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Devoir surveillé : Mécanique - Lycée Brizeux Samedi janvier PCSI B

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6 pages
Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Samedi 09 janvier 2010 PCSI B Devoir surveillé no 4 Mécanique – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice est autorisé. – Tous les problèmes et exercices sont indépendants. – Les résultats devront être encadrés. – Toute application numérique présentée sans unité sera considérée comme fausse. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I d'après Concours commun polytechnique 2007, filière TSI Au cours de ce problème, nous envisagerons deux situations différentes d'un petit an- neau M de masse m, considéré comme ponctuel, soumis à la pesanteur et susceptible de se déplacer sans frottements le long d'une tige OA, de longueur L, effectuant un mouvement de rotation caractérisé par une vitesse angulaire ? constante autour d'un axe fixe vertical passant par son extrémité O. Le référentiel lié au laboratoire sera considéré comme galiléen. L'espace est rapporté au repère cartésien (O,??ex , ??ey , ??ez ) lié au laboratoire et tel que : – ??ex : vecteur unitaire de l'axe horizontal Ox. – ??ey : vecteur unitaire de l'axe horizontal Oy. – ??ez : vecteur unitaire de l'axe vertical Oz. A. La tige OA est dans le plan horizontal La tige OA se trouve dans le plan horizontal (xOy) et tourne autour de l'axe vertical Oz à la vitesse angulaire constante ?.

  • axe oz

  • expressions vectorielles

  • bille

  • anneau

  • tige

  • vitesse angulaire

  • angles ?

