ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2009 FILIÈRE PC PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. ? ? ? Stabilité de la matière, stellaire et interstellaire Les nuages de gaz interstellaire que l'on trouve dans l'univers peuvent s'effondrer sous l'effet de leur propre champ gravitationnel et donner lieu à des structures denses, dont la stabilité même n'est pas nécessairement assurée. L'objet de ce problème est d'analyser certaines situations conduisant à ce phénomène. On admettra qu'une distribution de masse caractérisée par une masse volumique ?(~r) donne lieu à un champ gravitationnel ~g(~r) dérivant d'un potentiel ?(~r) avec ~g(~r) = ????grad? et tel que div~g = ?4piG?. Données numériques Constante gravitationnelle : G = 6, 7 ? 10?11 m3 · kg?1 · s?2 Nombre d'Avogadro : NA = 6, 02 ? 1023 mol?1 Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3, 0 ? 108 m · s?1 I. Première approche I.1 Si l'on cherche à déterminer le champ gravitationnel ~g(~r) résultant d'une distribution de masse volumique ?(~r), on peut s'appuyer sur une analogie électrostatique.

• énergie de la couche sphérique de masse dm


• univers


• masse de la boule de rayon ?j


• champ de la vitesse


• univers en expansion


• gaz de la boule précédente


• masses volumique


• symétrie sphérique


• champ gravitationnel

Sujets

• École polytechnique
• Univers
• Symétrie de rotation
• Champ gravitationnel

Informations

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Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 2009

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures)

FILIÈRE PC

L’utilisation des calculatricesn’est pasautorisée pour cette épreuve.

? ? ? Stabilité de la matière, stellaire et interstellaire

Les nuages de gaz interstellaire que l’on trouve dans l’univers peuvent s’effondrer sous l’effet de leur propre champ gravitationnel et donner lieu à des structures denses, dont la stabilité même n’est pas nécessairement assurée. L’objet de ce problème est d’analyser certaines situations conduisant à ce phénomène.

On admettra qu’une distribution de masse caractérisée par une masse volumiqueρ(r~)donne −−→ lieu à un champ gravitationnelg~(r~)dérivant d’un potentielϕ(~r)avec~g(~r) =−gradϕet tel que divg~=−4πGρ. Données numériques −11 3−1−2 Constante gravitationnelle :G= 6,7×10m∙kg∙s 23−1 Nombre d’Avogadro :N A = 6,02×10mol 8−1 Vitesse de la lumière dans le vide :c= 3,0×10m∙s

I. Première approche

I.1Si l’on cherche à déterminer le champ gravitationnelg~(r~)résultant d’une distribution de masse volumiqueρ(~r), on peut s’appuyer sur une analogie électrostatique. Préciser, dans le cadre de cette analogie, les quantités qui jouent les rôles deg~(~r), deρ(~r)et deG.

I.2Soit une boule de rayonRcentrée à l’origine des coordonnées, dont la distribution de masse est à symétrie sphérique. Soientρ(r)la masse volumique,m(r)la masse de la boule de rayonr (pourr < R) etMla masse totale.

I.2.1Déterminer, pourr≥R, le champ gravitationnel~g(~r)produit par cette boule de matière.

1

I.2.2Déterminer de même, pourr < R, le champ gravitationnel~g(r~)à l’aide dem(r).

I.3Soit une boule gazeuse de masse volumiqueρuniforme, de masseMet de rayon R 0 , initialement au repos. Elle s’effondre sous l’effet de son propre champ gravitationnel. On suppose que ce mouvement garde à tout moment la symétrie sphérique; on fait l’hypo thèse qu’un élément quelconque du milieu gazeux, de masseµ, initialement à la distancer 0 , a un mouvement de chute libre, c’estàdire qu’il n’est soumis qu’à la force de gravitation du gaz situé initialement à une distance du centre inférieure àr 0 et qui se contracte.

