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Détection pyroélectrique d'interférences d'ondes thermiques

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Niveau: Supérieur
PHYSIQUE I Concours Centrale-Supélec 2009 1/13 PHYSIQUE I Filière PC Calculatrices autorisées. Détection pyroélectrique d?'interférences d?'ondes thermiques Aucune connaissance concernant les ondes thermiques n?'est nécessaire à la résolution du problème. Les résultats utiles sont établis en cours d?'épreuve. Des expériences récentes d?'interférométrie d?'ondes thermiques ont permis d?'étudier de manière ?ne les propriétés thermiques des gaz. Le but de ce problème est d?'analyser de façon détaillée une telle expé- rience. La Partie I concerne l?'étude de la diffusion thermique en régime stationnaire, puis en régime sinusoï- dal forcé. Le concept d?'onde thermique est alors introduit. La Partie II propose une étude expérimen- tale de l?'équation de diffusion à partir d?'un modèle électrocinétique discret. Les capteurs pyroélectriques étudiés dans la Partie III sont des détecteurs très sensibles, développés depuis une trentaine d?'années. Ils constituent une pièce maîtresse dans toutes les expériences faisant intervenir des ?ux lumineux modulés. La Partie IV précise en?n le protocole expérimental de l?'expérience d?'interférométrie multiple d?'ondes thermiques (Thermal Waves Interferometry). Partie I - Étude de la diffusion thermique On cherche à étudier le phénomène de diffusion thermique dans une barre cylindrique de cuivre, de diamètre et de con- ductivité thermique . À cet effet, on creuse une cavité à l?'extrémité de la barre pour y placer une résistance chauffante . Cette résistance est alimentée par un générateur délivrant une tension continue .

  • d?'

  • barre de cuivre

  • l?'

