ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2006 FILIÈRE PC PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. ? ? ? Propagation de signaux électriques L'objet de ce problème est d'étudier la propagation de signaux électriques dans diverses structures conductrices. Dans la première partie, on s'intéresse à la propagation dans un câble dit « coaxial ». L'équation de propagation est établie ainsi que certaines caractéristiques des ondes se propageant dans le câble. Dans la seconde partie, la structure de propagation, ou « ligne », est une chaîne constituée de l'association en série de cellules LC. La propagation y présente un aspect dispersif qui est étudié. Dans la troisième partie, on montre comment l'introduction d'un élément non linéaire permet de contrebalancer l'effet dispersif de la ligne ; des solutions « solitons » de l'équation de propagation sont mises en évidence. Données numériques : Permittivité du vide : ?0 ' 8, 854 ? 10?12F·m?1 Vitesse des ondes EM dans le vide : c = 1√?0µ0 = 3? 10 8m·s?1 Formulaire : f étant un champ scalaire et ~a un champ vectoriel : rot(f~a) = f rot ~a+ grad f ? ~a ch(u + v)ch(u? v) = ch2u + sh2v Équations de Maxwell dans le vide ? ? ? ? ? ? ? ? ? div ~E = ??0 rot ~E = ?∂

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Sujets

• École polytechnique
• Champ électromagnétique
• Propagation

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Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 2006

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures)

FILIÈRE PC

L’utilisation des calculatricesest autoriséepour cette épreuve.

? ? ?

Propagation de signaux électriques

L’objet de ce problème est d’étudier la propagation de signaux électriques dans diverses structures conductrices. Dans la première partie, on s’intéresse à la propagation dans un câble dit « coaxial ». L’équation de propagation est établie ainsi que certaines caractéristiques des ondes se propageant dans le câble. Dans la seconde partie, la structure de propagation, ou « ligne », est une chaîne constituée de l’association en série de cellulesLC. La propagation y présente un aspect dispersif qui est étudié. Dans la troisième partie, on montre comment l’introduction d’un élément non linéaire permet de contrebalancer l’effet dispersif de la ligne ; des solutions « solitons » de l’équation de propagation sont mises en évidence.

Données numériques :

−12−1 Permittivité du vide :ε 0 '8,854×10F∙m 1 8 −1 Vitesse des ondes EM dans le vide :c3= = ×10m∙s ε 0 µ 0 Formulaire : fétant un champ scalaire et~aun champ vectoriel :rot(f~a) =frot~a+gradf∧~a 2 2 ch(u+v)ch(u−v) =chu+shv  ~ ρ ∂B  ~ ~  divE=rotE=− ε 0 ∂t Équations de Maxwell dans le vide ~ ∂E   ~ ~ ~ divB= 0rotB=µ 0 j+ε 0 µ 0 ∂t

I. Propagation dans un câble coaxial

Le câble, schématisé figure 1, est formé de deux cylindres métalliques, de sections circulaires, coaxiaux et de rayons respectifsρ 1 etρ 2 (ρ 1 < ρ 2 ). Le premier cylindre 1 est plein, c’est l’âme du câble, et le deuxième 2 est creux, c’est la gaine. On supposera les cylindres de très grande conductivité ; les charges et courants électriques qu’ils transportent seront, aux fréquences de travail, considérés comme surfaciques et le champ électromagnétique est nul dans le volume des

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conducteurs. De plus il ne circule aucun courant sur la surface extérieure de la gaine. L’espace entre les deux cylindres est empli d’un milieu isolant homogène dont les caractéristiques sont supposées indépendantes de la fréquence ; on admettra alors qu’il suffit de remplacer dans toutes les équations de Maxwellε 0 parε=ε 0 ε r oùε r est la permittivité relative de l’isolant.

Données numériques du câble :φ 1 = 2ρ 1 = 1,0mm, φ 2 = 2ρ 2 = 3,5mm, ε r = 2,25.

Figure 1  Schéma du câble coaxial

Un pointMentre les cylindres sera repéré par ses coordonnées cylindriques(ρ, θ, z), Ozétant l’axe des cylindres. On désigne par(~e ρ ,~e θ ~,e z )le repère orthonormé associé.

I.1. Caractéristiques électriques du câble

On cherche dans ces premières questions à identifier quelques quantités électriques caracté ristiques du câble.

Capacité linéique. On suppose que l’âme porte la chargeQpar unité de longueur.

I.1.1En un pointMcompris entre les conducteurs, établir l’expression du vecteur champ ~ électriqueEen fonction deQ, deρetε=ε 0 ε r ; on négligera tout effet de bord.