I.3.1On rappelle la loi de Kepler reliant, dans le cas d’une trajectoire elliptique d’un corps attiré par une masse ponctuelleM 0 , la périodeau demigrand axea:

3 1/2 = 2π(a /GM 0 ).

En déduire l’expression de la durée de chuteτ g jusqu’à l’origine en fonction deGetρ. Cette durée dépendelle der 0 ?

30 8 I.3.2Calculerτ g pourM= 2,0×10kg etR 0 = 7,0×10m (valeurs correspondant au Soleil). 8 Même calcul pour un nuage intergalactique sphérique, de rayon10fois celui du Soleil et 3 possédant dix atomes d’hydrogène par cm.

I.3.3Quelle force antagoniste, non prise en compte, peut freiner un tel effondrement et éventuellement l’arrêter?

I.4On suppose que le gaz de la boule précédente possède une température moyenneTnon nulle. Ce gaz est supposé parfait, monoatomique et de masse molaireM A .

I.4.1Donner l’expression de l’énergie cinétique totaleU cin du gaz en fonction deT , M, M A et de la constante des gaz parfaitsR GP .

I.4.2L’énergie potentielle de gravitationE g de la boule est donnée par : 2 3GM E g =−. 5R 0 SiE g + 2U cin <0,on montre qu’un effondrement s’amorce. Déterminer le rayon critiqueR c tel que, àρfixé et pourR 0 > R c , ce phénomène se produit. ExprimerR c en fonction deρ, T, et des constantesG, M A etR GP .

I.4.3Soitc S la vitesse des ondes acoustiques dans le gaz etτ S =R 0 /c S une estimation du temps mis par une perturbation acoustique pour aller de la surface au centre. Expliciterc S en fonction deT , M A etR GP et exprimerτ S .

Montrer queτ S est supérieur àτ g pourR 0 > R S oùR S est une distance que l’on explicitera en fonction deρ, T, et des constantesG, M A etR GP . Quelle interprétation dynamique vous sug gère la comparaison deR S etR c ?

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II. Stabilité d’une étoile

On s’intéresse dans cette partie aux propriétés d’une étoile dense, comme le Soleil, que l’on décrira comme une boule de gaz parfait à symétrie sphérique de masse totaleM. On reprend les notations de la partieI:ρ(r), m(r)~,g(~r)et on en utilisera les résultats.

II.1On suppose la distribution à l’équilibre.

II.1.1Exprimer, à l’aide dem(r)etρ(r), la force de gravitation par unité de volume à la distancerdu centre.

II.1.2Dans le fluide règne une pression localeP(r)avecP(R) = 0à la surface. Exprimer la dP condition d’équilibre; en déduire. dr II.2On s’intéresse à l’aspect énergétique. SoitE g l’énergie potentielle de gravitation de toute la boule etdE g la contribution à cette énergie de la couche sphérique de massedm(r)située entreretr+dr.

II.2.1ExprimerdE g à l’aide dem(r)et dedm(r).

dP 3 II.2.2Montrer quedE g s’écritdE g = 4πr dr. dr Z R 2 II.2.3Montrer queE g =−3P dVoùdV= 4πr drest le volume de la couche sphérique 0 comprise entreretr+dr.

II.3Rappeler l’expression de l’énergie interne molaireU mol d’un gaz parfait en fonction de la capacité thermique molaireC V et de la température thermodynamiqueT. Soitγ=C P /C V . ExprimerU mol en fonction deγ, deTet de la constante des gaz parfaitsR GP .

II.4Déduire de cette expression et de la précédente une relation entreE g et l’énergie interne totaleUdu gaz. On supposera queγest uniforme.

II.5Exprimer l’énergie totaleEde la boule en fonction deU. Déterminer à quelle condition portant surγl’étoile est stable.

II.6Que devient la relation entreE g etUobtenue enII.4pourγ= 5/3. À quel type de gaz correspond cette valeur? À quelle forme d’énergie correspond alorsU?

