La lecture en ligne est gratuite
Lire Télécharger
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE LAERONAUTIQUE ET DE LESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT–ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ´ ` ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS DADMISSION 2008 ` ´ PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filie`re PC (Dure´e de le´preuve : 3 heures) Lusage de la calculatrice est autorise´ Sujetmisa`dispositiondesconcours:ENSAEParisTech,ENSTIM,T´el´ecomSudParis(exINT), TPE–EIVP, Cycle international Lescandidatssontpri´esdementionnerdefaconapparentesurlapremi`erepagedelacopie: PHYSIQUE I  PC. L´enonc´edecettee´preuvecomporte4pages.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleetreuneerreurd´enonce´,ilestinvit´e`ale signalersursacopieeta`poursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilaura´ete´ amene´ a` prendre. – Ilne faudra pas he´siter a` formuler les commentaires (incluant des conside´rations nume´riques) qui vous semblerontpertinents,memelorsquele´nonce´neledemandepasexplicitement.Labar`emetiendracompte decesinitiativesainsiquedesqualit´esder´edactiondelacopie. QUELQUES OSCILLATIONS Danstoutceprobl`eme,lesvecteurssontsurmonte´sdunchapeaua!ehslissnoutintaires,dune`ec apmelseocnostexssgn´eoulis:nadcelsocsarante.irsnLebromzC. Lorsquunebillesph´eriqueroulesurunepistedeformecirculairesuspendueenunpoint,lecouplage entrelabilleetlapisteengendreunmouvementspectaculaire,objetdeceprobl`eme. Une sphe`re homoge`ne, de centreC, de rayonret de massem, est mobile dans un plan vertical en $ restant en contact avec un railPP, de masseMtuieolnepo,rqda´reulnoinsmeoptneredeccreledec Oet de rayonR, dont laxe de syme´trie est vertical. Lemomentdinertiedelasph`ereparrap-2 port`aunaxepassantparCestJ=2mr/5. Lere´f´erentielxeorthonorm´edirectRg= " # ! !! ! O,i,j,kou`iest vertical dirige´ vers le bas est suppose´ galile´en (voir Figure 1). On pourra´egalementutiliserlesvecteursmo-biles polaires unitairesr!etα!rurepr´eestne´ss laFigure1.Lemouvementdelasph`ereest repe´re´pardeuxparam`etres:langleαque −→ ! faitOCaveciet langle de rotationθautour !` de laxe horizontal qui portek. A chaque ins-tantt, on appelleIle point de contact de la sphe`re avec le rail. On noteAle point du rail Figure 1 : Sphe`re mobile sur un rail fixe situe´ sur son axe de syme´trie. Lacce´le´ration ! de la pesanteur estg=gi.
QUELQUES OSCILLATIONS
I.  Rail fixe −→ La sphe`re roule sans glisser sur le rail fixe. Initialement, elle est au repos etOCfait un angleαoavec !deux degre´s de liberte´ cine´matiques,. Le st` endαetθ. iys eme compr ´ 1 Ecrire la condition de roulement sans glissement de la sphe`re sur le rail sous la forme dune relationlin´eaireliantr,R,θ=dθ/dtetα=dler la pertinence de la relation obten α/dt. Controue, dune part en comparant les signes respectifs deθet deα, et dautre part en analysant la situation lorsquer=R. 2 mretrenie´D´mcenaqiee´ueontagrteelisiondellexpresEtnoqe´itauudysts´eduirel`eme.End diffe´rentiellev´eri´eeparlafonctionα(t). 3 De´terminer la pe´riodeTpodes petites oscillations. Onconsid`eredeuxrailscirculairesdememerayonRS.hcrueuqaliarlace,onpinst`alinitnaitelanu sph`erederayonr, de massemeaemlengrdanpesmel´sptenireo´prseeαo(suaitsent´eea`errpe´itno´dje sur la Figure 1). Les sphe`res sont lache´es au meme instant, avec une vitesse initiale nulle. Les deux railssontdenaturediff´erente,desortequelapremi`eresph`ereroulesansglisseretquelaseconde glisse sans rouler.
