Niveau: Supérieur
Devoir Surveille n?3 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 14 Novembre 2009) (dure : 4 heures) Les calculatrices sont interdites Questions de cours : 1. Donner la definition d'une valeur propre d'un endomorphisme. 2. Donner la definition du sous espace propre associe une valeur propre ? d'un endomorphisme. 3. Donner la relation entre l'ordre de multiplicite et la dimension du sous espace propre associe a une valeur propre ? d'un endomorphisme. 4. Montrer qu'une matrice A ? Mn(K) admettant n valeurs propres distinctes est diagonalisable sur K. 5. Donner la definition du polynome minimal d'un endomorphisme. 6. Citer 3 caracterisations montrant qu'un endomorphisme (ou matrice) est diagonalisable sur K. 7. Citer le theoreme de Cayley-Hamilton. 8. Donner les 3 normes usuelles de Kn. 9. Donner la definition d'une suite de Cauchy. 10. Montrer que toute suite convergente est de Cauchy. Dans quel cas a-t-on la reciproque ? 11. Donner la definition de deux normes equivalentes. 12. Donner la caracterisation sequentielle d'un ferme. Probleme CCP PC 2002 Notations Soit n et p des entiers superieurs ou egaux a 1. K designant le corps des reels ou celui des complexes, on note Mn,p(K) le K-espace vectoriel des matrices a coefficients dans K ayant n lignes et p colonnes.
- elements de la matrice d?1x
- norme matricielle sur mn
- deduire
- matrice positive de mn
- b? designent des matrices de mn