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certaines
Du
th?or?me
lo
d'?tudier
cal
princip
au
l'?quation
global
.
:
cales
in
sym?tries
terp
Sob
olation
ation
en
eu
tre
par
donn?es
Ensuite,
p
t
eu
les
r?guli?res
donnen
et
H
quan
tation).
tit?s
r?gularit?
conserv?es
a
F
p
abrice
s
Planc
minimal
hon
c
Lab
t
oratoire
prolonger
d'Analyse
our
Num?rique,
l'on
URA
um),
CNRS
ation
189,
lois
Univ
orne
ersit?
solution,
Pierre
restreindra
et
simplier
Marie
on
Curie,
LC
4
tr?l?e
place
?videmmen
Jussieu
Il
BC
Cau-
187,
au
75
dire
252
s
P
toujours
aris
p
Cedex
EDO,
In
IX1
tro
p
duction
de
Lorsque
s'agit
l'on
solutions
s'in
t.
t?resse
(en
?
cas
une
ose
?quation
du
aux
s'appuie
d?riv
de
?es
ci?es
partielles
l'?quation.
d'?v
conserv
olution,
une
et
priori
plus
de
particuli?remen
exemple
t
(on
au
espaces
probl?me
p
de
pr?-
Cauc
g?n?ralemen
h
cie
y
r?gularit?
,
est
la
olev
question
la
la
p
plus
y
imp
oir
or-
donc
tan
probl?me
te
h
apr?s
des
l'existence
aussi
p
c'est
ossible
donn?es
d'une
v
solution
s
est
il
le
niv
comp
r?gularit?
ortemen
de
t
m?tho
asympto-
elons-le
tique
la
de
le
celle-l?.
de
Explose-t-elle
oin
en
xe
temps
Picard).
ni,
il
existe-t-elle
de
p
ces
our
lo
tout
globalemen
temps,
P
quel
cela
est
ignoran
son
les
comp
o?
ortemen
disp
t
d'un
?
e
temps
maxim
grand
on
?
sur
Si
lois
l'on
conserv
laisse
asso
de
aux
cot?
de
les
Ces
cas
de
o?
ation
l'on
t
attend
b
l'explosion
a
sous
sur
une
normes
forme
la
ou
par
une
dans
autre,
1
il
se
existe
aux
essen
de
tiellemen
olev
t
our
deux
la
fa?ons
sen
d'ab
Plus
order
t,
l'existence
asso
globale
?
de
une
solutions.
s
La
qui
premi?re
la
consiste
Sob
?
con
pr?a-
par
lablemen
conserv
t
(il
?tudier
eut
la
t
question
en
de
v
l'existence
plusieurs).
lo
est
cale
n?cessaire
:
le
on
de
consid?re
c
l'?quation
y
aux
our
d?riv
donn?es
?es
moins
partielles
p
comme
r?guli?res,
une
?
?quation
des
di?ren
H
tielle
a
dans
ec
un

Banac
LC
h,
Or
et
existe
l'on
un
applique
eau
alors
de
le
qui
formalisme
ermette
usuel
r?soudre
des
les
?quations
des
di?ren
app
tielles
s
ordi-
,
naires
r?gularit?
(g?n?ralemen
t,r?sultats
critique.
trois
C'est
un
souv
en
en
l'incon
t
est
la
a
r?gularit?
eectiv
corresp
la
ondan
t
t
des
aux
et
in
est
v
question
ariances
etite
de
our
c
es,
han-
de
gemen
ces
t
celle-l?
d'?c
en
helle
d?part.
de
existan
l'?quation
au-del?
(mais
c
pas
ariance
n?cessairemen
p
t,
p
en
H
particulier
Bourgain
quand
?
elle
d?fo
serait
?tendus
n?gativ
une
e).
quelque
Lorsque
la
s
v
c
est
<
il
s
et
LC
l'?quation
,
p
le
structurelles
temps
pr?sen
d'existence
liens
lo
la
cal
lois
dans
ci-dessus.
H
Le
s
.
LC
l'indice
est
t
prop
p
ortionnel
s
?
naturelle
la
sorte
norme
?
de
l'existence
la
s
donn?e
qu'on
initiale,
trer
et
un
en
Sc
utilisan
dimension
t
de)
la
d'autres
b
([7]).
orne
he
a
Bourgain,
priori
L'a
sur
la
H
di?ren
s
principal
LC
t
de
tho
la
l'on
loi
l'unicit?
de
n?cessaire
conserv
p
ation,
t
on
tr?s
p
la
eut
deux
donc
t
globaliser
onnes
les
l'?quation
solutions
but
lo
exp
cales.
revisiter
C'est
oten
par
en
exemple
lo
comme
pr?sence
cela
conserv
qu'on
l'exemple
mon
distingue
tre
:
l'existence
sous-critique,
globale
s
p
s
our
emen
l'?quation
l'in
des
c
ondes
helle,
sous-critique
existence
H
des
1
dans
,
.

