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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS EES ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE

4 pages
Niveau: Supérieur

  • concours d'entrée


ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS EES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES T EL ECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT– ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES T EL ECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI ERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2008 PREMI ERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PC (Duree de l'epreuve : 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, Telecom SudParis (ex INT), TPE–EIVP, Cycle international Les candidats sont pries de mentionner de fac¸on apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE I — PC. L'enonce de cette epreuve comporte 4 pages. – Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. – Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. La bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. QUELQUES OSCILLATIONS Dans tout ce probleme, les vecteurs sont surmontes d'un chapeau a? s'ils sont unitaires, d'une fleche ??a dans le cas contraire.

  • points reperes par le meme angle

  • meme instant

  • sphere

  • rail fixe

  • solution ? du systeme linearise

  • fac¸on apparente sur la premiere


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´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT–ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ´ ` ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D’ADMISSION 2008 ` ´ PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filie`re PC (Dure´e de l’e´preuve : 3 heures) L’usage de la calculatrice est autorise´ Sujetmisa`dispositiondesconcours:ENSAEParisTech,ENSTIM,T´el´ecomSudParis(exINT), TPE–EIVP, Cycle international Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremi`erepagedelacopie: PHYSIQUE I — PC. L´enonc´edecettee´preuvecomporte4pages.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurd´enonce´,ilestinvit´e`ale signalersursacopieeta`poursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilaura´ete´ amene´ a` prendre. – Ilne faudra pas he´siter a` formuler les commentaires (incluant des conside´rations nume´riques) qui vous semblerontpertinents,mˆemelorsquele´nonce´neledemandepasexplicitement.Labar`emetiendracompte decesinitiativesainsiquedesqualit´esder´edactiondelacopie. QUELQUES OSCILLATIONS Danstoutceprobl`eme,lesvecteurssontsurmonte´sdunchapeauabehslissnoutintaires,dune`ec −→ apmelseocnostexssgn´eoulis:nadcelsocsarante.irsnLebromzC. Lorsquunebillesph´eriqueroulesurunepistedeformecirculairesuspendueenunpoint,lecouplage entrelabilleetlapisteengendreunmouvementspectaculaire,objetdeceprobl`eme. Une sphe`re homoge`ne, de centreC, de rayonret de massem, est mobile dans un plan vertical en restant en contact avec un railPP, de masseMtuieolnepo,rqda´reulnoinsmeoptneredeccreledec Oet de rayonR, dont l’axe de syme´trie est vertical. Lemomentdinertiedelasph`ereparrap2 port`aunaxepassantparCestJ=2mr/5. Lere´f´erentielxeorthonorm´edirectRg=   b bb b O,i,j,kou`iest vertical dirige´ vers le bas est suppose´ galile´en (voir Figure 1). On pourra´egalementutiliserlesvecteursmobiles polaires unitairesrbetαbrurepr´eestne´ss laFigure1.Lemouvementdelasph`ereest repe´re´pardeuxparam`etres:langleαque −→ b faitOCaveciet l’angle de rotationθautour b` de l’axe horizontal qui portek. A chaque ins tantt, on appelleIle point de contact de la sphe`re avec le rail. On noteAle point du rail Figure 1 : Sphe`re mobile sur un rail fixe situe´ sur son axe de syme´trie. L’acce´le´ration −→ b de la pesanteur estg=gi.
QUELQUES OSCILLATIONS