I.1.2En déduire l’expression de la différence de potentiel entre les cylindres,V 1 −V 2 , en fonction deQ,ρ 1 etρ 2 .

I.1.3Exprimer la capacité linéiqueΓdu câble en fonction deρ 1 etρ 2 .

−1 I.1.4Calculer la valeur numérique deΓet celle deV 1 −V 2 pourQ= 1nC∙m . À quelle distance de l’axe le champEprendil sa valeur maximaleE max ?dans le milieu isolant CalculerE max .

Inductance linéique.On suppose le conducteur central parcouru par un courant surfacique continu d’intensitéI.

~ I.1.5Donner l’expression du vecteur champ magnétiqueBen fonction deIet deρen un pointM; on négligera tout effet de bord.compris entre les conducteurs

I.1.6On considère un tronçon de longueur unité limité par deux plans orthogonaux à l’axe. ~ Le flux magnétique propreΦde ce tronçon est le flux deBà travers un demiplanθ=Cste, limité par les extrémités du tronçon. Trouver l’expression deΦen fonction deI, ρ 1 etρ 2 .

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I.1.7En déduire l’inductance linéique du câbleΛen fonction deρ 1 etρ 2 .

I.1.8Calculer la valeur numérique deΛ. À quelle distance de l’axe le champBprendil sa valeur maximaleB max dans le milieu isolant ? CalculerB max pourI= 100mA.

I.1.9Si on suppose maintenant que l’intensitéIest répartie en volume dans le conducteur central, l’inductance par unité de longueur seratelle modifiée ?

I.2. Onde électromagnétique TEM

On cherche à montrer qu’un champ électromagnétique à la fois transverse électrique et trans verse magnétique (mode TEM) peut se propager entre les deux conducteurs. On considère une ~ ~ onde progressive(E, B)de la forme :

j(ωt−kz)j(ωt−kz) ~ ~ E 0 (x, y)e , B 0 (x, y)e

avec des composantes nulles selonOzetk >0.

~ ~ ~ ~ I.2.1Montrer queke~ z ∧E 0 =ωB 0 etek~ z ∧B 0 =−ωεµ 0 E 0 . Quelle est la structure locale du champ EM ?

I.2.2En déduire la relation de dispersion qui relieketω. Quelle est la vitesse de phasev ~ de cette onde ; l’exprimer en fonction deε r etc. Préciser le rapport entre la norme deEet celle ~ deB.

I.2.3Le champ EM doit satisfaire les conditions aux limites du système. Justifier que c’est ~ ~ le cas pour l’onde caractérisée parE 0 (ρ) =E 0 (ρ)e~ ρ etB 0 (ρ) =B 0 (ρ)e~ θ .

I.2.4SoitI(z, t)l’intensité du courant parcourant le conducteur interne. Montrer queI(z, t) j(ωt−kz) est de la formeI(z, t) =I 0 e, et exprimerB 0 (ρ)en fonction deI 0 etρ.

I.2.5Quelle est l’intensité parcourant le conducteur externe ?

I.3. Aspect électrocinétique ; impédance caractéristique

Pourzfixé et à un instanttdonné, on définit localement la différence de potentielU(z, t) Z 1 ~ ~ entre le conducteur interne 1 et l’externe 2 parU(z, t) =−E(ρ, z, t)∙dl, la circulation du 2 champ électrique étant prise sur une courbe plane du planzfixé reliant les deux conducteurs.

I.3.1Montrer que, pour l’onde TEM analysée en I.2,U(z, t)est indépendant de la courbe plane choisie pour relier dans ce plan les conducteurs et montrer queU(z, t)s’exprime sous la j(ωt−kz) forme :U(z, t) =U 0 e. ~ Peuton définir, pour cette onde, un potentiel scalaireV(ρ, z, t)tel queEen soit partout, au signe près, le gradient ? Expliciter les raisons de votre réponse.

I.3.2Déterminer le rapportZ c =U(z, t)/I(z, t). Quelle est la propriété remarquable de cette impédance appelée « impédance caractéristique » ?

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I.3.3Montrer queZ c =

Λ . Γ

I.3.4On considère maintenant une onde TEM du même type mais se propageant en sens inverse. Quelles sont alors les dépendances spatiotemporelles deU(z, t)etI(z, t)pour cette onde ? En déduire l’expression deU/Ien fonction deZ c .

I.3.5Calculer numériquementZ c et la vitesse de propagationvà partir des données.