emen
u
p
+
en
u
terp
3
l'existence
=
donn?e
0
LC
dans
?
R
dans

?
R
mon
3
ouv
,
t
[13].
tence
L'a
donn?e
v
sous-critique,
an-
tion
tage
dinger
de
te
cette
d'espace.
m?tho
sa
de
t
est
g?n?ralis?s
qu'elle
disp
donne
particulier
non
prop
seulemen
pro
t
e
l'existence,
de
mais
est
aussi
plus
l'unicit?.
an
Dans
simplicit?
le
robustesse
cas
de
critique
con
s
?nien
c
qu'il
=
?nien
s
de
LC
m?-
,
des
le
que
temps
n'obtien
d'existence
pas
d?p
:
end
est
non
d'?tudier
plus
a
de
osteriori,
la
g?n?ralemen
norme
c'est
mais
probl?me
du
dicile,
prol
de
de
di?rence
la
tre
donn?e
solutions
initiale,
erdan
et
certaines
il
b
est
propri?t?s
n?cessaire
de
de
de
recourir
Le
?
du
des
t
argumen
os?
ts
de
de
les
non-concen
p
tration
tiels
p
t
our
tre
esp
th?orie
?rer
cale
globaliser
la
les
des
solutions
de
lo
ation,
cales.
de
Enn,
expliqu?
dans
On
le
donc
cas
situations
(sur-critique)

o?
cas
s
s
c
<
>
LC
s
Lorsque
LC
c
,
eectiv
ce
t
t
de
yp
v
e
par
d'appro
hangemen
c
d'?c
he
on
est
alors
sans
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esp
our
oir,
donn?es
mais
etites
on
H
disp
c
ose
Une
alors
relativ
d'une
t
appro
se
c
ose,
he
eut-on
di?ren
quelque
te,
"in
bas?e
oler"
sur
tre
les
globale
m?tho
grande
des
dans
de
s
compacit?.
et
En
globale
utilisan
p
t
donn?e
la
H
loi
c
de
J.
conserv
a
ation
tr?
qui
p
fournit
ait
une
emen
b
mon
orne
l'exis-
a
globale
priori,
grande
et
dans
une
cadre
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p
ximation
l'?qua-
(de
de
la
hr?
donn?e
cubique
et
calisan
de
en
l'?quation)
deux
r?guli?re,
Ses
on
(et
c
m?tho
herc
on
he
?t?
?
et
passer
?
?
?quations
la
ersiv
limite
en
(faible)
KdV
dans
Nous
les
osons
termes
ap-
non-lin?aires
c
p
alternativ
our
?
ob-
m?tho
tenir
de
une
qui
solution
en
globale.
sorte
L'exemple
simple.
historique
v
est
tage
le
la
cas
est
des
probable
?quations
de
de
m?tho
Na
dans
vier-Stok
ts
es
textes,
incompressibles
v
([18]).
t
Le
est
principal
IX2
inconp
ne
?es
sem
vier-Stok
ble
[12]
pas
espaces
p
ind?p
ossible
a
de
que
toujours
exp
?galer
en
les
de
r?sultats
([17]).
des
nouv
m?tho
et
des
le
"?
sorte,
la
ne
Bourgain",
la
et
solutions
m?me
fait
g?n?riquemen
[2,
t
p
on
au
s'attend
t
?
dernier
faire
c
moins
une
bien
asymptotique.
qu'a
des
v
oth?tique
ec
particulier
les
de
m?tho
un
des
ni.
plus
1
sophistiqu?es
Les
d?v
trouv
elopp
des
?es
cas.
dans
our
[7].
dimen-
Nous
a
pr?-
our
sen
a
tons
Lema-
dans
L
la
aux
premi?re
m?tho
partie
10
l'exemple
on
de
?
l'?quation
helle.
des
globale
ondes
n'est
cu-
comp
bique,
les
p
v
our
on
laquelle
asymptotique
on
n?cessairemen
retrouv
p
e
est
les
our
r?sultats
son
an
(et
t?rieurs
solutions
([16
t
])
nous
inspir?s
tr?s
de
pr?-
Bourgain.
cas
Le
g?n?ralisation
d?tail
p
de
IX3
ces
p
r?sultats
in
se
ces
trouv
ce
e
Calderon
dans
de
[11
incompressible
].
trois,

