ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2004 FILIÈREPC DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. Lévitation magnétique Le but de ce problème est d'interpréter certaines expériences de lévitation conduites récemment sur des substances dites diamagnétiques comme l'eau, le graphite, les matières plastiques. . . Ces expériences sont rendues possibles à température ordinaire grâce à l'obtention de champs magnétiques élevés, supérieurs en général à 10 T. Dans tout le problème, le référentiel du laboratoire, noté (R), est supposé galiléen, Oxyz en étant un repère orthonormé. C'est le référentiel unique d'étude des parties II, III et IV. Formulaire En coordonnées cylindriques (r, ?, z), les composantes d'un vecteur A sont notées (Ar, A?, Az). div A = 1 r ∂(rAr) ∂r + 1 r ∂A? ∂? + ∂Az ∂z Ä??rot A ä r = 1 r ∂Az ∂? ? ∂A? ∂z Ä??rot A ä ? = ∂Ar ∂z ? ∂Az ∂r Ä??rot A ä z = 1 r ∂(rA?) ∂r ? 1 r ∂Ar ∂? Identité vectorielle : a ? (b ? c) = (a · c)b? (a ·b)c On note A la norme de tout vecteur A 1

• axe oz


• e?et joule dans la spire


• trajectoire circulaire


• mouvement de l'électron


• corps diamagnétique


• équation de champ


• importance relative dans l'équation


• champ magnétique


• charge élémentaire

Sujets

• École polytechnique
• Équation d'Einstein
• Champ magnétique
• Charge élémentaire

Informations

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Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 2004

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures)

FILIÈRE PC

L’utilisation des calculatricesest autoriséepour cette épreuve.

  

Lévitation magnétique

Le but de ce problème est d’interpréter certaines expériences de lévitation conduites récemment sur des substances dites diamagnétiques comme l’eau, le graphite, les matières plastiques. . . Ces expériences sont rendues possibles à température ordinaire grâce à l’obtention de champs magnétiques élevés, supérieurs en général à10T.

Dans tout le problème, le référentiel du laboratoire, noté(R), est supposé galiléen,Oxyzen étant un repère orthonormé. C’est le référentiel unique d’étude des partiesII, III et IV. Formulaire  En coordonnées cylindriques(r, ϕ, z), les composantes d’un vecteurAsont notées (A r , A ϕ , A z ). 1∂(rA r ) 1∂A ϕ ∂A z  divA+= + r ∂rr ∂ϕ∂z Ä ä −→ 1∂A z ∂A ϕ  rotA=− r r ∂ϕ∂z Ä ä −→ ∂A r ∂A z  rotA=− ϕ ∂z ∂r Ä ä 1∂(r −→ A ϕ ) 1∂A r  rotA=− z r ∂rr ∂ϕ

  Identité vectorielle :a∧(b∧c) = (a∙c)b−(a∙b)c

 On noteAla norme de tout vecteurA

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Composition des accélérations   Rétant un référentiel en rotation par rapport au référentielRà la vitesse angulaireΩ constante autour d’un axe fixe passant par l’origine :      a (R) =a (R) + 2Ω∧v (R) + Ω∧(Ω∧r)  Forceexercée par un champ magnétique non uniformeB(x, y, z)sur un moment magné- tiqueµ:    ∂B ∂B ∂B F x =µ∙, F y =µ∙, F z =µ∙ ∂x ∂y ∂z Données numériques :

Constante d’Avogadro Champ de pesanteur Charge élémentaire Masse de l’électron Masse d’un nucléon Permittivité du vide Perméabilité du vide

:N A :g :e :m e :M N :ε 0 :µ 0

23−1 = 6,02×10mol −2 = 9,81m∙s −19 = 1,60×10C −30 = 0,91×10kg −27 = 1,66×10kg −12−1 = 8,85×10F∙m −7−1 = 4π×10H∙m

I. Champ magnétique et orbites électroniques

Un noyau fixe, de chargeZe, est placé enO. Un électron de charge−e, soumis à l’interaction électrostatique du noyau, décrit une trajectoire circulaire(C)de rayonr 0 .

1.a)Écrire l’équationE (R du mouvement de l’électron dans(R)et donner sa pulsationω 0 en fonction deZ, e, m e , etr 0 .

b)En assimilant la trajectoire(C)à une spire de courant, donner la relation entre le  moment cinétiqueLde l’électron par rapport àOet le moment magnétiqueµassocié à(C).

−10 c)Application numérique. Calculerω 0 etµpourr 0 = 1×10m etZ= 1.

