DES ECOLES DES MINES D'ALBI ALES DOUAI NANTES

Description

Niveau: Supérieur
CONCOURS COMMUN 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Lundi 19 mai 2008 de 14H00 a 18H00 Instructions generales : Les candidats doivent verifier que le sujet comprend 4 pages numerotees 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invites a porter une attention particuliere a la redaction : les copies illisibles ou mal presentees seront penalisees. Les candidats colleront sur leur premiere feuille de composition l'etiquette a code a barres correspondant a l'epreuve commune de Mathematiques. L'emploi d'une calculatrice est interdit Remarque importante : Si au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le si- gnalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. PREMIER PROBLEME Dans tout ce probleme, n designe un entier non nul, a et b sont deux nombres reels. La notation Rn[X] designe le R-espace vectoriel des polynomes a coefficients dans R et ayant un degre inferieur ou egal a n. Pour tout P ? Rn[X], on pose : ?n(P ) = (X ? a)(X ? b)P ? ? n ( X ? a + b 2 ) P CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Page 1/4

• abscisses des points d'intersection de cf avec l'axe


• courbe


• matrices m21


• base de l'espace vectoriel


• nantes epreuve de mathematiques


• allure de la courbe representative


• determiner


• matrice de passage de la base b1

Sujets

• Courbe
• Determiner

Informations

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Extrait

CONCOURS COMMUN 2008 ´ ` DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

´ EpreuvedeMath´ematiques (toutesfili`eres)

Lundi19mai2008de14H00a`18H00

Instructionsg´en´erales:

Lescandidatsdoiventve´rifierquelesujetcomprend4pagesnum´erot´ees1/4,2/4,3/4,4/4. Lescandidatssontinvit´esa`porteruneattentionparticulie`re`alar´edaction:lescopiesillisibles oumalpre´sente´esserontpe´nalise´es. Lescandidatscollerontsurleurpremie`refeuilledecompositionl’´etiquette`acode`abarres correspondanta`l’e´preuvecommunedeMath´ematiques.

L’emploi d’une calculatrice est interdit

Remarqueimportante:

Siaucoursdel’e´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurd’´enonc´e,illesi- gnalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’ila´et´eamen´e`aprendre.

` PREMIER PROBLEME

Danstoutceproble`me,ntnenuengunnonreil,si´edaetbrse´bmerle.ssouxnontde La notationR n [Xlenge]dsi´eRem`scaeocffieitndstorieldespolynˆoe-capscevesnaRet ayant undegre´inf´erieurou´egala`n.

Pour toutP∈R n [X], on pose : 0  a+  b ϕ n (P) = (X−a)(X−b)P−n X−P 2

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Partie A : Etude deϕ 1

Dans toute cette partie, on suppose quen= 1. On pose donc :   0 a+b ∀P∈R 1 [X], ϕ 1 (P) = (X−a)(X−b)P−X−P 2 1.qrDeurentmo´eϕ 1 est un endomorphisme deR 1 [X]. 2.SoitB 1 = (1, X) la base canonique deR 1 [Xerinrmte´e.D]M 1 = Mat B 1 (ϕ 1 ). 3.asriceseno´niditeconerunrmin´eteDesnturtseesauffiaetbpour queϕ 1 soit bijective. 4.On suppose, dans cette question seulement, quea6=b. (a).De´montrerquelafamilleB={X−a, X−b}est une base deR 1 [X]. (b). Calculerϕ 1 (X−a) etϕ 1 (X−b´eduirep)iudsM= Mat B (ϕ 1 ). (c).D´eterminerlamatricedepassagedelabaseBesabla`aB 1 n,e´toeP B,B 1 ´ete.Derrmin demˆemelamatricedepassagedelabaseB 1 sabala`eBee´ton,P B 1 ,B . (d).Donner,sansde´monstration,unee´galite´reliantlesmatricesM,M 1 ,P B,B 1 etP B 1 ,B . p (e). Soitp∈N. CalculerMla`aesquonti(d4.nu,)pxeesserdnoieceˆagre,irdu´endesiup p M(on donnera l’expression de chacun des coefficients de cette matrice). 1 2 34 5.elbm=Γ’la`esne’intOnsssed´ereteetnacsitnouqse{αI 2 +βM 1 +γM+δM ,(α, β, γ, δ)∈R}. 1 1 (a).D´emontrerqueΓestunsous-espacevectorieldeM 2 (R). 2 3 s escombin (b). Prouverque les matricesMetM 1 sniliaosrise´naeontddeM 1 etI 2 . 1 (c).D´eterminerunebasedeΓ. 6.On suppose dans cette question quea= 4 etbasileltne´rstlus.E=2tinuoineutsleqatads 2 5.(b),d´eterminerl’applicationϕatanelirdu´end.Erudeeϕ 1 ´ementserses´elpt´rcesie 1 caracte´ristiques(ondonneraunebasedechacundesdeuxespacesvectorielsconcern´es).