].
Le
tr?
cas
faibles
critique,
donn?es
s
Ce
c
retrouv
=
t
s
et
LC
de
.
lo
Supp
tra
osons
Calderon
toujours
l'origine
que
d?v
s
[11,
c
Dans
est
v
l'indice
t?resse
du
aux
c
r?gularit?
hangemen
t
t
se
d'?c
une
helle.
v
Il
initiale
existe
p
des
?tudie
situations
men
o?
utilisan
il
des
y
bin?es
a
les
existence
p
globale
tre
?
ortemen
donn?es
h
p
globale
etites
le
dans
d'une
un
et
espace
telle
plus
En
grand
comme
que
solutions
H
y
s
conn
c
?tre
=
etites)
H
ni,
s
de
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euv
,
qu'en
app
[10
elons-
v
le
le
B
_
c
,
.
tons
L?gitimen
partie
t,
3
on
et
p
cadre
eut
Beso
p
t
enser
dans
?
des
in
faibles
terp
our
oler
donn?es
en
term?diaires
tre
tre
H
deux
s
C'est
LC
qu'a
et
Calixto
B
p
c
l'?quation
.
Na
Dans
es
le
en
cas
sion
des
dans
?quations
1
de
Il
Na
mon
vier-Stok
l'existence
es
solutions
incompressibles
p
en
des
dimension
L
deux,
.
nous
r?sultat
a
?t?
v
?
ons
endammen
eectiv
par
emen
ri?
t
g?n?ralis?
mon
cas
tr?
donn?es
qu'il
2
y
c
a
Ces
v
v
ait
de
existence
son
globale
?
p
des
our
des
toute
elopp
donn?e
dans
dans
12,
un
].
espace
ce
d'in
tra
terp
ail,
olation
s'in
en
?
tre
eau
L
solutions
2
la
et
du
B
hangemen
M
d'?c
O
On
1
donne
.
priori
Nous
solution
n'en
(a
parlerons
ec
pas
donn?e
ici
qui
et
pas
nous
etite),
ren
l'on
v
son
o
orte-
y
t
ons
En
?
t
[12
m?tho
]
de
p
com
our
a
un
ec
exp
propri?t?s
os?
solutions
d?taill?
etites,
?
mon
ce
que
sujet.
comp

t
Le
d'une
cas
yp
sur-critique,
solution
s
est
c
t
>
m?me
s
celui
LC
solution
.
etite,
Dans
en
ce
qu'une
cas,
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on
stable.
disp
quelque
ose
tout
?v
p
en
les
tuellemen
faibles
t
Lera
d'une
qui
part
t
de
ues
solutions
our
faibles
r?guli?res
dans
p
H
apr?s
s
temps
LC
les
,
fortes
et
Kato
des
p
solutions
en
p
exploser
etites
temps
dans
Dans
H
]
s
a
c
ons
.
os?
Une
cas
fa?on
simple
de
H
donner
2
un
nous
sens
sen
?
dans
une
seconde
"in
le
terp
L
olation"
.
en
d?tails
tre
la
ces
au
deux
des
r?sultats
de
est
v
de
ourron
c
?tre
herc
?s
her
[9].
?
construire)
1
p
Existence
se
globale
4
p
C
our
La
l'?quation
le
des
informelle.
ondes
ale
cubique
)(6
a
les
v
?
ec
argumen
donn?es
y
_
de
H
t
s
A
,
k
s
s
<
commen?ons
1
L
On
en
s'in
du
t?resse
lo
?
(
l'?quation
des
(1)
5

complets,
@
rapp
2
es,
t
on

t

>
+
une

plus,
3
(
=
0
0
)
dans
s
R
remarques.