 2.On applique à ce système un champ magnétiqueB, uniforme et constant.

a)Écrire dans(R)l’équation du mouvement de l’électron.

   b)On considère un référentiel(S), lié au repèreOx y z, en rotation par rapport à(R),  à la vitesse angulaireΩconstante. Écrire l’équationEdu mouvement de l’électron dans ce (S) référentiel.

  c)DéterminerΩ, en fonction dee, m e etB, pour queE (S) ne contienne plus de terme  linéaire enB. Calculer la valeur correspondante deΩpourB= 10T.

2

2 d)Expliciter les termes d’ordreBque contient alorsE. Évaluer numériquement leur (S) importance relative dans l’équation en utilisant les résultats numériques de1.c). Ils seront par la suite négligés. Montrer que dans ces conditions il y a identité formelle des équationsEet (S) E. (R)

 e)On considère le cas oùB=Be z est orthogonal à(C). En admettant que la trajectoire  (C)n’est pas modifiée par la présence du champ, déterminer la variationΔLdu moment ciné- tique par rapport àOet due à l’introduction du champ. Quelle est la variation associéeΔµdu moment magnétique? f )Calculer numériquementΔµ z /µ z pourB= 10T et les valeurs données en1.c). 3.L’établissement du champ magnétique, s’effectue en réalité sur une duréeτtrès longue devant la période du mouvement électronique. SoitB z (t)la valeur instantanée du champ, avec B z (0) = 0etB z (t) =Bpourt≥τ. On le suppose orthogonal à(C)à tout instant.  a)Donner l’expression du flux deBà travers un cercle de rayonret d’axeOz, puis celle de la f.é.m induite le long de la circonférence de ce cercle. En déduire la composante orthoradiale E ϕ du champ électrique induit. e 2 b)Écrire l’équation d’évolution temporelle deL z . En déduire queL z −r Best une 2 constante du mouvement. c)Montrer que la variationΔL z que l’on peut en déduire est compatible avec celle obtenue en2.e)si l’on admet que la trajectoire n’est pas modifiée.

4.Un corps solide ou liquide contientNatomes identiques par unité de volume; le noyau de chaque atome contientZprotons etA−Zneutrons.

a)On suppose que les différentes orbites électroniques de l’atome ont des orientations telles que le moment magnétique électronique total est nul en l’absence de champ magnétique. En supposant valable pour l’ensemble du cortège électronique l’équivalence de l’application du  champ magnétique et de la rotation à la vitesse angulaireΩdéterminée en2.c), montrer que  l’atome acquiert sous l’effet d’un champBun moment magnétique donné par : Ä ä 2 2 2 Ze x+y at  µ=−B 4m e Ä ä 2 2 oùx+ydésigne une moyenne sur les différentes orbites électroniques repérées par rapport au centre de l’atome.

b)µ R désignant la perméabilité relative d’un matériau, on poseµ R += 1χ,χétant appelé la susceptibilité magnétique. Dans le cas où|χ| 1,justifier que l’on puisse adopter Ä ä    la relation approchéeMχ B/µ 0 oùBest le champ magnétique externe appliqué etMle vecteur aimantation du corps.

c)Application numérique. En supposant cette hypothèse vérifiée, calculerχpour un corps 3−3 2 2 −20 2 de masse volumiqueρ= 1×10kg∙avecm ,Z/A= 1/2etx+y= 1×10m .

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II. Lévitation dans un champ magnétique à symétrie de révolution

 1.Un champ magnétique statiqueB(r)possède la symétrie de révolution autour de l’axeOz dans une région où le vecteur densité de courant est nul. On cherche à préciser analytiquement ce champ au voisinage de cet axe de symétrie, en utilisant un système de coordonnées cylindriques (r, ϕ, z).

 a)Écrire les équations satisfaites parBau voisinage de l’axeOz.

 b)Compte tenu des propriétés de symétrie du champB, quelles en sont les composantes non nulles et de quels paramètres dépendent-elles? c)SoitMun point de l’axeOzde cotez M etP(r, ϕ, z M +ζ)un point situé au voisinage immédiat deM. Vérifier que le développement en série de Taylor limité au deuxième ordre  (inclus) enretζdu champ magnétiqueB(P): 2 2 r2ζ−r B r (P) =−a 1 −a 2 rζ B z (P) =a 0 +a 1 ζ+a 2 , 2 2 satisfait aux équations du champ. ∂B  , Bet d)Exprimer les coefficientsa 0 , a 1 eta 2 en fonction deB M =B(M) M =  ∂z M z 2 ∂ B  B=  . M 2 z ∂z M 2 e)Montrer que l’expression deB(P), en se limitant au deuxième ordre (inclus) enretζ, a pour expression 2 2 2222 B(P) =B+ 2B B ζ+ (B+B B)ζ+ (B−2B B)r /4 M M M M M MM M M

2.L’axeOzest vertical. On place au pointPun corps homogène, de volumeV, de masse volumiqueρet de susceptibilité magnétiqueχ. Il est soumis au champ magnétique précédent et au champ de pesanteur.

a)Montrer que si|χ| 1, la force qu’exerce le champ magnétique sur le corps « dérive » d’une énergie potentielleU mag donnée par : 1 2 U mag =−V χB(P) 2µ 0  le volume du corps étant considéré comme assez petit pour prendre la valeur deBau pointP comme sa valeur moyenne sur le corps.

b)SoitU tot ; en donner l’expression à l’ordre 2 inclusl’énergie potentielle totale du corps enζetr.

c)On souhaite queMsoit un point d’équilibre. Déduire deU tot l’équation implicite qui permet de déterminerz M .

