, à la vitesse de groupe. L’énergie, localisée au niveau du

paquet

d’ondes, c’est-à-dire du maximum de l’enveloppe, se propage donc elle-même dans ce cas à la vitesse

de groupe.

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- 51 -

Dans un milieu pas trop dispersif, la vitesse de groupe v

g

=

d

"

dk

d’un paquet d’ondes de faible

étendue spectrale représente également la vitesse de propagation de l’énergie.

Remarque

: la vitesse de phase est la vitesse de propagation de la phase d’une OPPM. Mais une

OPPM est totalement délocalisée et ne peut pas servir à transporter une information. Donc il n’est pas

étonnant de trouver, dans certains cas, v

ϕ

> c = 3.10

8

m.s

-1

. Par contre, on a forcément v

g

≤ c (principe

de relativité).