Electronique Signaux et Systèmes Travaux dirigés Feuille n°2

Hadrien

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Electronique, Signaux et Systèmes Travaux dirigés : Feuille n°2 Quantification et échantillonnage Corrections: 1. Bruit de quantification. La quantification uniforme sur N bits d'un signal consiste à diviser l'intervalle [ ]AA,? en N2 intervalles de même longueur NAq 2/2= et à associer à l'échantillon la valeur k codée sur N bits telle que 2/2/ qkpXqkq +<≤? . Il y a donc entre kq , la valeur reconstruite et la valeur vraie une erreur ? qui constitue un bruit aléatoire dit bruit de quantification. Cette erreur prend des valeurs équiprobables sur l'intervalle [ ]2,2 qq? . a) Montrer que si X est une variable aléatoire uniforme sur l'intervalle [ ]2,2 qq? et que X(t) est un signal correspondant, la valeur quadratique moyenne de ce signal est donné par : 12 2 2 q =? On utilisera l'équivalence entre la formulation statistique et la formulation temporelle : ( ) ( ) ( ) éprobabilit de densité laest ou 1lim 2 2/ 2/ 22 ?pdpdtt T T T T ∫∫ ∞ ∞?? ∞? ?= ????? ( ) ( ) 12 1 3 111lim 22/ 2/ 3 2/ 2/ 22 2/ 2/ 22 q q d q dpdtt T q q q q T T T =?? ? ?? ? ==?= ?

• travers du filtre idéal


• pi ?


• ee nffyfnfffyffy


• fréquence des signaux


• ffff ee


• peigne fréquentiel de période ee


• demi-fréquence d'échantillonnage

Informations

• Publié par: larec
• Nombre de lectures: 33
• Langue: Français

Extrait

Electronique, Signaux et Systèmes Travaux dirigés : Feuille n°2   Quantification et échantillonnage Corrections:    1. Bruit de quantification. La quantification uniforme sur N bits d’un signal consiste à diviser l’intervalle%A,A ] en 2 N   intervalles de même longueurq12A/ 2 N à associer à l’échantillon la valeuret kcodée surN  bits telle quekq q/ 2X kp q Il y a donc entre/ 2 .kq, la valeur reconstruite et la valeur vraie une erreur Α qui constitue un bruit aléatoire dit bruit de quantification. Cette erreur prend des valeurs équiprobables sur l’intervalle%q2,q2 ] .     Α      X Y       a) Montrer que si X est une variable aléatoire uniforme sur l’intervalle%q2,q2 ] et que X(t) est un signal correspondant, la valeur quadratique moyenne de ce signal est donné par : 2       Α 2 1 q   12   On utilisera l’équivalence entre la formulation statistique et la formulation temporelle : T/ 2υ Α 1 Α  º ( ! Α ( Α ! Α  ou ( ! est la densité de probabilité 2 T li | m υ T 1 ∫  2 / 2 t dt ∫ 2 p d pε %T%υ

lim        Α 2 1 T|υ T 1 T T ∫ /2 /2 Α 2 (t!dtº ∫ υ Α 2 p( Α !d Α 1 q q ∫ 2 /2 / Α 2 1 d q Α 1    1 Α 3 1 q    q/ q 2 1 1 q 2 2 % %υ % 3 %/ 2

  b) Pour éviter les problèmes d’écrêtage, on choisit la gamme dynamique de quantification (l’intervalle de valeur de –AàA) de façon à ce que le signal aléatoireXait une probabilité négligeable d’excéder ces valeurs. Si Μ  est la l’écart type deX, on prend par exemple A = F Μ .    Montrer que le rapport signal sur bruit défini par : 2    B S    dB 110 log 10     X Α 2     vaut    S B    dB 16N#10 log 10 3/F 2  

X 2

Α 2

2 1 Μ

1 1 q 2 2 1 1 1 2    2 2 N A   

2 1 1    2F Μ   2   12 2 N 

 

log    10 10 

 