  • vecteur unitaire du plan

  • tige oa


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LycÉe BrizeuxSamedi 09 janvier 2010 PCSI B o Devoir surveillÉ n4 MÉcanique La durÉe de l’Épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisÉs À sortir avant la fin du temps prÉvu. L’usage de la calculatrice est autorisÉ. Tous les problÈmes et exercices sont indÉpendants. Les rÉsultats devront tre encadrÉs. Toute application numÉrique prÉsentÉe sans unitÉ sera considÉrÉe comme fausse. Les rÉsultats littÉraux non homogÈnes entraneront la perte de tous les points de la question.
ProblÈme Id’aprÈs Concours commun polytechnique 2007, filiÈre TSI Au cours de ce problÈme, nous envisagerons deux situations diffÉrentes d’un petit an-neauMde massem, considÉrÉ comme ponctuel, soumis À la pesanteur et susceptible de se dÉplacer sans frottements le long d’une tigeOA, de longueurL, effectuant un mouvement de rotation caractÉrisÉ par une vitesse angulaireωconstante autour d’un axe fixe vertical passant par son extrÉmitÉO. Le rÉfÉrentiel liÉ au laboratoire sera considÉrÉ comme galilÉen.
L’espace est rapportÉ au repÈre cartÉsien(O, ex, ey, ez)liÉ au laboratoire et tel que : −→ ex: vecteur unitaire de l’axe horizontalOx. −→ ey: vecteur unitaire de l’axe horizontalOy. −→ ez: vecteur unitaire de l’axe verticalOz.
A. LatigeOAest dans le plan horizontal La tigeOAse trouve dans le plan horizontal(xOy)et tourne autour de l’axe verticalOz À la vitesse angulaire constanteω. L’anneau est libÉrÉ sans vitesse initiale par rapport À la tige À une distancer0du pointO(r0< L). On repÈre la position de l’anneau sur la tige par la distancerentre le pointOet l’anneauM(r=OM). La rÉaction de la tige sur l’anneau −→ −→−→ est de la forme :r=Rzez+Rθeθ.
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On pourra lors des calculs vectoriels utiliser les vecteurs unitairesereteθdÉfinis de la maniÈre suivante : −→ er: vecteur unitaire du plan(Oxy)dirigÉ suivant la tige et orientÉ dans le sens de la tige. eθ: vecteur unitaire du plan(Oxy), perpendiculaire au vecteur vecteureret tel que le repÈre(O, er, eθ, ez)soit un repÈre direct. L’Étude est menÉe dans le rÉfÉrentiel liÉ À la tige. I.A.1.Faire un schÉma sur lequel apparaissent les forces auxquelles est soumis l’anneau. Ecrire l’expression vectorielle de ces forces en fonction des vecteurs unitaires dÉfinis prÉcÉdemment. I.A.2.Etablir cette Équation diffÉrentielle À partir du principe fondamental de la dynamique. I.A.3.RÉsoudre cette Équation diffÉrentielle en prenant en compte les conditions initiales dÉfinies prÉcÉdemment et dÉterminer la solutionr(t)en fonction der0, ωett. I.A.4.En dÉduire l’expression du tempsτque va mettre l’anneau pour quitter la tige. On exprimeraτen fonction der0, Letω.
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B. Latige fait un angleαquelconque avec l’axe vertical   pi La tigeOAfait un angleα α<avec l’axeOz. La tige tourne autour de l’axeOz 2 avec la vitesse angulaire constanteω. On repÈre la position de l’anneau sur la tige par la distancerentre le pointOet l’anneau M(r=OM). La rÉaction de la tige sur l’anneau est perpendiculaire À la direction de la tige dÉfinie pareT, vecteur unitaire de la tige et orientÉ deOversA. L’anneau est libÉrÉ sans vitesse initiale par rapport À la tige À une distancer0du pointO(r0< L).
On pourra lors des calculs vectoriels utiliser Également les vecteurs unitairesereteθ dÉfinis de la maniÈre suivante : −→ er: vecteur unitaire du plan(Oxy)dirigÉ suivant la projection de la tige dans le plan (Oxy)et orientÉ dans le sens de la tige. −→ eθ: vecteur unitaire du plan(Oxy), perpendiculaire au vecteur vecteur et tel que le repÈre(O, er, eθ, ez)soit un repÈre direct. L’Étude est menÉe dans le rÉfÉrentiel liÉ À la tige. I.B.1.Faire un schÉma sur lequel apparaissent les forces auxquelles est soumis l’anneau. Ecrire l’expression vectorielle de ces forces (exceptÉ celle de la rÉaction de la tige sur l’anneau) en fonction des vecteurs unitaires dÉfinis prÉcÉdemment. I.B.2.En appliquant le principe fondamental de la dynamique, Établir l’Équation diffÉrentielle vÉrifiÉe parr(t). I.B.3.RÉsoudre cette Équation diffÉrentielle en prenant en compte les conditions initiales dÉfinies prÉcÉdemment et dÉterminer la solutionr(t)en fonction der0, α, g, ωett. I.B.4.DÉterminer la position d’Équilibrereqde l’anneau sur la tige. Exprimerreqen fonction deω, αetg. Montrer qu’il ne peut exister une position d’Équilibre de l’anneau sur la tigeOAque si la vitesse angulaireωest supÉrieure À une valeur seuilω0que l’on dÉterminera. Exprimerω0en fonction deα, getL. I.B.5.On se place dans le cas oÙω > ω0, l’anneau Étant dans sa position d’Équilibre. On Écarte lÉgÈrement l’anneau de cette position d’Équilibre. DÉterminer, en la justifiant, l’orientation de la rÉsultante des forces appliquÉes À l’an-neau. En dÉduire si l’Équilibre est stable ou instable. 3