la
R
v
3
olev
(
vitesse
;
l'unicit?
@
xe
t
une
)
suppl?men
j
dans
t
4
=0
[21].
=
nous
(
p
0
nous
;
p

5
1
complications
)
v
;
c?dons
o?
e

les
est
la
?
@
v
s
aleur
c
r?elle.
4
L'?quation
il
est
solution
sous-critique
(1).
H
k
1
H
et
)
d?fo
k
calisan
_
te,
L
donc
(1
l'existence
3)
lo
:
cale
faire
dans
p
H
enser
1
d'appartenance
devien
en
t
t
globale
de
en
caux
utilisan
t
t
de
la
de
conserv
la
ation
oin
du
cal,
hamiltonien
mo
kr
d'in

en
k
mais
2
obtenir
L
1
2
H
+
par
1
suppl?men
2
p
k
de

mon
k
seulemen
4
s
L
,
4
v
,
?
[13
les
].
gain
Concernan
?
t
t
l'existence
hniques
lo
direct
cale
la
p
Nous
our
plusieurs
des
la
donn?es
suit
p
our
eu
de
r?guli?res,
consid?rera
le

r?sultat
(on
d?nitif

est
).
celui
1
de
ave
[19
s
]
3
(dans
.
un
lors
con
existe
texte
unique
plus
glob
g?n?ral).
de
L'?quation
De
(1)
(2)
est

lo
_
calemen
s
t
t
bien

p
(
os?e
u
dans
k
_
H
H
\
1
4
2
t

s
_
s
H
4
1
3
2
Nous
et
par
mal
plusieurs
p
On
os?e
eut
en
disp
dessous
de
de
condition
s
?
=
4
1
tra
2
aillan
qui
dans
est
espaces
l'indice
Sob
in
lo
v
et
arian
utilisan
t
la
par
nie
c
propagation.
hangemen
m?tho
t
donne
d'?c
dans
helle.
classe
Les
p
m?tho
t
des
lo
"?
c'est
la
dire
Bourgain"
dulo
donnen
condition
t
t?grabilit?
l'existence
cale
globale
temps
p
taire,
our
on
s
eut
>
l'unicit?
3
L
4
t
,
_
[16
3
].
)
Nous
un
allons
t
donner
taire,
une
Enn,
preuv
our
e
raisons
di?ren
simplicit?
te,
allons
bas?e
trer
sur
r?sultat
la
t
strat?gie
our
in
>
tro
6
duite
et
dans
ren
le
o
con
ons
texte
[11]
de
our
Na
r?sultats
vier-Stok
le
es
de
dans
6
[2].
3
Nous
n?cessitan
d?mon
des
trons
tec
dans
sans
[11]
ort
le
a
r?sultat
ec
suiv
m?tho
an
g?n?rique.
t
pro
:
en
Th?or?me
?tap
1
et
Soit
preuv
(
qui
0
est
;
P

?viter
1
lourdeurs
)
notation,
2
ne
(
que
_
donn?e
H
j
s
=0
\
"oublie"
L
t
4
j
;
=0
_
IX4
Hjk
1.
t
On
1
commence
L
par
:
s?parer
H
la
En
donn?e
2

k
0
donc
2
facile
_
k
H
que
s
x
:
2

2
0
obten
=
s
u
T
0
1
+
0
v
lo
0
de
o?
P
u
1
0
1
est
u
dans
in
_
puisque
H
pr?c?den
1
)
a
deux
v
p
ec
k
une
2
grande
T
norme
eut
et
+
v
T
0
1
est
=0
dans
)
_
que
H
p
1
un
2
t
a
_
v
eectue
ec
t
une
sut
p
son
etite
2
norme.
de
Ceci
t
est
lo
toujours
D'autre
p
L
ossible,
dans
par
(v
exemple
donne
par
(
s?paration
terme
fr?quen-
con
cielle
si
?
norme
la
nous
fr?quence
u
j
_

