Examen M2 Proba et Appl Modélisation stochastique de populations structurées

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5

• cours - matière potentielle : manuscrites

Examen M2 Proba et Appl. 2011 Modélisation stochastique de populations structurées S. Méléard, V.C. Tran, V. Bansaye Durée 3 heures. Notes de cours manuscrites et poly autorisés. Le but de ce problème est d'étudier des phénomènes de séparation d'échelles de temps pour des populations structurées par âge. On considère une population où les individus sont caractérisés par leur âge dans R+. La population est représentée par la mesure : XKt (da) = 1 K NKt∑ i=1 ?Ai(t)(da) où NKt = K?X K t , 1? est la taille de la population au temps t et Ai(t) est l'âge du i ème individu le plus âgé au temps t. • Les individus vieillissent à la vitesse K : l'âge au temps t d'un individu né au temps t0 est donc a = K ? (t? t0). • Un individu d'âge a donne naissance à un individu d'âge 0 au taux K r(a)+ b(a) où b(.) est une fonction continue bornée par b¯. La fonction r(a) est continue avec r ≤ r(a) ≤ r¯, et r, r¯ > 0. • Le taux de mort d'un individu d'âge a au temps t est K r(a) + ??XKt , 1? avec ? ≥ 0.

• modélisation stochastique de populations structurées


• variable aléatoire


• phénomènes de séparation d'échelles de temps


• solution de ∂v ∂t


• indépendantes de loi exponentielle de pa

Sujets

• Foerster
• Variable aléatoire

Informations

• Publié par: rasum
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• Langue: Français

Extrait

Examen M2 Proba ModÉlisation stochastique de

et Appl. 2011 populations structurÉes

S. MÉlÉard, V.C. Tran, V. Bansaye DurÉe 3 heures. Notes de cours manuscrites et poly autorisÉs. Le but de ce problÈme est d’Étudier des phÉnomÈnes de sÉparation d’Échelles de temps pour des populations structurÉes par Age. On considÈre une population oÙ les individus sont caractÉrisÉs par leur Age dansR + . La population est reprÉsentÉe par la mesure : K N t X 1 K X(da) =δ A i (t) (da) t K i=1 Ème K K oÙN=KhX ,1iest la taille de la population au tempstetA i (t)est l’Age dui t t individu le plus AgÉ au tempst. •Les individus vieillissent À la vitesseK: l’Age au tempstd’un individu nÉ au tempst 0 est donca=K×(t−t 0 ). •Un individu d’Ageadonne naissance À un individu d’Age 0 au tauxK r(a) +b(a)oÙb(.) ¯ est une fonction continue bornÉe parb. La fonctionr(a)est continue avecr≤r(a)≤r¯, etr,r¯>0. K •Le taux de mort d’un individu d’Ageaau tempstestK r(a) +ηhX ,1iavecη≥0. t On suppose que : K limX(da) =m 0 (a)da(1) 0 K→+∞ en probabilitÉ, dansM F (R + )muni de la topologie de la convergence Étroite,   K3 avecsupEhX ,1i<+∞.(2) 0 ∗ K∈N Dans tout le problÈme, on s’intÉresse À un intervalle de temps fini[0, T]avecT >0. K Partie I : Étude deXpourKfixÉ Soit(Ω,A,P)un espace de probabilitÉ et une mesure alÉatoire ponctuelle de Poisson Q(ds, di, dθ)sur cet espace, de mesure intensitÉq(ds, di, dθ) =ds n(di)dθ, oÙdsetdθ sont des mesures de Lebesgue surR + et oÙn(di)est la mesure de comptage surN. Pour 1K , f(a)∈ C(R + ,R), on se donne la reprÉsentation suivante dehX t fi: b Z Z t  1 K KK0 hfX ,i, fids+1 1 t =hX 0 , fi+KhX s i≤N s θ≤Kr(A i (s − ))+b(A i (s − )) f(0) K K − 0 [0,t]×N×R +  −1 hX ,1i f(A(s))Q(ds, di, dθ)(3) K Kr(A i (s − ))+b(A i (s − ))<θ≤2Kr(A i (s − ))+b(A i (s − ))+η s i− −

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1 1.Justifier que pour une fonctionf(a)∈ C)bornÉe et À dÉrivÉ b (R + ,Re bornÉe, le processus : Z t f,K K K K0 M=hfX ,i − hfX ,i −KhfX ,ids t t 0s 0 Z Z t      K K −Kr(a) +b(a)f(0)−Kr(a) +ηhX ,1if(a)X(da)ds(4) s s 0R + est une martingale locale.   K3 2.Montrer que sous (2),sup ∗ E+sup (1hX ,1i)<+∞pour toutt >0. K∈Ns≤t s 3 32 2 Indication : on pourra utiliser quex−y= (x−y)(x+xy+y). f,K 3.En dÉduire queMest une martingale de carrÉ intÉgrable et donner sa variation quadratique prÉvisible. K Partie II : tension uniforme des processusX

K cessus(h1i) 1.Montrer que les proX . , K∈N sont uniformÉment tendus dansD([0, T],R). ∗