ProblÈme IIBille dans une rigole, ICNA 2006 Une bille, assimilÉe À un point matÉrielMde massem, est láchÉe sans vitesse initiale depuis le pointAd’une gouttiÈre situÉ À une hauteurhdu point le plus basOde la gouttiÈre. Cette derniÈre est terminÉe enOpar un guide circulaire de rayona, disposÉ verticalement. La bille, dont on suppose que le mouvement a lieu sans frottement, peut Éventuellement quitter la gouttiÈre vers l’intÉrieur du cercle. On dÉsigne par le champ de pesanteur.
II.1.Exprimer la normev0de la vitesse de la bille enO. II.2.Exprimer la normevMde la vitesse de la bille en un pointMquelconque du cercle repÉrÉ par l’angleθ. −−→ −−→ −→CM II.3.On dÉsigne parer=−−→le vecteur unitaire portÉ par le vecteur positionCMdu k k CM −→ −→ pointM. Ecrire l’expression de la rÉactionR=R erdu guide circulaire sur la bille. II.4.DÉterminer la hauteur minimalehminÀ partir de laquelle il faut lácher la bille sans vitesse initiale pour qu’elle ait un mouvement rÉvolutif dans le guide. II.5.On láche la bille sans vitesse initiale depuis une hauteurh0= 2a. Calculer, en degrÉs, la valeurθ0de l’angleθpour laquelle la bille quitte le guide. II.6.DÉterminer l’expressionv0xde la composante suivant l’axeOxde la vitesse de la bille au moment oÙ elle quitte le guide. II.7.DÉterminer l’expression de la valeur maximalehMde la hauteur atteinte dans ces conditions par la bille aprÈs qu’elle ait quittÉ le guide.
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ProblÈme IIIEpreuve commune ENSTIM 2009 0 Une particuleMde massempeut glisser sur un rail horizontalX Xfixe dans le rÉfÉ-rentiel terrestreRsupposÉ galilÉen.
Mest fixÉe À l’extrÉmitÉ d’un ressort de raideurkdont l’autre extrÉmitÉ est fixe dans R. La position deMest repÉrÉe par son abscissex. x= 0correspond au ressort dÉtendu.
III.1.Le glissement s’effectue, dans un premier temps, sans frottement. ReprÉsenter, sur un dessin, les forces exercÉes surMdans le cas oÙx >0, faire un bilan de ces forces, puis, par application de la relation fondamentale de la dynamique, dÉterminer l’Équation diffÉrentielle vÉrifiÉe parx(t). Ne pas la rÉsoudre pour l’instant. III.2.Donner l’expression de l’Énergie potentielle Élastique emmagasinÉe dans le ressort en fonction deketx. III.3.Exprimer l’Énergie mÉcanique du systÈme masse + ressort en fonction dem, k, xet de sa dÉrivÉex˙. Est-elle conservÉe au cours du mouvement? Justifier. III.4.De ce qui prÉcÈde, dÉduire À nouveau l’Équation diffÉrentielle du mouvement deM. III.5.RÉsoudre l’Équation diffÉrentielle et obtenir l’Équation horairex(t)du mouvement de Mdans le cas oÙMest lancÉe Àt= 0de l’abscissex0avec la vitessev0=x˙0ux(en fonction dex0, x˙0, k, m, t). III.6.Maintenant,Mest soumise, de la part du rail À une force de frottement (frottement −→ solide)fde norme constantefquandMest en mouvement et comprise entre0etf quandMest immobile. Gráce À un schÉma des forces quandMest en mouvement, et en prÉcisant le sens du mouvement, dÉterminer l’angleϕentre la rÉaction du support et la verticale en fonction dem, getf. III.7.On donne ÀMl’Élongation (l’abscisse)x0, positive ou nÉgative, et on l’abandonne sans vitesse. A quelles conditions surx0,MEntre quelles limites dedÉmarrera-t-elle ? xse situera donc la position d’Équilibre finale deM? (RÉponse en fonction defetk). III.8.Du fait que les frottements n’ont pas toujours le mme sens, montrer que la force de −→ frottementfpeut s’Écrire :f=f ux, oÙ le coefficientest tel que= +1si dx dx >0et=1si<0. Ecrire alors l’Équation diffÉrentielle enxdu mouvement dt dt deM(ParamÈtres :m, k, f, . Ne pas la rÉsoudre). 5
III.9.Pour toute la suite du problÈme, on prendrax0positive et trÈs supÉrieure À la limite de dÉmarrage deM, de telle faÇon queMeffectue plusieurs oscillations. Ecrire puis rÉsoudre l’Équation sur l’intervalle{x0, x1}x1est l’abscisse deMquand la vitesse deMs’annule pour la premiÈre fois. Quelle est la durÉe de cette premiÈre Étape? Trouver la valeur dex1. III.10.Le phÉnomÈne se reproduisant dex1Àx2Ms’arrte À nouveau, etc..., le mouvement deMest pseudo pÉriodique. DÉterminer la pseudo pÉriodeTdes oscillations. −→ III.11.Exprimer le travail defsur le parcours{x1, x2}en fonction def, x1etx2. Sans rechercher À nouveau l’Équation horaire du mouvement deM, dÉterminer alors gráce À un thÉorÈme ÉnergÉtique, l’Élongationx2quandMs’arrte pour la deuxiÈme fois (en fonction dex0, fetk). III.12.De l’Étude qui prÉcÈde, dÉduire la nature de la dÉcroissance de l’amplitude du mou-vement au cours du temps. DÉterminer l’ÉquationxM ax(t)de la courbe reliant les maxima dex.
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