  • régime sinusoï- dal

  • tension

  • ondes thermiques

  • p0 u0

  • cth rth cth

  • z2 z1


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PHYSIQUE I Filière PC
PHYSIQUE I
Calculatrices autorisées.
Détection pyroélectrique dinterférences dondes thermiques
Aucune connaissance concernant les ondes thermiques nest nécessaire à la résolution du problème.
Les résultats utiles sont établis en cours dépreuve.
Des expériences récentes dinterférométrie dondes thermiques ont permis détudier de manière ne les
propriétés thermiques des gaz. Le but de ce problème est danalyser de façon détaillée une telle expé-
rience.
La Partie I concerne létude de la diffusion thermique en régime stationnaire, puis en régime sinusoï-
dal forcé. Le concept donde thermique est alors introduit. La Partie II propose une étude expérimen-
tale de léquation de diffusion à partir dun modèle électrocinétique discret. Les capteurs
pyroélectriques étudiés dans la Partie III sont des détecteurs très sensibles, développés depuis une
trentaine dannées. Ils constituent une pièce maîtresse dans toutes les expériences faisant intervenir
des ux lumineux modulés. La Partie IV précise enn le protocole expérimental de lexpérience
dinterférométrie multiple dondes thermiques (Thermal Waves Interferometry).
Partie I - Étude de la diffusion thermique
On cherche à étudier le Refroidissement
!par circulationphénomène de diffusion
IsolantCapteurs de !!!!!!!!!d'eauthermique dans une Résistance thermiquetempérature
Barre de cuivrechauffantebarre cylindrique de
cuivre, de diamètre
d = 15, 0 mm et de con-
zLductivité thermique . U
0
À cet effet, on creuse
z
2une cavité à lextrémité z
1 Figure 10
de la barre pour y placer
une résistance chauffante R = 8, 00 . Cette résistance est alimentée par unch
générateur délivrant une tension continue U = 6, 00 V . An de rendre les per-0
tes thermiques par la face latérale du cylindre négligeables, le barreau de cuivre
est isolé latéralement par une matière plastique de conductivité thermique suf-
samment faible par rapport à celle du cuivre. La mesure de température se fait
par lintermédiaire de petits capteurs logés dans des puits creusés latéralement
en divers points du cylindre conducteur. Un dispositif de refroidissement par cir-
culation deau est placé à lautre extrémité de la barre de telle sorte que la tem-
pérature du cuivre y soit égale à 20, 0° C .
Concours Centrale-Supélec 2009 1/13
1hPHYSIQUE I Filière PC
Filière PC
I.A - Étude du régime stationnaire
On se place tout dabord en régime stationnaire et on suppose que la tempéra-
ture, considérée uniforme dans une section droite de la barre, ne dépend que de
la position z .
I.A.1) Quel est a priori la direction et le sens du vecteur gradT ? Rappeler la
loi de Fourier donnant lexpression du vecteur densité de courant thermique j .Q
Préciser la signication des différents termes ainsi que leur dimension respec-
tive.
I.A.2) Exprimer la puissance fournie par lalimentation continue à la résis-
tance chauffante. En supposant que cette puissance est intégralement transfé-
rée à la barre située dans la partie z > 0 , exprimer j()z = 0 en fonction de R ,Q ch
U et d . 0
Évolution de la température dans la barre
I.A.3) Montrer que j est uniforme dans la barre. En déduire léquation dif-Q
férentielle vériée par la température Tz() .
I.A.4) Exprimer littéralement Tz() en fonction des données ci-dessus et de
TL() . Les deux capteurs de température placés en z = 8 cm et z = 16 cm indi-1 2
quent T = 46, 4° C et T = 41, 4° C . Donner lexpression de la conductivitép1 p2
thermique du cuivre et calculer sa valeur numérique.
I.A.5) Le refroidissement à lextrémité de la barre est assuré par une circula-
tion deau de débit volumique d . En négligeant les fuites thermiques latérales,v
exprimer grâce à un raisonnement simple la variation de température de leau
lors de la traversée du système de refroidissement. On pourra introduire la
masse volumique et la capacité thermique massique de leau.
I.B - Équation dévolution de la température en régime variable
Le générateur délivre maintenant une tension Ut(), ce qui entraîne une varia-
tion temporelle de la température en chaque point du barreau. Néanmoins, on
conserve lhypothèse duniformité de la température dans une section droite de
la barre, ce qui permet décrire la température en un point sous la forme Tz(),t.
Analyse qualitative
I.B.1) Dune manière générale, le phénomène de diffusion thermique ne peut
faire intervenir que les caractéristiques pertinentes du matériau, à savoir la
Concours Centrale-Supélec 2009 2/13
hPHYSIQUE I Filière PC
conductivité thermique , la capacité thermique massique à pression constante
1 1 3
c = 380 Juukg K et la masse volumique = 8870 kg m . Montrer à laidep
dune analyse dimensionnelle, quil est possible de construire un coefcient de