L
j
2

3
2
u
J
lin?aire
a
gauc
v
j
ec
)
J
a
susammen
2
t
6
grand.
k
2.
j
On
(
r?sout
u
l'?quation
Il
(1)
v
a
?quation
v
t
ec
dans
la
,
p
terv
etite
d?p
donn?e
t
v
0
0
1
.
cela,
Ceci
p
nous
dans
donne
_
une
.
solution
prouv
globale
termes
p
dans
etite,
(
v
)
dans
t
C
o-
t
2
(
L
_
et
H
t
1
en
2
v
)
t
\
x
L
0
4
H
t
1
(
l'?tap
L
Cela
4
2
x
1
)
2
,
H?lder.
et
reste,
toutes
,
les
par
normes
ts,
de
d?note
v
kj
son
l'espace
t
t
p
v
etites
(3)
et
T
de
0
taille
1
plus
1
p
+
etite
(
que
1
2
T
k
u
v
T
0
3
k
le
_
droite
H
absorb?
1
d?s
2
2
,
1
qui
6
est
Nous
d'ordre
r?sultat
2
ec
(
inf
1
j
2
+
s
)
)
u
J
_
.
:
On
t
notera
=
que
u
la
;
condition
1
de
:
p
est
etitesse
de
nous
oir
force
cette
?
est
c
calemen
hoisir
bien
2
os?e
(
_
1
1
2
sur
s
in
)
alle
J
temps
.
endan
"
uniquemen
0
de
.
u
Dans
k
l'optique
H
d'une
.
?tap
our
e
on
ult?rieure,
un
il
oin
est
xe
b
C
on
(
de
H
re-
)
marquer
Il
que
de
toute
er
r?gularit?
les
additionnelle
non-lin?aires
est
t
pr?serv
L
?e,
t
c'est-?-dire
L
par
x
exemple
.
que
utilisan
(1)
l'injection
k
Sob
v
lev,
k
3
C
C
t
(
(
2
_
)
H
donc
1
calemen
2
est
+
t?grable
1
temps.
6
part,
)
2
\
3
L
(
3
6
t
)
(
v
L
est
6
_
x
1
)
+

6
2
oir
(
e
1
te).
2
nous
+
v
1
u
6
L
s
t
)
L
J
x
;
par
puisque
Le
v
qui
0
u
2
v
_
est
H
tr?l?
1
les
2
pr?c?den
+
donc
1
l'on
6
par
(en

fait,
la
v
dans
0
du
2
oin
_
xe,
H
a
s
ons
p
u
our
jk
tout
kj
s
.
2
u
(
k
1
H
2
+
;
u
1)
k
).
2
3.
2
P
j
our
1
obtenir
+
une
6
solution
)
de
1
l'?quation
jk
que
kj
nous
+
a
jk
vions
kj
au
T
d?part,
Ainsi,
nous
terme
?tudions
?
une
p
?quation
?tre
p
?
erturb?e,
he,
(2)
que

.
@
6
2
(
t
2
u
1

s
u
.
+
obtenons
u
le
3
souhait?,
+
v
3
(4)
u
.
2

v
6
+
(
3
2
v
1
2
s
u
;
=
k
0
0
(
2
u;
H
u
!
t
IX5
)k
4.
raner
P
:
our
c
?tendre
2
cette
Cette
solution
ignoran
lo
t
cale
1
p
de
our
T
tout
obtenir
temps,
le
il
H
nous
tailles
faut
1
ob-
H
tenir
s
une
)
b
grand,
orne
grand,
a
+
priori
triviale
sur
:
l'?nergie
apparaissen
de
1
la
(7)
solution
H
u
eut,
.
de
P
:
our
_
obtenir
M
cette
+
b
J
orne,
3
il
(
sut
donne
d'utiliser
our
l'in?galit?
s
d'?nergie,
c
sous
b
r?serv
2
e
)
que
la
les
e,
termes
s
p
il
erturbatifs
les
puissen
d'?nergie,
t
s
?tre
En
con
(6)
tr?l?s
0
par
0
la
1
seule
grand
?nergie
a
de
de
u
ce
.
s
Eectiv
0
emen
1
t,
M
nous
_
a
k
v
s
ons
T
k
2
u
2
k
+
2
T
_
2
H
3
1
qui
+
con
k
T
@
arbitrairemen
t
longtemps
u
5
k
sut
2
J
L
l'on
2
de
+
3
1
(1
2
3
k
1
u
partie
k
partie
4
la
L
l'on
4
r?sultat

3
k
our
u
n?cessaire
0
estimations
k
t?grales
2
dans
_
our
H
2
1
(5)
+
s
k
et
@
les
t
t
u
k
k
2
2
k
L
2
2
2
+
An
1
T
2
l'on
k
faut
u
ec
0
ectiv
k
0
4
0
L
conduit
4
la
+
3
6
k
Z
_
t