II.7Si la températureTcroît, écartant un peu le système de l’équilibre, les réactions nucléaires s’accroissent et fournissent plus d’énergie. En utilisantII.5, comment interprétezvous le retour à l’équilibre, donc la stabilité, du Soleil?

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III. Évolution d’une perturbation

On suppose que l’univers est constitué de matière que l’on traitera comme un fluide non visqueux, caractérisé par un champ de masse volumiqueρ(t,r~), un champ de vitesse~v(~tr,)et un champ de pressionP(~,rt). On appellera~g(t,r~)le champ gravitationnel local.

On suppose qu’en plus de la pression et de la gravitation, il existe une autre force extérieure ~ ~ ~ de densité volumiquef V (~r,t) =ρ(t,~r)Γ(r~t,)caractérisée ici par le champ vectorielΓ(r~t,).

III.1Écrire l’équation locale traduisant la conservation de la masse.

III.2Écrire l’équation d’Euler traduisant localement le principe fondamental de la dynamique.

III.3Écrire l’équation locale reliantg~etρ.

III.4On suppose que le milieu est suffisamment dilué pour négliger la pression : P 0 =P(t,r~)≡0. On considère à un instantt 0 une région de masse volumique uniforme ~ ρ 0 et au repos :v~(,t~r 0 ) = 0; on noteg~ 0 (r~)le champ gravitationnel dans cette région, et on ~ supposeΓ(,tr~) =−~g 0 .

~ III.4.1Montrer queρ=ρ 0 et~v= 0est solution des équations précédentes pourt > t 0 (solution statique).

III.4.2; son état est alorsÀ un instant donné, cette région est soumise à une perturbation caractérisé par le champ de vitesse~v 1 =v~(,rt~), la masse volumiqueρ=ρ 0 +ρ 1 et le champ ~ g~=~g 0 +g~ 1 ; on suppose toujoursP= 0etΓ =−~g 0 . Exprimer les trois équations qui relient~v 1 , ρ 1 et~g 1 . Les linéariser par rapport à ces trois variables. En déduire l’équation satisfaite parρ 1 . Qu’en concluezvous sur l’évolution de la perturbation? Préciser le temps caractéristique d’évolution.

III.5La croissance d’une perturbation crée progressivement une surpressionP 1 .

III.5.1Écrire l’équation d’Euler en tenant compte de cette pression et la linéariser.

III.5.2La pression et la masse volumique du fluide sont liées par l’équation d’étatP(ρ). 2 ∂ ρ 1 2 est solution de l’équation :=on exprimeracen Montrer queρ 1 c S Δρ 1 + 4πGρ 0 ρ 1 où S 2 ∂t dP fonction de. dρ

III.5.3On cherche alors des solutions de l’équation précédente sous la forme ~ P 1 (,rt~) =Aexpi(k∙~r−ωt). Exprimer la relation de dispersionω(k)donnantωen fonction dek.

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III.5.4Montrer qu’il existe un nombre d’onde critiquek J tel que, pourk < k J , les per turbations sont exponentiellement amplifiées. Exprimer la longueur caractéristique associée λ J = 2π/k J en fonction deG, ρ 0 etc S . Comparer cette longueur aux rayonsR c etR S déterminés enI.4.2etI.4.3.

III.5.5On désigne parmasse de Jeanset on noteM J la masse de la boule de rayonλ J /2. En donner l’expression. Traduire la stabilité du fluide par une condition sur sa masse totaleM et surM J .

IV. Univers en expansion et stabilité

L’Univers est en expansion uniforme. Une origine étant choisie (arbitraire, l’espace étant homogène et isotrope) et un repèreRd’observation déterminé, soits~le vecteur position d’un point matériel de l’espace à l’instant de référencet R . À un instantt, ce point matériel se trouve en r~(t) =a(t)s~oùa(t)est un facteur d’échelle universel, aveca(t R ) = 1. Il est donc en mouvement d~ra˙ dansRavec la vitesse~v= =a˙s~=r~. dt a ~ ~ Dans cette partie, on supposeΓ(r~t,)≡0.