2 1diffusion D exprimé en m s à partir de ces trois grandeurs.
I.B.2) Le coefcient de diffusion D peut sexprimer directement en fonction
de la résistance thermique linéique r (résistance thermique par unité de lon-th
gueur de la barre) et de la capacité thermique linéique c . Exprimer r et cth th th
et donner lexpression de D faisant intervenir ces deux grandeurs. Pour le cui-
4 2 1vre, la valeur numérique du coefcient de diffusion DD est = 1, 19 10 m s .
I.B.3) Quel est lordre de grandeur t , de la durée nécessaire pour quune
modication brutale de la température en un point dabscisse z atteigne un1
point dabscisse z = z + z ? La barre de cuivre utilisée a une longueur2 1
L = 0, 5 m . Donner une estimation de la durée du régime transitoire précédant
le régime stationnaire étudié au paragraphe I.A. Quelles conséquences prati-
ques peut-on en déduire ?
Équation de la chaleur
I.B.4) Établir léquation de diffusion thermique, dite « équation de la
chaleur », à partir dun bilan énergétique effectué pour la portion de barre com-
prise entre zz et +dz.
I.B.5) Pourquoi peut-on dire que le phénomène de diffusion thermique est
irréversible ?
I.C - « Ondes thermiques »
Dans cette partie, la tension délivrée par le générateur est sinusoïdale :
Ut()= U 2 cos()t . Dans ce cas, en régime périodique établi, la réponse de cha-0
que capteur oscille autour dune valeur moyenne spécique à chacun dentre
eux : Tz(),t = T ()z + ()z cos()t+z .p m
Par exemple, la gure 2 représente les graphes des fonctions Tz(), t et Tz(), t1 2
avec z = 8 cm et z = 16 cm . 1 2
I.C.1) Mesurer sur cette gure les amplitudes ()z et ()z ainsi que lem 1 m 2
déphasage ()z ()z exprimé en radians.2 1
I.C.2) Mettre la puissance électrique dissipée dans la résistance chauffante
sous la forme pt()= P + P cos()t en explicitant P en fonction de U et R .0 0 0 0 ch
Relier et . Quelle est la fréquence de la tension aux bornes du générateur
dans lexpérience dont les résultats sont présentés en gure 2 ?
I.C.3) Justier que ()zt, = ()z cos()t+z vérie léquation différen-m
tielle de la diffusion thermique.
An de déterminer les fonctions z et z , on utilise la représentation com-m
plexe pour ()zt, en posant ()zt, = A expjtK z.
Concours Centrale-Supélec 2009 3/13
teu1ee?te6l6et??e?thteeuu?1PHYSIQUE I Filière PC
Écrire léquation vériée par le nombre complexe K et montrer quil peut se
mettre sous la forme
1 j
K = avec = ±1 .-----------
Exprimer en fonction de , , c , puis de r , c , . p th th
I.C.4) Préciser la valeur de sachant que la barre de cuivre peut être consi-
dérée comme semi-innie pour le signal sinusoïdal. En déduire les expressions
de ()z et ()z . Une longueur de 50 cm vous semble-t-elle sufsante pour quem
cette approximation soit valable ?
I.C.5) Déterminer à partir des résultats expérimentaux de la gure 2, la
valeur numérique de de deux manières différentes.
I.C.6) On utilise souvent le terme « ondes thermiques » à propos de ce type
dexpérience. Quels adjectifs utiliseriez-vous pour caractériser cette « onde » ?
Evolution des températures en deux points de la barre
50
48
46
44
42
40
38
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Temps en s
Figure 2 : températures en deux points de la barre
Concours Centrale-Supélec 2009 4/13
t?b?bbelht??
Température en °CPHYSIQUE I Filière PC
Partie II - Analogie électrocinétique et discrétisation de
léquation de diffusion
Les ondes thermiques abordées dans la section I.C peuvent être étudiées expé-
rimentalement sur un modèle électrocinétique discret, facilement réalisable
dans le laboratoire de votre lycée. On considère tout dabord une chaîne innie
de cellules, associant chacune un conducteur ohmique de résistance R et un con-
densateur de capacité C . Cette ligne est alimentée par un générateur idéal de
tension sinusoïdale de force électromotrice et()= U cos t . En régime sinusoï-0
ièmedal forcé, la tension aux bornes du n condensateur est de la forme
u ()t = U cos()t+ , représentée en notation complexe par u .n n n n
uu u u uu n 1 n n+1 n+20 1
Figure 3
II.A - Chaîne de cellules RC en régime sinusoïdal forcé
II.A.1) Établir la relation de récurrence liant les amplitudes complexes u desn
diverses tensions aux bornes des condensateurs. On pourra utiliser la loi des
nuds exprimée à laide des tensions.
n
II.A.2) On cherche une solution de la forme u = k u .n 0
Montrer que de telles solutions existent si k vérie une condition à expliciter.
II.A.3) On se place dans lhypothèse RC « 1 . Montrer que
k 11±()+ j RC  2 au deuxième ordre près en RC .
II.A.4) Interpréter physiquement le caractère complexe de k . Déterminer k
au même ordre dapproximation que précédemment. Lever alors lindétermina-
tion de signe dans lexpression de k .
II.B - Choix du nombre de cellules
II.B.1) Comme RC « 1 , k est proche de lunité. Montrer que lamplitude Un
de u ()t présente alors une décroissance quasi exponentielle du typen