I.4. Réflexion en bout de câble

Un signal de tensionU inc (z, t) =Aexpj(ωt−kz)se propage dans le sens deszcroissants. Il atteint l’extrémité du câble enz= 0. À cette extrémité les deux conducteurs cylindriques sont reliés par une impédanceZ(ω).

I.4.1Quelle condition doivent vérifier tension et courant enz= 0? En déduire l’existence d’un signal réfléchiU ref (z, t) =Bexpj(ωt+kz)et expliciter la relation entreA, B, ZetZ c .

I.4.2Exprimer le coefficient de réflexion en tensionr=B/Aen fonction deZetZ c . Quelle est sa valeur pourZ=∞(circuit ouvert) ? même question pourZ= 0(courtcircuit) ?

Les résultats obtenus en I.3 se généralisent à toute onde TEM progressive correspondant au signalU(tz/v)et d’intensitéI(tz/v)associée.

I.4.3Quelle caractéristique de la propagation dans ce câble justifie cette généralisation ? Préciser l’hypothèse de travail essentielle à cette propriété.

I.4.4Le signal incident est un signal rectangulaire de duréeτcourte par rapport au temps de propagation dans le câble. Donner sans calcul l’allure du signal réfléchi dans le cas d’une extrémité ouverte, puis dans le cas d’une extrémité en courtcircuit.

I.4.5L’extrémité du câble est maintenant fermée sur une résistanceR. Pour quelle valeur de R?n’y atil aucun signal réfléchi

I.4.6Expliquer avec la valeur numérique obtenue à la question 1.3.5 l’intérêt d’avoir un générateur de signaux dont l’impédance de sortie est de 50Ω.

II. Propagation sur une ligne électrique

On considère une « ligne électrique » composée d’une suite de « cellules » identiques. Le schéma de la ligne est donné dans la figure 2. Dans la cellulen, on noteV n la tension aux bornes de la capacitéC, Q n la charge de celleci etI n le courant traversant l’inductance L. L’étude est menée dans le cadre de l’électrocinétique.

II.1. Équation d’évolution

II.1.1Exprimer la dérivée par rapport au temps deQ n uniquement en fonction des courants et celle deI n en fonction des tensions.

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2 d V n 2 II.1.2En déduire que=ω(V n+1 +V n−1 −2V n )oùω 0 est une constante que l’on 0 2 dt exprimera en fonction deLetC.

L

V n1

I n1

Q n1

C

L

V n

cellule n

I n

Q n

C

L

I n+1

V n+1

C

Q n+1

Figure 2  Ligne de cellulesLCen série II.2. Aspect énergétique Å ã d1 1 2 2 LIet l CalculerCV n + n ’exprimer en fonction deV n−1 , V n , I n etI n+1 . Interpréter dt2 2 la relation obtenue en précisant le rôle de chaque terme.

II.3. Propagation

On cherche une solution sinusoïdaleV n (t)de l’équation obtenue en II.1.2 (en nota jωt tion complexeV n (t) =A n e) telle que l’effet de chaque cellule soit un déphasageαfixé −jα V n+1 =V n e(retard siα >0).

II.3.1ExprimerA n en fonction deA 0 ,netα.

II.3.2Trouver la relation de « dispersion » entreαetω.

II.3.3Montrer que ces solutions n’existent que siωest inférieur à une certaine fréquenceω c que l’on exprimera. Quel est alors le domaine utile de variation deα?

II.3.4?Si cette condition est vérifiée, pourquoi peuton parler de propagation de la phase Préciser la « vitesse » de propagationv ϕ correspondante, la vitesse étant définie ici comme le nombre de cellules parcourues par unité de temps ?

II.3.5On suppose maintenantωω 0 . En explicitantαen fonction deω, exprimerv ϕ . Que constateton ? En déduire que l’effet d’une cellule sur un signal électrique, composé de fré quences suffisamment basses, se traduit par un retard temporelτque l’on exprimera en fonction deω 0 , justifiant ainsi le nom de « ligne à retard » donné à ce système.

II.3.6Application numérique.C=10nF,L=25µH. Calculerω 0 etτ. Combien de cellules fautil mettre en série pour obtenir un retard total de 0,1 ms ? Quelle serait la longueur d’un câble coaxial comme celui étudié en I qui produirait le même retard ?

II.4.Effets dispersifs

On se place dans le cas oùω < ω c etα >0.