0

j
s
u
grand.
2
0
v
1
@
1
t
k
u
,
j
)
ds
E
+
T
6
3
Z
2
t
(
0
3
j
)
v
E
2
2
u@
T
t
3
u
J
j
2
ds:
s
En
;
prenan
nous
t
le
le
tr?le
suprem
E
um
p
p
T
our
t
t
aussi
<
que
T
>
,
6
a
il
v
de
ec
hoisir
H
assez
T
puisque
d?f
a
=
esoin
sup
(6)
t<T
4
(
2
k
J
u
s
k
2
2
s
_
.
H
:
1
derni?re
+
est
k
seule
@
non
t
de
u
preuv
k
si
2
souhaite
L
le
2
optimal
+
>
k
4
u
P
k
cela
4
est
L
de
4
les
)
sur
,
in
nous
qui
obtenons
t
H
l'in?galit?
T
p
.
remplacer
H
facteur
0
3
+
dans
H
par
T
2
Z
.
T
fait,
0
en
k
t
v
epsilons,
k
devien
2
alors
L
T
6
u
x
k
ds
_
+
1
H
v
3
k
2
_
T
1
Z
.
T
:
0
de
k
hoisir
v
aussi
k
que
L
v
6
il
x
jouer
ds;
v
o?
les
l'on
resp
a
es
utilis?
u
H?lder
et
et
v
l'injection
,
de
qui
Sob
imm?diatemen
olev
?
p
condition
our
>
les
4
in
prenons
t?grales
v
?
k
droite.
H
En
2
com
M
binan
k
t
k
a
H
v
o?
ec
est
(1),
Alors
il
u
vien
k
t
H
(5)

E

T

.

2
_
2
s
J
IX6
(1r?gularit?)
o?
pr?sen
s
p
=
t

qui
+
globale.
1
mon
2
2
(1
T.

T
)
que
.
etite
Ceci
globale
force
)
nalemen
t
t
our
2
les

u
1
temps,
<
)
0
que
.
etite
Cette
solution
fron
tra?ne
ti?re
induit

)
=
([0
1
il
2
lim
en
IX7
tre
t
la
la
loi
ouv
de
H.
conserv
our
ation
H
(ici,
et
_
2
H
_
1
est
)
supp
et
+
l'?c
ose
helle
est
(ici,
nous
_
t
H
temps,
1
est
2
autre
)
le
sem
([0
ble
)
partie
Soit
in
[
t?gran
(8).
te
y
de
,
la
1
m?tho
3
de,
2
et
qui
appara?t
mais
aussi
l'unicit?
dans
de
la
un
m?tho
;
de
fortes
originale
ujita
de
([15])
Bourgain.
donn?es
Il
2
est
2
p
t
ossible
cales
que
que
les
([0
tec
)
hniques
1
d?v
Notre
elopp?es
une
p
laquelle
our
a
KdV
?
([7
.
])
l'on
ou
donn?e
NLS
la
([6])
emen
p
[10
ermetten
trons
t
grande
de
t
franc
un
hir
qui
cette
t
barri?re.
Nous
On
ici
notera
particulier,
que
pr?c?den
dans
d'une
le
2
cas
T
de
L
KdV,
Nous
le
Th?or?me
meilleur
2
r?sultat
+
disp
L
onible,
solution
([7])
lors,
est
p
exactemen
explosion
t
+
?
plus

!
=
u
1
k
2
0
,
0
mais
L
que
,
l'?quation
son
est
globales
lo
p
calemen
lesquelles
t
(ou
mal-p
propagation
os?e
la
en
est
dessous.
probl?me
2
ert
Stabilit?
et
p
solutions
our
de
l'?quation
F
de
et
Na
Kato
vier-Stok
p
es
des
tri-
initiales
dimensionnelle
0
Nous
_
nous
1
in
,
t?ressons
son
aux
uniques
?quations
lo
de
en
Na
c'est-?-dire
vier-Stok
u
es
C
incompressibles
;
dans
?
l'espace
;
en
H
tier,
2
(8)
.
8
but
>
d'?tudier
<
solution
>
our
:
on
@
ose
u
priori
@
T
t
=
=
1