4 iurairevpist`ihlrEequennestgrmuedasastnesqutiqurg´e´enerete´d,sfitatilalasteelluerqnemi la premie`re au point le plus basAreL.t-esmoilsu´eatltesildi´ssesesmahpe`edssnodterssenerf´ifs?te ´ 5 ionint´egraledutmespEnurilbatsserpxeeτmsiaplrsahpre`epllarausdepiruopettardniele $ pointA. Comment peut-on, sans calcul supple´mentaire, obtenir le tempsτmis par la sphe`re la plus $ lente pour atteindre ce point ? De´terminer le rapportτ/τ. FIN DE LA PARTIE I II.  Rail suspendu $ Les pointsPetPsont attache´s enOpar deslsinextensiblesdemassen´egligeable, ce qui permet au rail dosciller autour de laxe horizontal passant parO. La position du milieuAdu rail est repe´re´e par langle βderentceLeer.2iFugrual´tseesenepr´r masseGdu rail se trouve a` chaque instant sur la droiteOAsiatcne`aedun!deO. On $2 noteJ=MRle moment dinertie du rail par rapport a` son axe de rotation. On appelle respectivementNetTles composantes de laforceder´eactiondurailsurlasphe`reau pointIselonr!et!α. La sphe`re roule sans glis-Figure 2 : Sphe`re mobile sur un rail suspendu ser sur le rail, qui est maintenant en forme de Les anglesαetβtnosusemalevtrcilaer´esparrapport`a quart de cercle, les grandeursαetθsont les −→ et loOG n note$ $=! memesquecellesutilise´esdanslapartieI. II.A.  Description du mouvement ´ 6 Ecrire la condition de roulement sans glissement reliantθ,αetβ=dβ/dt. −→ 7 Exprimer dansRgeuic´nteqilemomentσ1Cenredasel`ephCet en de´duire lexpression du momentcin´etiqueσ1Ode la sphe`re enO. 8 Exprimer dansRgtnem´nicqiteeulemoσ2Odu rail enO. 9 Exprimer dansRgeqlu,´energiecin´etiECSerh`splade´niceigrene´l,eueetiqECRdu rail et enfin le´nergiecin´etiqueECTlde`ere.liarhps-esneelbm
Page 2/4
Physique I, anne´e 2008  filie`re PC
10 ueiqetn´enroe`emudomemtnicAppliquerleth´eOrelbmesn`hps-liaeal`entendereeireu´edu e´quation diffe´rentielle liant les fonctionsα(t)etβ(t). 11 eneuqite´nictnemomor`emeduerleth´eAppiluqCsere`ephasal`ionressexprilee´udetdnluee 2 2 ¨ ¨ deTen fonction deθ=dθ/dttionfoncdep,iu,snetulianisertlsu´eatltaledseuqnoitne,6α= ¨ 2 22 2 dα/dtetβ=dβ/dt. 12 Appliquer le the´ore`me du moment cine´tique enOuaetend´edrailseulitalnoeriueral diff´erentielle 2 2 dβdα AB=Mg!sinβ(1) 2 2 dt dt On exprimera la constanteAen fonction deM,metRet la constanteBen fonction dem,retR 13 tltae´uscee´ps´rD´eddesruirentdearslatelnio
2 2 dαdβ $ AB=mg(Rr)sinα 2 2 dt dt
(2)
$ On exprimera la constanteAen fonction dem,retR. Ve´rifier que le´quation(2)est en accord avec le re´sultat de la question 2. 14 t(2)`apaions(1)esee´uqtartuoevlzReemD´s.uequertronedecortir´eransid´sneitnoteqire´g $2 AA>B. 15 Que traduit labsence de termes enαetβdans les e´quations(1)et(2)?
II.B.  Modes doscillation
Onconsid`eredanscettesous-partiequelesanglesαetβuqeciteluartostnlnudez´ero,evoisins $ permetdelin´eariserles´equations(1)et(2). On poseD=Mg!etD=mg(Rr). On cherche les solutionsdusyste`melin´earis´esouslaforme
" # % & iωt iωt α(t) =Reαoeetβ(t) =Reβoe
(3)
2 ou`αoetβosont deux nombres complexes,i=1. On appelle pulsation propre du syste`me tout re´el positifωqui permet dobtenir des solutionsnon nullesmelin´eadusyst`elsfaroemir´sseuo(3). $ 16 esroprte´einrmDitaspsnoelrelupsω1etω2du syste`me (ω1>ω2) en fonction deA,A,B,D $ etD. Onconside`redor´enavantquelesconditionsinitialesdusyste`mesont
α(t=0) =αoetα(t=0) =β(t=0) =β(t=0) =0
(4)
17 Montrer que siαo%=0, la solutionβmeaforlednoitcnofenutsees´rieasnt´lsiymdeu`e β(t) =η[cos(ω1t)cos(ω2t)]. On ne cherchera pas force´ment a` de´terminer la constanteηen fonc-tiondesparame`tresdusyst`eme.
Page 3/4
Tournez la page S.V.P.