PartieB:Quelquesge´ne´ralit´essurϕ n

7.´Dnomererteuqϕ n est un endomorphisme deR n [X]. 8.(rreeKmrniOsnttecsnadesoporpete´eedndiostueeqϕ n ). On poseα= max(a, bere`ni’locnodisn)etrvtelealI=]α,+∞[. 2x−(a+b) (a).De´montrerquelafonctionf:x7−→est continue surI. 2 x−(a+b)x+ab (b).D´etermineruneprimitiveFde la fonctionfsurI. (c).R´esoudresurl’intervalleI´ffidnoitauqe´’lreneitleel(E) :

a+b nx−n 0 2 y−y= 0 (x−a)(x−b)

∗ (d). Onsuppose quenrctinoee´pastetirn= 2pavecp∈N.D´eedelduiroitseuqa)c(.8n une base de l’espace vectoriel Ker(ϕ 2p ). (e). Onsuppose maintenant quenesti´nceirtpmiaerotn= 2p+ 1avecp∈N´e.Dederiud la question 8.(c) une base de l’espace vectoriel Ker(ϕ 2p+1 ) (On pourra discuter suivant les valeurs deaetb).

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PartieC:Intersectionsdecourbesdanslecasou`n= 2

Dans toute cette partie, on suppose quen= 2,a=beta >1. −→−→−→−→ Onmunitlepland’unrepe`reorthonormalR= (O, i, j) aveckik=kjk= 1cm. 2 9.Calculerϕ 2 (1),ϕ 2 (X) etϕ 2 (Xrigespane,eti´dnotestnuaouDs.a)lfetgles fonctions 2 polynoˆmialesassoci´eesrespectivementauxpolynˆomesϕ 2 (1) etϕ 2 (X). On noteC f etC g lescourbesrepr´esentativesdecesdeuxfonctions. 10.(a). Montrer que les courbesC f etC g admettent exactement deux points d’intersection : les pointsA a etB a ´needrnocsooodtnelesdaiennt´esscarsnRsont respectivement   1 2 A a (a,0) etB a ,−+ 2a. a a (b).D´emontrerque,lorsqueavarie dans ]1,+∞[, tous les pointsB a appenneartinutna` mˆemeensembleEnd(iedtanndpe´eaiseraune´equatiocnra´tseeinn.enod)ce´rpnot (c). Montrerque l’ensembleEenutsnocefiatiusejnl(eraseice´rpnotnodeuqiruenatatnl) (aucuneautreinformationn’estdemande´esurE). (d).Apre`sunerapide´etude,tracerl’alluredelacourbeEdansR.

` SECOND PROBLEME ∗ Onconsid`eredanstoutceprobl`emelesdeuxfonctionsFetGe´deinfirussRpar : + sin(x) 1−cos(x) F(x) =G(x) = x x

Partie A : Etudes de deux fonctions

∗ 1.(a). Montrerque les fonctionsFetGsont continues surR. + (b). MontrerqueFetGntcoarspeet´uiinlorptnoselbaegnoeeraencorn0.OnnotFetG ces prolongements. ∗ 2.(a). Montrerque les fonctionsFetGssrubaelerivntd´soRctlae.see´iverd´rseurllecu + (b).De´montrer,a`l’aideded´eveloppementslimite´s,quelesfonctionsFetGselbavirsontd´e 0 0 en0.Pre´ciserlesvaleursdeF(0) etG(0). 3.eMont(a).uelererqictrmete´esrsseletsfuqsloptnitisF(x) = 0 constituent une suite (a k ) k≥1 strictement croissante. On donnera explicitement la valeur dea k . (b).Montrerquelesre´elsstrictementpositifstelsqueG(x) = 0 constituent une suite (b k ) k≥1 strictement croissante. Y-a-t’il un lien entre les suites (a k ) k≥1 et (b k ) k≥1 ? 0 ∗ 4.(a). Soitk∈NM.nolee´rnuetsixeli’quullccanssaertrx k ∈]a k , a k+1 [ tel queF(x k ) = 0. 0 ∗ (b). Montrerque la fonctionFˆemueqdesnegmeitseh:x7→xcos(x)−sin(x) surR. + ∗ (c).De´montrerquepourtoutk∈N, la fonctionhest strictement monotone sur [a k , a k+1 ]. (d).End´eduirel’unicite´dur´eelx k d´(a).on4.itseuqalsnadinfie ∗ π (e). Etablirque :∀k∈N, x k ∈]a k , a k + [. 2 (f). Calculerlimx k erminerupuisd´etteil(tenispme´lneqdeailuuasvx k ). k→+∞

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