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  ilité de cet équilibre en fonction deB d)Écrire les conditions de stab M , B, B M etχ. M

e)Dans le cas d’un corps paramagnétique(χ=χ p >0), montrer que l’équilibre est toujours instable.

f )Dans le cas d’un corps diamagnétique(χ=χ d <0), préciser les conditions de stabilité. Donner les expressions donnant les pulsationsω ζ etω r des petits mouvements autour de la   position eB ,tBetg. d’équilibrez M en fonction d M B M e M

III. Lévitation diamagnétique au voisinage d’une spire

 1.Le champ magnétiqueBest créé par une spire circulaire d’axe verticalOz,Oétant le centre de la spire, de rayona. Elle est parcourue par un courant constant d’intensitéI.

a)Calculer le champ magnétique en tout pointMde l’axeOz.

  t deB essions deB M , B M e b)Déterminer les expr M en fonction deB 0 =B z (O), zeta.

c)Montrer que la lévitation stable d’un corps diamagnétique(χ=χ d <0)de petite taille n’est possible que siz M se situe dans un intervalle de cotes[z min , z max ]que l’on déterminera en fonction dea.

d)Montrer quez M =a/2est une position d’équilibre stable possible. Quelle est la valeur  deB?en ce point M

3−3 2.Application numérique. Le corps a pour masse volumiqueρ= 10kg.m etpour sus- −6−2 ceptibilité magnétiqueχ d =−8,8×10. Le rayon de la spire vauta= 1×10le fil de lam ; −3−8 spire un diamètredde1×10m et une résistivité de10 Ω∙m.

a)Calculer la valeur du champ magnétiqueB 0 au centre de la spire et l’intensitéIdu courant nécessaire pour avoir un équilibre enz M =a/2.

b)Calculer alors la puissance dissipée par effet Joule dans la spire. Commenter le résultat.

IV. Lévitation d’une sphère supraconductrice

Certains matériaux, refroidis à une température inférieure à une certaine température cri- tique, deviennent supraconducteurs. En présence d’un champ magnétique, une caractéristique de cet état est l’expulsion totale du champ du sein de la matière, des courants surfaciques in- duits créant à l’intérieur du corps un champ magnétique exactement opposé au champ externe appliqué.

1)Soit une sphère supraconductrice, de centreOet de rayonR, plongée dans un champ  externe constant et uniforme à l’échelle de la sphèreB=Be z .

a)En utilisant les propriétés de symétrie de la situation, montrer qu’un potentiel vecteur

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pour le champ créé par les courants surfaciques est, en coordonnées cylindriques, de la forme  A=A ϕ e ϕ .

 b)Quel est le champB int ?créé à l’intérieur de la sphère par les courants surfaciques Calculer son flux à travers un cercle d’axeOz, de rayonret intérieur à la sphère. En déduire int l’expression deA ϕ =Aà l’intérieur de la sphère. ϕ

c)Le potentiel vecteur d’un dipôle magnétiqueµ=µe z placé enOest donné en un point −→ µ 0 µ∧OQ  QparA(Q) =A ϕ e ϕ =. ExpliciterA ϕ . 3 4π|OQ|

 d)Montrer que, en prenant pour le champB ext créé par les courants surfaciques à l’ex- térieur de la sphère un potentiel vecteur de cette forme, la condition de continuité du potentiel avec l’intérieur peut être satisfaite à la surface de la sphère si le moment magnétiqueµa pour 3  valeurµ=−V B, oùVest le volume de la sphère. 2µ 0

 e)En déduire que dans un champ magnétiqueBnon uniforme, une sphère supracon- ductrice, de suffisamment petites dimensions, est soumise à une force dérivant d’une énergie potentielle que l’on explicitera.

3−3 2.Une petite sphère supraconductrice, de masse volumiqueρ s = 2,5×10est placéekg.m , sur l’axe vertical d’une spire circulaire identique à celle étudiée enIII.1.

a)En transposant les résultats deIII.2, quel est le champ magnétiqueB(0)au centre de la spire nécessaire pour que la sphère soit en lévitation à la cotez M =a/2?

b)Quelle est alors l’intensitéI?dans la spire et la puissance dissipée par effet Joule

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