U  U exp()nn . Exprimer n . 0n 0 0
II.B.2) En pratique, on peut se contenter dun nombre ni de cellules électro-
cinétiques. Combien de cellules faut-il prendre, à RC, et f xés, pour que lon
puisse considérer la chaîne ci-dessus comme innie ?
Concours Centrale-Supélec 2009 5/13
?tttt??ttPHYSIQUE I Filière PC
II.C - Validation expérimentale
Le tableau ci-dessous consigne des résultats expérimentaux à RC et xés. On
scherche à savoir si ces données sont modélisables sous la forme n = Af : 0exp
Fréquence f 200 350 500 650
n 4,0 3,0 2,5 2,20exp
II.C.1) À laide dune représentation graphique simple, montrer que le modèle
proposé est en accord avec les données expérimentales. Estimer la valeur de s .
Comparer aux résultats de la question II.B.1.
II.C.2) Sachant que R = 10, k , calculer la valeur numérique de la capacité
des condensateurs utilisés.
II.D - Discrétisation de léquation de diffusion
Les condensateurs sont repérés par leur position x = na où a est la taillen
caractéristique dune cellule. On introduit une fonction uxt(), , des variables x
et tu, telle que la tension ()t (non nécessairement sinusoïdale) aux bornes dun
ièmen condensateur se note u ()t==un()a ,t ux(), t .n n
II.D.1) On suppose que la variation spatiale de la fonction uxt(), est petite sur
une échelle de distance de lordre de au. Montrer alors que x,t vérie léqua-
tion différentielle
2
1 u
-----uxt(), = ----- --------- .
2t rc x
Préciser lexpression du produit rc en fonction de R , C et a , ainsi que son unité.
II.D.2) On désire construire une analogie entre la diffusion thermique dans la
barre isolée latéralement (étudiée dans la Partie I ) et la propagation de signaux
électriques dans la chaîne de composants électriques abordée dans cette seconde
partie du problème. Reproduire et compléter sur votre copie le tableau ci-des-
sous qui regroupe les grandeurs physiques analogues.
Thermique Tx(),t T c0 p
u un+ 1 n
Électrocinétique -------------------------- rc R
R
2II.D.3) Soit la grandeur ()u u ()RT , où T désigne la température de lan+ 1 n
pièce où a lieu lexpérience. Cette grandeur possède-t-elle un équivalent dans le
cas de lexpérience thermique ? Quel rapprochement peut-on faire avec la ques-
tion I.B.5 ?
II.D.4) Proposer, sans justication, un schéma du montage à réaliser pour
simuler les phénomènes thermiques dans une barre présentant des pertes ther-
Concours Centrale-Supélec 2009 6/13
1,bl,,,PHYSIQUE I Filière PC
miques par la surface latérale. La température extérieure est identique à la
température à lextrémité du barreau.
Partie III - Étude dun détecteur pyroélectrique
Des matériaux cristallins non centro-symétriques présentent une polarisation
volumique spontanée PT() variant fortement avec la température. Cet effet
pyroélectrique est particulièrement important dans LiNbO ou LiTaO . Bien3 3
que leffet pyroélectrique soit connu depuis les travaux de Brewster en 1824, il
na été exploité quà partir de 1970 pour développer des capteurs très sensibles
et très robustes de ux lumineux modulé, utilisables à la température
ambiante. Leffet pyroélectrique dun matériau est caractérisé par son coefcient
pyroélectrique p liant la variation de polarisation à la variation de .
Par exemple, pour un cristal polarisé suivant laxe Ox , on a en première
approximation P()T = P()T +pT()T .x x 1 1
Nous proposons danalyser le fonctionnement dun capteur pyroélectrique formé
dun n lm de LiTaO , métallisé sur les deux faces an dassurer les contacts3
électriques. Les valeurs numériques utilisées dans ce problème correspondent
aux données indiquées par le fabricant de ce composant optoélectronique.
III.A - Existence dun courant en régime thermique variable
5 2 1Pour LiTaO , le paramètre pyroélectrique p vaut p = 17 10 Cuum K . 3
TÉtablir la relation générale iS= p------- liant lintensité du courant traversant le
t
lm cristallin de surface utile SO, placé perpendiculairement à laxe x, à lévo-
lution temporelle de la température du matériau.
III.B - Évolution de la température du lm de tantalate de lithium
LiTaO en régime forcé3
Le lm cristallin, dépaisseur e = 25 m et Film cristallin
Capteur2 Flux lumineux Support ThermostatTt()Flux lumineuxde surface S = 4 mm , est xé sur un sup- pyroélectrique
T()t!(t) 1 Tport dont la température est maintenue à l T(t) 0
la valeur T . Les échanges énergétiques1
par conduction thermique entre le lm de
4 1capacité thermique C = 3, 1 10 J KT
et le support sont modélisés par une résis-
tance R de valeurT
1
R = 512 K W . Le cristal est éclairé parT
Conducteurun laser modulé, délivrant une puissance
Figure 4 thermiquelumineuse (appelée ux lumineux) ()tl
de la forme ()t = + cos()t avecl 0 m
= 1 W . La fréquence de modulation est en général de lordre de 1Hz . Toutm
le ux est absorbé par le capteur pyroélectrique.
Concours Centrale-Supélec 2009 7/13
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