Remarquons
u
si
r
supp

la
(
p
u
alors

solution
u
eectiv
)
t
r
Dans
p;
]
r
mon

qu'une
u
globale
=
devien
0
n?cessairemen
;
p
u
apr?s
(
certain
x;
ce
0)
en
=
notammen
u
qu'elle
0
stable.
(
allons
x
ter
)
un
;
cas
x
qui
2
le
R
t,
3
cas
;
solution
t
u

C
0
;
:
?
Il
;
est
3
bien
.
conn
allons
u
trer
qu'il
2
existe
u
deux
C
th?ories
;
distinctes
1
p
;
our
3
le
une
probl?me
de
de
A
Cauc

h
ne
y
eut
:
avoir
les
?
solutions
=
faibles
1
de
et
J.
pr?cis?ment
Lera
t
y
+
([18
k
]),
(
p
)
our
L
des
=
donn?es
:
initiales
u(

rec
L
;
a
tr?
solution
3
u
;
p
L
oss?
2.
de
glob
les
IX8
m?mes
norme
pr
normes
opri?t?s
d?mon-
d'int?
2
gr
4
abilit?
glob
et
(
de
t
d?
R
cr
l'on
ois-
3
sanc
((0
e
trer
?
group
l'inni
du
que
yp
les
la
solutions
alors
p
p
etites.
qui
La
(
premi?re
solution
partie
0
du
de
th?or?me
t
est
)
implicite
v
dans
B
[17]
3
o?
2
elle
B
est
La
obten
e
ue
_
en
p
corollaire
de
de
les
l'?tude
qui
des
cons?quence
solutions
qu'il
faibles
de
L
2
2
Dans
l
os?e
oc
H
.
stabilit?
Remarquons
l'h
qu'aucune
r
h
2
y-
?limin?e
p
u
oth?se
une
n'est
A
faite
e
sur
que
le
L
taux
v
de
v
croissance
(
de
L
la
u
norme
B
L
C
3
L
de
u
la
3
solution.
3
La
)
seconde
que
partie
3
du
);
th?or?me
3
p
)
eut
ersistance
se
t
v
L
oir
1
comme
2
une
3
cons?quence
de
de
p
la
les
premi?re
del?es
partie,
du
sous
lin?aire,
r?serv
au
e
h?.
que
ortan
l'on
2
disp
ermet
ose
un
d'un
sous
r?sultat
g?n?rique
de
t
p
)
ersistance
cas
du
est
t
r?guli?re,
yp
t
e
)
suiv
th?or?me
an
?t?
t.
[22]
Il
oth?se
s'agit
?
de
2
la
(
r?cipro
)
que
eut
du
au
r?sultat
4
bien
C
conn
3
u
a
([5
de
])
c
dans
stable,
le
existe
con
)
texte
k
_
0
H
<
1
)
2
la
:
ondition
si
,
une
et
solution
v
u
k
2
+
C
k
([0
)(
;
3
T
3
?
ds
);
u
_
k
H
e
1
0
2
3
)
3
appartien
ds
t
2
?
;
L
3
2
d'o?
((0
conclut
;
u
T
L
?
((0
)
1
;
_
_
2
H
;
3
3
2
.
)
p
alors
d'une
elle
du
est
yp
prolongeable
de
dans
3
_
;
H
);
1
B
2
3
au-del?
3
de
)
T
ermet
?
mon
.
la
Th?or?me
ersistance
3
toutes
Soit
autres
T
mo

sur
<
propri?t?s
+
semi-
1
e
et
ce
soit
conduit
u
r?sultat
2
herc
C
Une
([0
imp
;
te
T
Th?or?me
?
est
];
p
L
de
3
trer
)
th?or?me
une
stabilit?
solution
l'h
de
oth?se
(8).
u
A
C
lors
(
Z
3
T
.
?
le
0
o?
k
solution
u
supp
k
plus
3
u
_
C
B
(
2
1
3
,
;
un
3
de
3
a
ds
d?mon
<
dans
+
sous
1
yp
:
de
Ainsi
etitesse
nous
l'inni
obtenons
u
donc
L
la
t
seconde
L
partie
x
du
,
Th?or?me
p
2
?tre
de
gr?ce
la
Th?or?me
mani?re
Th?or?me
suiv
Soit
an
2
te.
t
Il
L
existe
)
T
solution
tel
priori
que
ale
u
(8).
(
lors
T
ette
)
est
soit
c'est-?-dir
p
qu'il
etit
"
en
u
norme
tel
L
si
3
u
;
v
par
k
la
3
th?orie
"
des
u
solutions
alors
?
,
donn?es
solution
p
c
etites
initiale
u
0
2
est
L
ale
3
k
((
u
T
)(
;
)
1
3
);
3
_
Z
B
0
2
(
3
v
;
s
3
k
3
_
)
2
et
;
par
3
le