II.4.1Rappeler la définition et l’interprétation de la vitesse de groupev g . En donner l’ex

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pression en fonction deω 0 etα; donner l’allure de son graphe en fonction deα. Que constateton pourα=π?

jωt II.4.2En notation complexe, l’intensitéI n est de la formeI n (t) =B n e. Exprimer B n en fonction deA n , L,ω 0 etα. Calculer la moyenne temporelle de l’énergie de la cellule (n) : D E 1 1 2 2 E=CV+LIainsi que celle de la puissancePreçue de la cellule(n−1). En déduire le n n 2 2 rapportP/E?. Que retrouveton

II.4.3Expliquer qualitativement comment va évoluer un signal non monochromatique se propageant le long de cette ligne. Comment appelleton ce phénomène ?

II.5.Impédance caractéristique

II.5.1Pour un signal sinusoïdal avecα >0, expliciter le rapportZ c =V n /I n+1 de la tension et du courant de sortie de la cellule(n), appelé « impédance caractéristique ».

0 II.5.2Montrer que la partie réactiveX c de cette impédance est celle d’une inductanceL que l’on précisera.

II.5.3En exprimer la partie résistiveR c en fonction deL, Cetα, puis deL, Cetω. En étudier la valeur pourωω 0 et pourω→ω c . Commenter ces résultats.

II.5.4Pour une ligne de longueur finie, et pour des signaux correspondant àωω 0 , sur quelle impédance fautil fermer la ligne pour ne pas avoir de signal réfléchi ? En utilisant les 0 valeurs numériques de II.3.6, calculerLet la valeur deR c correspondante.

III. Le soliton de Toda

Dans cette partie, on cherche à compenser les effets dispersifs vus précédemment. Pour cela, on remplace le condensateur présent dans chaque cellule de la partie II, par un dipôle non linéaire, représenté figure 3.a et comportant une diode D. Cette diode est polarisée en inverse par la tension continueV 0 . Pour la propagation dans la ligne, la diode D se comporte alors comme un condensateur de capacité variableC D (V)dépendant de la tensionVà ses bornes, et donc de la polarisationV 0 choisie et du signalV n (t)propagé.

III.1.Modélisation de la capacité variable

III.1.1.Expliquer qualitativement comment on peut choisir les valeurs de la résistance de polarisationR 0 et de la capacité linéaireC 0 pour que l’ensemble soit équivalent en régime variable à une capacité variableC D (V 0 +V n ) soumise à la tensionV 0 +V n . On supposera cette modélisation valable par la suite (figure 3.b).

III.1.2.On place, en parallèle avec l’élément non linéaireC D de la figure 3.b, une capacité linéaireC L . Il est possible de choisir judicieusement la valeur deC L pour que l’on ait approxi 1 mativement'a+bVsur le domaineV∈[1V,3V]. C L +C D (V)

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En déduire que la chargeQ(V)portée par la capacité variable soumise à la tensionV 0 +V n Å ã V n est de la forme :Q(V 0 +V n ) =Cste+Q 0 ln1 +oùQ 0 etF 0 sont des constantes que l’on F 0 exprimera en fonction dea, betV 0 .

V 0

R 0

a

D

C 0

V=V +V 0 n

b

C (V) D

Figure 3  Dipôle non linéaire remplaçant la capacitéC

III.2. Propagation de solitons sur la ligne

III.2.1Reprendre l’étude faite au II.1. et montrer que, désormais : ï ò 2 d V n Q 0 Lln=1 + V n+1 +V n−1 −2V n 2 dt F 0 2 F 0 Ω III.2.2Montrer queV n (t) =est solution de l’équation précédente avec 2 ch[Ωc 0 t−P n] 2 LQ cetΩ =sh(P)oùPest un par 0 0 =F 0 amètre sans dimension. On pourra exprimer le second membre de l’équation de III.2.1 en utilisant la relation suivante, valable pour toutκ:

2 2 2 Ωc d 0 =ln[ch(Ωc 0 t−κ)]. 2 2 ch[Ωc 0 t−κ]dt

III.2.3Tracer l’allure de cette solution àtfixé en fonction den. Exprimer sa propagationv(nombre de cellules par unité de temps) à l’aide dec 0 etP. Quelle est son maximaleV max ? Montrer qu’une? Son étalement (ordre de grandeur de sa largeur) n’existe que sivest supérieur à une valeur critique que l’on précisera.

vitesse de amplitude telle onde

III.2.4Application numérique. On prendL= 220µH,Q 0 = 3,5nC etF 0 = 4,5V. Calculer −1 c 0 . Expérimentalement on a observé sur une telle lignev= 2,5cellules∙µÉvaluer l’amplitudes . deV n et estimer la durée de passage du soliton dans la cellulen.

III.2.5En supposant que chaque soliton représente un bit d’information, quel débit obtient on avec cette ligne ?

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