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o Devoir Maison n9 RÉgime sinusodal forcÉ
ProblÈme 1Bobine en rÉgime sinusodal forcÉ On dispose d’une bobineBque l’on assimilera À l’association srie d’un inductanceLet d’une rsistancer. (Letrsont des constantes positives, indpendantes de la frquence).
A DÉterminationde r A.1La bobine est parcourue par un couranti(t). Exprimer la tensionu(t)a ses bornes en fonction der, L, i(t)et de sa drive par rapport au temps. A.2On ralise le circuit suivant, en plaÇant, en srie avec la bobine, un rsistor de rsistanceR= 40 Ω . L’alimentation est un gnrateur de tension continue, constante, de force lectromotriceE0= 1,0V et de rsistance interner0= 2,0 Ω.
A.3On mesure, en rgime permanent, la tensionURaux bornes deR. Exprimerren fonction des donnes de cette question. CalculerravecUR= 0,56V.
B DÉterminationde r et L À partir d’un oscillogramme On place, en srie avec la bobine, un rsistor de rsistanc R= 40 Ωet un condensateur de capacitC= 10µF. Le GBF (gnrateur basses frquences) est rgl pour dlivre une tension sinusodale de frquencef= 250Hz(la pulsation sera noteω) et de valeur crte À crte de 10 V. Deux tensions sont visualises sur un oscilloscope numrique. On obtient un oscillogramme quivalent au graphe suivant :
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B.1Dterminer l’amplitudeUede la tensionueet l’amplitudeURde la tensionuR. B.2Dterminer l’amplitudeIdu couranti. B.3Rappeler l’expression gnrale de l’impdanceZd’un dipÔle quelconque (module de l’impdance complexe). Calculer alors l’impdanceZAMdu dipÔleAM. B.4Des deux tensions,uR(t)etue(t), laquelle, et pourquoi d’aprs l’oscillogramme, est en avance sur l’autre? B.5Dterminer prcisment, À partir de l’oscillogramme, le dphasageφentr ue/ieueeti, (c’est À dire entreueetuR). B.6Ecrire l’expression gnrale de l’impdance complexeZAMen fonction der, R, L, C,ω. B.7Ecrire l’expression de l’impdance complexeZAMen fonction de son moduleZAMet du dpha-sageφuei. rimerren fonctiontφ/i. Calculer sa valeur. B.8Exp deR, ZAMeue B.9ExprimerLen foue/ia valeur.. C nction deC, ω, ZAMetφalculer s
C Etudede la fonction de transfert C.1Rappeler la dfinition de la fonction de transfertHdu filtre ainsi form avecuepour tension d’entre etuRpour tension de sortie. C.2Proposer un schma quivalent en basses puis en hautes frquences et en dduire la nature probable du filtre. C.3ExprimerHen fonction der, R, L, C, ω. Hmax C.4MettreHsous la forme :H= . On exprimera littralementHmax, le para-ω ω0 1 +jQω0ω mtreω0ainsi que le facteur de qualitQde ce circuit en fonction der, R, L, C. C.5La figure ci-dessous reprsente (en partie) le diagramme de Bode du filtre prcdent. Rappeler la dfinition du diagramme de Bode. C.6Dterminer, À partir du graphe et des donnes initiales, les valeurs deretL.
D Facteurde puissance On reprend le circuit de la partieBavecf= 250Hz. D.1Rappeler la dfinition du facteur de puissance. 2
D.2On place alors, en parallle surADune bote de condensateurs À dcades (figure ci-dessous) et 0 l’on fait varier cette capacitCjusqu’À ce que, en observant l’oscilloscope,uRetuesoient en phase.
Quelle est alors la valeur du facteur de puissance du circuitAM? D.3Quelle est alors la valeur du facteur de puissance du circuitAD? D.4Quelle particularit prsente alors l’admittance complexeYADdu circuitAD? 0 D.5ExprimerYADen fonction der,L,C,Cet de la pulsationω 0 D.6DterminerCen fonction der,L,C,ω. Faire l’application numrique avec les valeurs deret Lcalcules prcdemment.