Th?or?me
k
3
0
(cas
0
T
3

3
ni),
C
u
t
2
k
L
k
3
_
((0
2
;
;
T
3
);
:
_
Bsolution
Nous
0
ren
la
v
w
o
il
y
le
ons
8
?
B
[9]
3
p
L
our
z?ro
les
dans
preuv
0
es

compl?tes
une
et
par
?tendues
t
au
3
cadre
que
des
partir
espaces
solution
de
oir
Beso
la
v
ose
_
v
B
v
(1
t
3
=
p
th?orie
)
3
;q
v
p
z?ro
a
on
v
t
ec
ds
1
0

temps
p;
t
q
0
<
on
+
etites
1
et
.
norme
Remarquons
]).
que
ce
le
s?paration
cadre
pr?cis?men
"optimal"
v
B
2
M
etite
O
\
1
norme.
est
:
inatteignable
r
par
p;
les
(
m?tho
)
des
etites,
d?v
C
elopp?es
3
ici.
3
Nous
etite
donnons
qui
main
par
tenan
solution
t
(9)
une
L
id?e
(
des
3
preuv
0
es,
tout
bas?es
0
sur
donc
une
0
com
u
binaison
)
des

tec
et
hniques
ce
in
eut
tro
des
duites
:
dans
p
[3]
v
et
l'inni
[12].
3
On
exemple
notera
our
que
g?n?ral
la
on
preuv
c?dure
e
tro
exp
].
os?e
on
ici
0
s'applique
+
en
w
fait
3
au
une
cadre
et
Beso
L
v,
2
sous
une
la
r?sout
condition
<
2
w
q

+
(
3
)
p

>
;
1
0)
(et
(
en
ar
supp
donn?es
osan
obtien
t
w
une
(
forme
\
d'unicit?
(
si
3
la
)
r?gularit?
une
est
(v
n?gativ
[4])
e).
v
Il
l'inni,
est
([8])
n?cessaire
aussi
de
Kato
pro
en
c?der
w
di?remmen
k
t
+
dans
k
les
)
autres
B
cas.
3
2.1
k
D?monstration
3
du
IX9
Th?or?me
"
2
>
La
,
remarque
existe
cruciale
un
est
t
la
tel
suiv
k
an
(
te
0
:
k
si
3
u
"
0
,
est
?
dans
de
L
temps
3
p
\
appliquer
L
th?orie
2
p
,
solutions
alors
la
par
reste
uni-
etite
cit?
tend
fort-faible
ers
([23])
?
la
en
solution
L
u
(v
reste
par
dans
[14
L
P
2
r?duire
et
cas
v
?
?rie
cas,
l'in?galit?
utilise
d'?nergie
pro
8
de
t
in

duite
0
[2
;
Plus
E
t,
(
d?comp
u
u
)
=
d?f
0
=
w
k
o?
u
0
(
L
t
a
)
ec
k
p
2
norme
L
v
2
2
+
3
2
L
Z
a
t
ec
0
grande
kr
On
u
l'?quation
(
>
s
>
)
@
k
@
2
=
L
w
2

ds
w

w
k
r
u
r
0
w
k
0
2
w
L
x;
2
=
:
0
P
x
ar
P
suite,
la
u
des
2
p
L
on
1
t
t
solution
(
2
L
t
2
L
)
)
\
L
L
t
2
_
t
2
(
;
_
3
H
a
1
ec
)
p
,
norme
et
oir
par
exemple
in
et
terp
tend
olation
ers
u
?
est
puisque
dans
unicit?
L
cette
4
est
t
la
(
de
_
;
H
a
1
particulier
2
k
)
(
,
)
donc
3
par
3
injection
Z
de
0
Sob
w
olev,
s
u
k
2
_
L
2
4
;
t
3
(

L
w
3
k
)
L
.
:
P
ourun
Ensuite,
k
on
Z
consid?re
u
la
elle-m?me,
di?rence
3
v
en
d?f
est
=
alors
u