2 X Α 2     110 log 10    1 4F 2 2    #20 log 10 2 N 110 log 10    F 3 2    #N20 log 10 (2! »

  10 log 10    F 3 2    #6N

  2. Théorème de l’échantillonnage.     a.   x[k 1 ] f e  / )( ) exp(2d f e e 2 υ X(f nf)df 1 f e 0 ∫ Μ f ϑ  fj k f e f1 0 ∫ ϑ  f Tj k    n1 ∑ %υ % e    1 exp(2 fj k T)X(f nf e )df1  exp(2j k u T)X(u)du 1 υ 1 ∑ %υ     f ∫ e ϑ %     1 ∑ %υ υ   %n % f ∫ e # e f e ϑ      n 0 n  n f  ∫ υ def. 1exp(2 ϑ j k u T)X(u)du1x(kT) %υ υ υ ou Μ (f)1f e ∑ X(f%nf e )1 ∑ x(kT) exp(%2 ϑ  T fj k) n1%υk1%υ   υ b.  y(t)1 ∑ x(nT)h(t%nT ) , convolution. Dans le domaine fréquentiel et en utilisant n1%υ l’expression précédente, on a : υ x kT f T j k  H f υ nf e     Y(f)1H(f) k1 ∑ %υ ( ) exp (% 2 ϑ ! 1 T ( ) n1 ∑ %υ X(f%)   c. Par conséquent, sif e 22Bles contributionsX(f%nf e ) ne se recouvrent pas. D’autre part, il suffit de prendreH(f)1rect 2B (f de reconstruction idéal),) (filtre pour queY(f)X(f) . Autrement dit, la fonctiony(t à partir des échantillons) reconstruitex(kT) au travers du filtre idéal :    h(t)T sin(2B t) 12B Tsinc(2B t) 1 ϑ t reproduit éxactement la fonctionx(t) de départ. Le filtre de reconstruction idéalh(t) 2BTsinc(2Bt)n’est malhereusement pas réalisable car il nécessite la connaissance de tous les échantillons futurs (par rapport à t),h(t) n’est pas causal. Il peut-être néanmoins approché, par exemple en impliquant un retard et en sommant sur L échantillons avec L suffisamment grand : m#L     x(t)» ∑ x(kT)h(t%kT) k1m%L     2. Application du théorème de l’échantillonnage :

   

         

a. Commef e 1500Hzest supérieure à deux fois la fréquence du signal (soit 2 200Hz), l’échantillonnage permet une reconstruction parfaite du signal et on retrouve la sinusoïde à la fréquence de 200Hz.   b. Commef e 1250Hzest inférieure à deux fois la fréquence du signal, l’échantillonnage introduit un repliement. La partie du spectre qui se trouve au - delà de la demi-fréquence d’échantillonnage est repliée dans la bande 0, 0.5f é ]  200. Par conséquent, la fréquenceHzse retrouve par symétrie par rapport àf e 21125Hz. On doit observer après reconstruction, une sinusoïde à la fréquence 50Hz.

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1  

-1.5  0

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 

0.035 

Cas ouf e 1250Hzest inférieure à deux fois la fréquence du signal (soit 2 200Hz). La fréquence du signal reconstruit (obtenu ici à partir d’une interpolation des échantillons) est de fréquence 250 200 50Hz 

3 : Echantilloneur-bloqueur.   3.1   #υ Y ˆ (f)1TF [ y ˆ( t) ] 1TF    y(t). ∑ ≅ (t%nT e n1%υ

0.04 

 

 

!    1TF [ y(t) ] *TF    n1 # ∑ υ υ % ≅ (t%nT e !    1Y(f) *f e n # 1 ∑ υ υ% ≅ (f%nf e !

(laTF d’un peigne temporel de périodeT e  est un peigne fréquentiel de période f e 11/T e : non trivial à montrer) #υ #υ On a donc : Y ˆ (f)1f e ∑ Y(f) * ≅ (f%nf e ! 1f e ∑ Y(f%nf e ! (convolution par≅! 

n1%υn1%υ 3.2 . Avec y(t) cos(2f 0 t)  on a un spectreY(f) /f e  de deux pics formé≅  de repoduire ce spectre autour des fréquencesnf e  

L’échantillonage a pour effet          %f e %f 0 ! %f e #f 0 !   

%f! #f 0 ! 0  

f e %f 0 !

f e #f 0 ! 2f e %f 0 !

en

±f 0 .

2f e #f 0 ! 

3.3  Y  B (f)1Y  (f).TF    rect    T t e % 1 2       1Y  (f.) (nis ϑ f ϑ T f e T ep(ex ) %j ϑ fT e )            %f e %f 0 ! %f e #f 0 ! %f 0 ! #f 0 ! f e %f 0 !f e #f 0 ! 2f e %f 0 !2f e #f 0 !    Le blocage a pour effet d’atténuer les « répliques » du spectre générées par l’échantillonnage.