K 2.Pourε >0, montrer qu’il existen >0tel quesup ∗ P(suphX ,1i> n)< ε. K∈Nt∈[0,T] t ∗ 3.On considÈreK∈N, fixÉ. SoitD i (t)l’Age de mort de l’individuivivant au tempst. On a bien sÛrA i (t)≤D i (t). Expliquer comment on peut construire, sur(Ω,A,P)et avec K la mme mesureQqu’en (3), un processusYpour lesquel le taux de mort individuel est 0 Kr(le taux de naissance restant inchangÉ), et tel que presque sÛrement,D i (t)≤D(t), i 0K oÙD(t)est l’Age À la mort de l’individuivivant au tempstdansY. i ∗ 4.En dÉduire que pour toutn∈Net pour tous>λ, α0, K N    t nK X X K P1 A i (t)≥α > λ,N≤nK≤P1 E i ≥α ,> λ t i=1i=1 oÙ les(E i ) 1≤i≤nK sont des variables alÉatoires indÉpendantes de loi exponentielle de pa- ramÈtrer. 5.On rappelle que pourmvariables alÉatoires indÉpendantesZ i centrÉes et telles que |Z i | ≤M, l’inÉgalitÉ de Bernstein donne que pour toutλ >0: m   2  X λ PZ i ≥λ≤exp−. 2 2(mM+λM/3) i=1 Soitε >0. En utilisant les questionsII-2)etII-4), montrer qu’il existeαetK 0 tels que pour toutt∈[0, T], K c supP(X([0, α] )> ε)≤ε. t K≥K 0 6.Pourε >0, en dÉduire que l’on peut choisirαassez grand tel que : Z  T  √ K c supEX([0, α] )dt≤Cteε t ∗ K∈N 0 2

K K 7.Qu’est-ce que cela(da)d signifie pour la famille de mesures(Γ (da, dt) =X t t) K∈N ∗ dansM F ([0, T]×R + )? K K 8.En dÉduire que la suite(Γ,hX ,1i)est t]×R)×D([0, T],R). . K∈N endue dansM F ([0, T + + ∗ Partie III : identification des valeurs d’adhÉrence ¯ Dans la suite, on considÈre(Γ, X)∈ M F ([0, T]×R + )×D([0, T],R + )une valeur d’adhÉ- K K rence de la suite(Γ,hX ,1 . i) K∈N . ∗ ¯ 1.Justifier pourquoi on peut Écrire queΓ(da, ds) =γ s (da)X s ds. f,K 2.Montrer que pourt∈[0, T]fixÉ, la famille(M t /K) K∈N est uniformÉment intÉgrable. ∗ f,K 3.En utilisant (4), montrer que(M t /K) K∈N converge pour toutt∈[0, T]vers ∗ Z Z t     f 0 ¯ ¯ M t =f(a) +r(a)f(0)−f(a)X s γ s (da)ds. 0R + ¯ f f,K 4.En utilisantIII-2), montrer par ailleurs que la limiteMde(M /K) K∈N est une ∗ f ¯ martingale. En dÉduire que pour toutt∈[0, T],M t = 0. R a 5.En choisissant une fonction test de la formef(a) =ϕ(0) +ϕ(α)dαavecϕ∈ 0 C(R + ,R), montrer queγ t (da)est absolument continue par rapport À la mesure de Lebesgue surR + presque partout ent∈[0, T]et que sa densitÉmb t (a)rÉsout : ∂ a mb t (a) =−r(a)bm t (a) 6.RÉsoudre l’Équation prÉcÉdente pour obtenir la densitÉ de probabilitÉbm t (a). On jus- tifiera en particulier quebm t (a)ne dÉpend pas det. On le notera par la suitemb(a). 7.Montrer que sur un espace de probabilitÉ Éventuellement Élargi, il existe un mouvement ¯ BrownienBtel queXest solution de l’Équation diffÉrentielle stochastique : Z ZZ p t t   ¯ b ¯¯ ¯ 2 X=m(a)da+bX−ηX ds t0s s + 2rbX s dB s (5) R + 0 0 R R b oÙb=b(a)mb(a)daetrb=r(a)mb(a)da. R + R + K 8.Que peut-on en dÉduire par rapport À une Éventuelle convergence de(hX ,1i)? .

Remarque : (5) peut s’interprÉter comme une sÉparation d’Échelles de temps. L’effectif de la population Évolue comme une diffusion de Feller, alors que la distribution d’Age se stabilise dans l’Équilibre prÉvu par l’EDP de McKendrick-Von Foerster : Z ∂ t m+∂ a m(a, t) =−r(a)m(a, t), m(0, t) =r(a)m(a, t)da. R +

Partie IV : probabilitÉ d’extinction et de survie

Dans un premier temps, on considÈre queη= 0.

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¯ 1.Calculer la transformÉe de Laplace deX t pourt∈[0, T]. On pourra utiliser que b  bt  λe x v(t, x) = exp− 2rbλ b bt (e−1) + 1 b b est solution de 2 ∂v ∂v ∂v b = 2rbx(t, x) +bx(t, x). 2 ∂t ∂x∂x ¯ 2.En dÉduireP(X t = 0). Maintenant, on suppose queη >0. 2 b 3.Montrer que pour toutζ >0, il existex 0 suffisamment grand de sorte quebx−ηx≤ b −ζx+ (b+ζ)1 x≤x 0 . ¯ ¯ 4.On introduitτ= inf{t≥0, X t ≤x 0 }etρ M = inf{t≥0, X t ≥M}avecxM > 0 . En utilisant (5), montrer que R Z  τ∧ρ M  m 0 (a)da R + ¯ x 0 E(τ∧ρ M )≤EX s ds≤. 0 ζ R 5.On suppose pour simplifier quem 0 (a)da=x 0 . DÉduire des questions prÉcÉdentes R +   ¯ queP x 0 ∃t≥0, X t = 0= 1. 6.Comparer les casη= 0etη >0.

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