I. — Rail fixe −→ Lasph`ereroulesansglissersurlerailxe.Initialement,elleestaureposetOCfait un angleαoavec b iegr´esdelibert´eic´nmetaqieu,ses.Lt`yscemerpmoddnedxueαetθ. ´ 1 —Ecrire la condition de roulement sans glissement de la sphe`re sur le rail sous la forme d’une ˙ relation line´aire liantr,R,θ=dθ/dtetα˙=dα/dtleraletaitencndelerlaper.Contrˆo,uenoioenbt ˙ d’une part en comparant les signes respectifs deθet deαet d’autre part en analysant la situation˙ , lorsquer=R. 2 —De´terminer l’expression de l’e´nergie me´canique totaleEtirel´eduuati´eqystsudE.dne`emno diffe´rentiellev´eri´eeparlafonctionα(t). 3 —D´odepalrire´reteenimTpodes petites oscillations. Onconside`redeuxrailscirculairesdemˆemerayonR. Sur chaque rail, on place a` l’instant initial une sph`erederayonr, de massemˆmelrapselgnaemeednespointsrep´er´eαo(situation de´ja` repre´sente´e surlaFigure1).Lessphe`ressontlˆach´eesaumeˆmeinstant,avecunevitesseinitialenulle.Lesdeux rails sont de nature diffe´rente, de sorte que la premie`re sphe`re roule sans glisser et que la seconde glisse sans rouler.
4 —eelllasth`speqer´d,sreteenimeuqrtiquesqualitatifgrmuneste´engre´litinuEsadentsaveriarui lapremi`ereaupointleplusbasAtes?ssde`ephmaesesss´ffineresserdtnoltat´esu.Lerseliid´liomset ´ 5 —Etablir une expression inte´grale du tempsτipedsuartaetoprueleindrsimphasrlpapllare`e pointAtniaero,tbnerieltemps.Conemmueptnotnas,alsclscuplupme´eτmis par la sphe`re la plus lentepouratteindrecepoint?D´eterminerlerapportτ/τ. FIN DE LA PARTIE I II. — Rail suspendu Les pointsPetPsont attache´s enOpar des fils inextensibles de masse ne´gligeable, ce qui permet au rail d’osciller autour de l’axe horizontal passant parO. La position du milieuAparlr´eeleangarliudpee´sert βrdeeceLertnugiF.2erest´laurr´epenes masseGdu rail se trouve a` chaque instant sur la droiteOAa` une distancedeO. On 2 noteJ=MRle moment d’inertie du rail parrapport`asonaxederotation.Onappelle respectivementNetTles composantes de laforceder´eactiondurailsurlasph`ereau pointIselonrbetαb`ereasph.Lsgsilsenaorlu Figure 2 : Sphe`re mobile sur un rail suspendu ser sur le rail, qui est maintenant en forme de Les anglesαetβvelaicrtpoap`artela´rseaprrostnemus −→quart de cercle, les grandeursαetθsont les et l’on noteOG=mˆemesquecellesutilise´esdanslapartieI. II.A. — Description du mouvement ´ ˙˙ 6 —Ecrire la condition de roulement sans glissement reliantθ,α˙ etβ=dβ/dt. −→ 7 —Exprimer dansRgle moment cine´tiqueσ1Cde la sphe`re enCdnussoipxerleeduirnd´eete momentcin´etiqueσ1Ode la sphe`re enO. 8 —Exprimer dansRgemtnic´nteqieeulomσ2Odu rail enO. 9 —Exprimer dansRgne´igrel,equinecti´eECSdee´en,el`hrealpsueetiqcin´rgieECRdu rail et enfin l´energiecin´etiqueECTde l’ensemble railsphe`re. Page 2/4
PhysiqueI,ann´ee2008li`erePC
10 —euqineictnte´ndumememo´eth`eoriluqreelAppO`neeuire´udetdnreeeps`hailblernsemale ´equationdiffe´rentielleliantlesfonctionsα(t)etβ(t). 11 —iluqreelhte´roe`medumomentcin´etneeuqippACepxrileoinerss`e`hpsalaeeulseredu´endte 2 2 ¨ deTen fonction deθ=dθ/dt, puis, en utilisant le re´sultat de la question 6, en fonction deα¨= ¨ 2 22 2 dα/dtetβ=dβ/dt. 12 —edumr`emh´eorletuqeeen´itctnimoneeuqilppAOuired´edlatilarearliuateneesluno diffe´rentielle 2 2 dβdα AB=Mgsinβ(1) 2 2 dt dt On exprimera la constanteAen fonction deM,metRet la constanteBen fonction dem,retR 13 —iuer´Ddeiontaleralstnede´cer´spatltsu´esrde
2 2 dαdβ AB=mg(Rr)sinα 2 2 dt dt
(2)
On exprimera la constanteAen fonction dem,retRitno´V.querieruaeq´el(2)est en accord avec ler´esultatdelaquestion2. 14 —g´erens´ontira´ertnome´D.seuqiteeerquReoutrzlve´eesuqtaoisn1(e)(t)2`apartirdeconsid 2 AA>B. ˙ 15 —Que traduit l’absence de termes enα˙ etβdans les e´quations(1)et(2)?
II.B. — Modes d’oscillation
On conside`re dans cette souspartie que les anglesαetβsont l’un et l’autre voisins de ze´ro, ce qui permet de line´ariser les e´quations(1)et(2). On poseD=MgetD=mg(Rr). On cherche les solutionsdusyste`meline´aris´esouslaforme
    iωt iωt α(t) =Reαoeetβ(t) =Reβoe
(3)
2 ou`αoetβosont deux nombres complexes,i=1. Onappellepulsationpropredusyst`emetoutre´elpositifωqui permet d’obtenir des solutionsnon nullesmelist`edusyean´s´riouesafslemro(3). 16 —De´terminer les pulsations propresω1etω2`estsydu(meω1>ω2) en fonction deA,A,B,D etD. Onconside`redor´enavantquelesconditionsinitialesdusyste`mesont
˙ α(t=0) =αoetα˙(t=0) =β(t=0) =β(t=0) =0
(4)
17 —Montrer que siαo6=0, la solutionβfarodnleemstuns´eectioefonn´lirieastsyme`eud β(t) =η[cos(ω1t)cos(ω2t)]´dtereimenlrcanoapasforc´ement`aennO.rehcrehcanstteηen fonc tion des parame`tres du syste`me.
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