ProblÈme 2Alimentation Électrique d’un four À induction A Transfertde puissance À un dipÔle inductif On maintient une tensionu=Umcos(ωt)aux bornes d’une bobine inductive de rsistanceRet d’inductanceL. L’intensit du courant lectrique est alors :i=Imcos(ωt+φ). Pour les applications numriques, on prendraR= 100 Ω,= 400 Ωlorsquef= 4kHz, Um= 1,50V. A.1Dterminer littralement : A.1.1l’amplitudeImet la valeur efficaceI, en fonction deωet des donnes; A.1.2la puissance lectrique moyenne P transfre À la bobine; A.1.3la valeur maximalePmaxdeP, pourR,LetUmfixs ; P A.1.4le taux de transfert de puissanceT P=. Pmax A.2Calculer numriquement la valeur deT Ppour la frquencef= 4000Hz.
B AmÉliorationdu facteur de puissance On ajoute un condensateur de capacitCen srie avec la bobine prcdente. Cet ensemble est aliment par la tension prcdenteu=Umcos(ωt). B.1Donner l’expression littrale du taux de transfertT P,Pmaxtant le mme qu’en A.1. B.2Etablir l’expression littrale de la valeurC0deCpermettant un transfert optimal de puissance lectrique À la bobine, À la frquence imposef= 4000Hz. Calculer numriquementC0etT P(C0). Conclure. B.3Tracer, aprs une tude asymptotique, une reprsentation graphique deT Pen fonction deC. B.4LorsqueC=C0, donner l’expression littrale deImetφ.
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C Introductiond’une charge non ferreuse dans la bobine On ralise le circuit ci contre avecUm= 1,500V, r= 30 Ωetf= 4000Hz. La sensibilit verticale sur les deux voies est de0,5V /division. C.1vide »,La bobine tant «on rgle la valeur de la capacit ÀC= 37,5nFpour obtenir l’oscil-o logramme n1 (rappel :Vppest la tension crte À o crte). Dduire de l’oscillogramme n1 les valeurs, lorsque la bobine est «vide »,de la rsistanceRv de cette bobine et de son inductance « À vide »Lv. C.2; on observe alorsOn insre un morceau d’aluminium (substance non ferreuse) dans la bobine o un dcalage des courbes (oscillogramme n2). Dterminer le dphasage deipar rapport Àu. o0 C.33, on doit faire passer la capacit À la valeurPour obtenir l’oscillogramme nC= 43,7nF. Dterminer, lorsque la bobine contient un morceau d’aluminium, les valeurs de sa rsistanceRcet de son inductanceLc.
D Pilotagedu four À induction La charge mise À fondre dans le four change les paramtres lectriquesRetL; ende ce four particulier, l’inductanceLbaisse en cours de chauffe. On dsire que le four travaille constamment À puissance optimale. Dans la pratique, on choisitCde manire À optimiser le transfert de puissance « À froid »,puis on rgule en cours de chauffe en jouant sur un autre paramtre. Prciser quel est ce paramtre et quel doit tre le sens de son volution en cours de chauffe. Justifier votre rponse.
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ProblÈme 3Etude de filtres du second ordre A Filtrepassif On ralise le circuit suivant :
A.1Ètudier le comportement du circuit en basse et haute frquences et en dduire la nature du filtre. v3 1 A.2Montrer que la fonction de transfert de ce filtre s’crit :H() ==4jRCωet retrouver e 1+ 2 2 2 1R C ω la nature du filtre À partir de la fonction de transfert. A.3Donner les pulsations de coupure de ce filtre. A.4Tracer le diagramme de Bode de ce filtre. A.5Donner le signal en sortie quand on applique À l’entre de ce filtree(t), signal sinusodal de frquence1000Hzet d’amplitude2V.
B Filtreactif Un dfibrillateur automatique avec dtection du rythme cardiaque dtecte l’impulsion lectrique cre par le muscle cardiaque. Il faut amplifier ce signal trs faible. Le dfibrillateur comporte donc un tage amplificateur dont la modlisation est la suivante :
L’Amplificateur oprationnel est idal et fonctionne en rgime linaire. La tensione(t)est sinusodale. On pose :Z=Z=RetY=Y=jCω. 1 32 4 V s B.1Dterminer la fonction de transfertH=en fonction deα,R,Cetω. e A B.2Montrer queHpeut se mettre sous la forme :H= 2et donner les expressions de ω ω 1+2jmω ω 0 0 m,Aetω0. B.3Pour quelle frquence le gain de ce montage peut-il prsenter un maximum? A quelle condition surm?ce maximum existe-t-il B.4Tracer l’allure du diagramme de Bode (en gain) des trois courbes correspondant aux cas suivants : m= 0,1,m= 0,707etm= 1.
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