ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE

Jno

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT–ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2008 PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PC (Duree de l'epreuve : 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, Telecom SudParis (ex INT), TPE–EIVP, Cycle international Les candidats sont pries de mentionner de fac¸on apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE I — PC. L'enonce de cette epreuve comporte 4 pages. – Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. – Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. La bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. QUELQUES OSCILLATIONS Dans tout ce probleme, les vecteurs sont surmontes d'un chapeau a? s'ils sont unitaires, d'une fleche ??a dans le cas contraire.

• meme instant


• sphere


• rail fixe


• solution ? du systeme linearise


• fac¸on apparente sur la premiere

Sujets

• École polytechnique
• Sphère

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
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• Langue: Français

Extrait

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE LAERONAUTIQUE ET DE LESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT–ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ´ ` ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS DADMISSION 2008 ` ´ PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filie`re PC (Dure´e de le´preuve : 3 heures) Lusage de la calculatrice est autorise´ Sujetmisa ` dispositiondesconcours:ENSAEParisTech,ENSTIM,T ´ el ´ ecomSudParis(exINT), TPE–EIVP, Cycle international Lescandidatssontpri ´ esdementionnerdefaconapparentesurlapremi ` erepagedelacopie: PHYSIQUE I  PC. L ´ enonc ´ edecettee ´ preuvecomporte4pages.

–Si,aucoursdele ´ preuve,uncandidatrep ` erecequiluisemblee  treuneerreurd ´ enonce ´ ,ilestinvit ´ e ` ale signalersursacopieeta ` poursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilaura ´ ete ´ amene´ a` prendre. – Il ne faudra pas he´siter a` formuler les commentaires (incluant des conside´rations nume´riques) qui vous semblerontpertinents,m  emelorsquele ´ nonce ´ neledemandepasexplicitement.Labar ` emetiendracompte decesinitiativesainsiquedesqualit ´ esder ´ edactiondelacopie. QUELQUES OSCILLATIONS Danstoutceprobl ` eme,lesvecteurssontsurmonte ´ sdunchapeaua ! ehslissnoutintaires,dune ` ec −→ apmelseocnostexssgn ´ eoulis:nadcelsocsarante.irsnLebromz∈C. Lorsquunebillesph ´ eriqueroulesurunepistedeformecirculairesuspendueenunpoint,lecouplage entrelabilleetlapisteengendreunmouvementspectaculaire,objetdeceprobl ` eme. Une sphe`re homoge`ne, de centre C, de rayonret de massem, est mobile dans un plan vertical en $ restant en contact avec un railPP, de masseMtuieolnepo,rqda ´ reulnoinsmeoptneredeccreledec Oet de rayonR , dont laxe de syme´trie est vertical. Lemomentdinertiedelasph ` ereparrap- 2 port ` aunaxepassantparCestJ=2mr/5. Lere ´ f ´ erentielfixeorthonorm ´ edirectR g = " # ! ! ! ! O,i,j,k ou` i est vertical dirige´ vers le bas est suppose´ galile´en (voir Figure 1). On pourra ´ egalementutiliserlesvecteursmo- biles polaires unitairesr ! etα ! rurepr ´ eestne ´ ss laFigure1.Lemouvementdelasph ` ereest repe ´ re ´ pardeuxparam ` etres:langleαque −→ ! faitOCaveciet langle de rotationθautour ! ` de laxe horizontal qui portek. A chaque ins- tantt, on appelleIle point de contact de la sphe`re avec le rail. On note Ale point du rail Figure 1 : Sphe`re mobile sur un rail fixe situe´ sur son axe de syme´trie. Lacce´le´ration −→ ! de la pesanteur estg=gi.

QUELQUES OSCILLATIONS

I.  Rail fixe −→ La sphe`re roule sans glisser sur le rail fixe. Initialement, elle est au repos et OCfait un angleα o avec ! deux degre´s de liberte´ cine´matiques, . Le s t` end αetθ. iys eme compr ´ 1  Ecrire la condition de roulement sans glissement de la sphe`re sur le rail sous la forme dune  relationlin ´ eaireliantr,R,θ=dθ/dtetα=dler la pertinence de la relation obten  α/dt . Contro ue,  dune part en comparant les signes respectifs deθ  et deα, et dautre part en analysant la situation lorsquer=R. 2 mretrenie ´ D ´ mcenaqiee ´ ueontagrteelisiondellexpresE t noqe ´ itauudysts ´ eduirel ` eme.End diffe ´ rentiellev ´ erifi ´ eeparlafonctionα(t). 3  De´terminer la pe´riode T po des petites oscillations. Onconsid ` eredeuxrailscirculairesdem  emerayonRS.hcrueuqaliarlace,onpinst ` alinitnaitelanu sph ` erederayonr, de massemeaemlengrdanpes  mel ´ sptenireo ´ prseeα o (suaitsent ´ eea ` errpe ´ itno ´ dje sur la Figure 1). Les sphe`res sont lache´es au meme instant, avec une vitesse initiale nulle. Les deux railssontdenaturediff ´ erente,desortequelapremi ` eresph ` ereroulesansglisseretquelaseconde glisse sans rouler.