IV.1On considère deux points matérielsAetBrepérés respectivement parr~ A etr~ B . Expliciter leur vitesse relative~v A −~v B . En déduire que tout point, par exempleB, peut être choisi comme « centre » de l’expansion.

IV.2La matière constituant l’univers est, comme enIII.4, considérée comme un fluide non visqueux de masse volumique uniformeρ 0 (t), de pressionP 0 = 0mais animé dansRd’une ˙a vitesse locale~v 0 (r,t~) =r~. a

−3 IV.2.1L’équation obtenue enIII.1est satisfaite par la solutionρ 0 (t) =a(t)ρ˜ 0 où on a poséρ˜ 0 =ρ 0 (t R ). Montrer que l’intégrale deρ 0 (t)sur une boule de rayonr(t)est une constante au cours du temps. Quelle propriété physique ce résultat traduitil? 4πGρ 0 (t) IV.2.2Montrer que l’équation obtenue enIII.2est satisfaite par~g 0 (~r,t) =−~rà 3 2 condition que¨aasoit une constante que l’on précisera.

IV.2.3Une solutiona(t), correspondant à un modèle cosmologique particulier, est telle que a(t= 0) = 0. Déterminer cette solution en cherchant poura(t)une dépendance temporelle de la α formet.

IV.2.4ExprimerH(t)≡˙a/aen fonction det.

On poseH R =H(t R ). Exprimert R en fonction deH R .

Pourquoi appelletont R « âge de l’univers »? Calculer l’âge que donne ce modèle avec la −1−1 valeur deH R que permet d’obtenir l’expérience :H R = 71km∙s∙Mpc .Leparsec(symbole « pc ») est une unité de longueur couramment utilisée en astronomie et adaptée aux grandes échelles de distance : 1 pc= 3,262son multiple Mpc est le mégaparsec.annéelumière ;

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IV.3.On cherche à déterminer l’évolution temporelle d’une perturbation, l’état de base étant celui étudié en questionIV.2et caractérisé par{ρ 0 (t)v~, 0 (t,r~), g 0 (tr,~), P 0 = 0}. On pose : ρ=ρ 0 +ρ 1 (r~t,),~v=~v 0 +~v 1 (~tr,),~g=~g 0 +~g 1 (t,~r), P=P 0 = 0 et on ne retiendra dans les équations que les termes linéaires enρ 1 v~, 1 etg~ 1 . d ∂ ~ IV.3.1En utilisant l’opérateur de dérivation à l’ordre zéro :(= +~v 0 ∙ r), montrer que dt ∂t l’équation de conservation de la masse (cf.III.1) conduit à : dρ 1 a˙ + 3ρ 1 +ρ 0 div~v 1 = 0. dt a ρ 1 (~r,t)dδ ˙ ˙ On poseδ=etδ=. Montrer queδ+ div~v 1 = 0. ρ 0 (t)dt IV.3.2Montrer de même que l’équation d’Euler (cf.III.2) conduit à l’équation : dv~ 1 a˙ +v~ 1 =~g 1 . dt a IV.3.3Écrire l’expression reliantg~ 1 etρ 1 . Cette relation forme avec les deux équations obtenues aux questions précédentes un système fermé. En éliminantg~ 1 et~v 1 , montrer queδ satisfait l’équation différentielle : ˙a ¨ ˙ δ+ 2δ−4πGρ 0 δ= 0. a Indication. On utilisera le fait quer~évoluant proportionnellement àa(t), on a pour tout champ de vecteurV(r~,t) :   ~ d˙a dV ~ ~ divV=−divV+ div. dt adt IV.3.4En utilisant l’expression deρ 0 (t)et celle dea(t)obtenue enIV.2.3expliciter l’équa β tion différentielle deδ. L’équation admet des solutions de la formet; en donner la solution générale. Qu’en concluezvous sur l’évolution temporelle d’une perturbation? La comparer à celle ob tenue enIII.5.4.

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