4 iurairevpist ` ihlrEequennestgrmuedasastnesqutiqurg ´ e ´ enerete ´ d,sfitatilalasteelluerqnemi la premie`re au point le plus bas AreL.t-esmoilsu ´ eatltesildifi ´ ssesesmahpe ` edssnodterssenerf ´ ifs?te ´ 5 ionint ´ egraledutmespEnurilbatsserpxeeτmsiaplrsahpre ` epllarausdepiruopettardniele $ pointA . Comment peut-on, sans calcul supple´mentaire, obtenir le temps τ mis par la sphe`re la plus $ lente pour atteindre ce point ? De´terminer le rapport τ/τ. FIN DE LA PARTIE I II.  Rail suspendu $ Les pointsPetP sont attache´s en Opar desfilsinextensiblesdemassen ´ egligeable, ce qui permet au rail dosciller autour de laxe horizontal passant parO. La position du milieuA du rail est repe´re´e par langle βderentceLeer.2iFugrual ´ tseesenepr ´ r masseG du rail se trouve a` chaque instant sur la droiteOAsiatcne ` aedun!deO. On $2 noteJ=MRle moment dinertie du rail par rapport a` son axe de rotation. On appelle respectivementNetTles composantes de laforceder ´ eactiondurailsurlasphe ` reau pointIselonr ! et ! α . La sphe`re roule sans glis- Figure 2 : Sphe`re mobile sur un rail suspendu ser sur le rail, qui est maintenant en forme de Les anglesαetβtnosusemalevtrcilaer ´ esparrapport ` a quart de cercle, les grandeursαetθsont les −→ et loOG n note $ $ =! m  emesquecellesutilise ´ esdanslapartieI. II.A.  Description du mouvement ´    6 Ecrire la condition de roulement sans glissement reliantθ,αetβ=dβ/dt. −→ 7 Exprimer dansR g euic ´ nteqilemomentσ 1C enredasel ` ephC et en de´duire lexpression du −→ momentcin ´ etiqueσ 1O de la sphe`re en O. −→ 8 Exprimer dansR g tnem ´ nicqiteeulemoσ 2O du rail enO. 9 Exprimer dansR g eqlu, ´ energiecin ´ etiE CS erh ` splade ´ niceigrene ´ l,eueetiqE CR du rail et enfin le ´ nergiecin ´ etiqueE CT lde ` ere.liarhps-esneelbm

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Physique I, anne´e 2008  filie`re PC

10 ueiqetn ´ enroe ` emudomemtnicAppliquerleth ´ eOrelbmesn ` hps-liaeal ` entendereeireu ´ edu e´quation diffe´rentielle liant les fonctions α(t)etβ(t). 11 eneuqite ´ nictnemomor ` emeduerleth ´ eAppiluqCsere ` ephasal ` ionressexprilee ´ udetdnluee 2 2 ¨ ¨ deTen fonction deθ=dθ/dttionfoncdep,iu,snetulianisertlsu ´ eatltaledseuqnoitne,6α= ¨ 2 22 2 dα/dtetβ=dβ/dt. 12  Appliquer le the´ore`me du moment cine´tique en Ouaetend ´ edrailseulitalnoeriueral diff ´ erentielle 2 2 dβdα A−B=−Mg!sinβ(1) 2 2 dt dt On exprimera la constanteAen fonction deM,metRet la constanteBen fonction dem,retR 13 tltae ´ uscee ´ ps ´ rD ´ eddesruirentdearslatelnio

2 2 dαdβ $ A−B=−mg(R−r)sinα 2 2 dt dt

(2)

$ On exprimera la constanteAen fonction dem,retR . Ve´rifier que le´quation (2)est en accord avec le re´sultat de la question 2. 14 t(2) ` apaions(1)esee ´ uqtartuoevlzReemD ´ s.uequertronedecortir ´ eransid ´ sneitnoteqire ´ g $2 AA>B.   15 Que traduit labsence de termes enαetβ dans les e´quations (1)et(2)?

II.B.  Modes doscillation

Onconsid ` eredanscettesous-partiequelesanglesαetβuqeciteluartostnlnudez ´ ero,evoisins $ permetdelin ´ eariserles ´ equations(1)et(2). On poseD=Mg!etD=mg(R−r). On cherche les solutionsdusyste ` melin ´ earis ´ esouslaforme

" # % & iωt iωt α(t) =Reα o eetβ(t) =Reβ o e

(3)

2 ou` α o etβ o sont deux nombres complexes,i=−1. On appelle pulsation propre du syste`me tout re´el positif ωqui permet dobtenir des solutionsnon nullesmelin ´ eadusyst ` elsfaroemir ´ sseuo(3). $ 16 esroprte ´ einrmDitaspsnoelrelupsω 1 etω 2 du syste`me ( ω 1 >ω 2 ) en fonction deA,A,B,D $ etD. Onconside ` redor ´ enavantquelesconditionsinitialesdusyste ` mesont

  α(t=0) =α o etα(t=0) =β(t=0) =β(t=0) =0

(4)

17 Montrer que siα o %=0, la solutionβmeaforlednoitcnofenutsees ´ rieasnt ´ lsiymdeu ` e β(t) =η[cos(ω 1 t)−cos(ω 2 t)] . On ne cherchera pas force´ment a` de´terminer la constante ηen fonc- tiondesparame ` tresdusyst ` eme.

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