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Exercices sur les séries numériques et entières

4 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Exercices sur les séries (numériques et entières) Exercice 1 Déterminer en fonction du paramètre ? ? R si la série donnée est absolument convergente, semi-convergente ou divergente : a) ∑ n≥1 (?1)n ln ( 1 + 1n? ) , b) ∑ n≥1 exp (arctann?), c) ∑ n≥1 arctan exp(n?), d) ∑ n≥1 (?1)n(n!)?. Exercice 2 Déterminer si la série de terme général an = 1n2+n converge et le cas échéant, calculer sa somme (pour n ≥ 1). Exercice 3 Déterminer la nature de la série de terme général an dans les cas suivants : a) an = 1n lnn , b) an = 1 n2?3n+2 , c) an = 1 n(n?2) , d) an = n! nn , e) an = 3n n! , f) an = 3n+4n 5n , g) an = (?1)n√ n , h) an = (?1) n n n+1 , i) an = 2n+1 n3?4 , j) an = (?1) n 2nn2 n! , k) an = (?1) n 22n (2n)! .

  • nature de la série

  • série entière

  • xk ?

  • développement en série entière de arcsinx

  • n≥1

  • pi n3

  • série de données

  • solution formelle

  • rayon de convergence


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Exercices sur les sÉries (numÉriques et entiÈres)
Exercice 1 DÉterminer en fonction du paramÈtreαRsi la sÉrie donnÉe est absolument convergente, semi-convergente ou divergente : P  PP P n1α αn α a)(+1) ln 1α, b)exp (arctann), c)arctan exp(n), d)(1) (n!). n n1n1n1n1
Exercice 2 1 DÉterminer si la sÉrie de terme gÉnÉralan=2converge et le cas ÉchÉant, calculer sa somme n+n (pourn1).
Exercice 3 DÉterminer la nature de la sÉrie de terme gÉnÉralandans les cas suivants : n nn 1 11n! 33 +4 a)an=, b)an=2, c)an=, d)an=n, e)an=, f)an=n, nlnn n3n+2n(n2)n n! 5 n n2 2n 1) (n n2n+1n2n n2 g)an=, h)an= (1), i)an=3, j)an= (1), k)an= (1). n n+1n4n! (2n)! Exercice 4 1 1) Montrer que la sÉrie de terme gÉnÉralun=,nNconverge. n 2 1 2) Montrer que la sÉrie de terme gÉnÉralvn=,nNconverge. n! n 3) Soita >0quelle condition sur. Aa, la sÉrie de terme gÉnÉralun=a, converge-t-elle ? Exercice 5 n X n 1) Montrer que la suite(un)dÉfinie pour toutnNparun:=converge et 2 n+k k=1 dÉterminer sa limite. n X 1 2) Mme question pourvn:=,nN. 2 n+k+ 1 k=0 Exercice 6 P DÉterminer la nature de la sÉrie(un)dans les cas suivants:   n 1 i)un:=e1 +,nN. n n n ii)un:=,nN. n+ 1    1 1 iii)un:= ln√ −lnsin,nN. n n
Exercice 7 n X 1 1) Montrer quelnn. n+k k=1 n X 1 2) Montrer qu’il existe une constante (constante d’Euler), notÉeγ, telle quelnnγ. k k=1
1
  1 11 3) On posexn:=lnn+ ln (n1)pour toutn2que. Montrerxn=+o. 2 2 n2n n ∞ ∞ X X 1 1 En dÉduire quexk∼ −. n+2 2n k=n+1k=n+1 1 11 4) Pour toutn2, on poseyn:=que. Montreryn∼ −. n+2 n n1n ∞ ∞ X X 1 11 En dÉduire quepuis quexk∼ −. 2n+n+k n2n k=n+1k=n+1 n  X 1 11 5) Montrer que= lnn+γ+ +o. k2n n k=1
Exercice 8 k k1 1 1) On posexk:=pour toutn3que. Montrerxk. n+lnkln (k1) lnk n X 1n En dÉduire que. n+lnklnn k=2 1 1 2) Pourn3, on poseyn:=xkque. Montreryk. 2 n+lnklnk n n X X 1n1 En dÉduire que− ∼. 2 n+lnklnnlnk k=2k=2 n X 1n n Montrer que− ∼. 2 n+lnklnnlnn k=2
Exercice 9 Soit(un)une suite rÉelle positive.   P PPun 2 rouver la nature des sÉries( ),et 1) Onsuppose que(un)converge. Tun 1 +un   Pun . 1 +nun    P PunPun 2) Onsuppose que(un)la nature des sÉriesdiverge. Trouver, 1 +un1 +nun   Pun et . 2 1 +n un
Exercice 10 P DÉterminer la nature des sÉries(un)dans les cas suivants:   1 n i)un:= (1)nsin ,nN. n   3 n+ 1 ii)un:=sinπ,nN. 2 n+ 1
Exercice 11 SoitnNnote. Ond(n)le nombre de diviseurs den. Montrerque pour toutk2,  !2 ∞ ∞ X X d(n) 1 =. k k n n n=1n=1 Exercice 12 P n DÉterminer le rayon de convergence de la sÉrie entiÈreanzdans les cas suivants: lnnlnncos(n) lnn an n i)an= lnn, ii)an=, iii)an=, iv)an=, v)an=poura >0, n n n2 (lnn)n! 1 (n+ )n! n(2n)! (1)n vi)an=n, vii)an=, viii)an=p. 2n n!(n1)! 2 (2n)! Exercice 13 DÉterminer le rayon de convergence et calculer les sommes suivantes: ++++X XX X n4n1 3n nxx x (1)n i)n x., iii), iv), ii) n(n+ 1)(n+ 2)4n1 (3n)! n=1n=1n=1n=0 Exercice 14 DÉterminer le dÉveloppement en sÉrie entiÈre dearcsinxetarctanxpourx]1,1[. Exercice 15 Chercher sous forme de sÉries entiÈres les solutions des Équations diffÉrentielles suivantes et indiquer leur rayon de convergence: 0 i)y=xy, 00 0 ii)xy+ (1x)y+ 3y= 0.
Exercice 16 Pn n1x Soit la sÉrie entiÈre(1). DÉterminerson rayon de convergence, puis son intervalle n n1 de convergence.Lorsque cette sÉrie converge, que vaut-elle (en fonction dex) ?
Exercice 17 P2n+1 n x Soit la sÉrie entiÈre(1). DÉterminerson rayon de convergence, puis son intervalle 2n+1 n0 de convergence.Lorsque cette sÉrie converge, que vaut-elle (en fonction dex) ?En dÉduire la P n1 valeur de(1). 2n+1 n0
Exercice 18 P2n n x Soit la sÉrie entiÈre(1)son rayon de convergence, puis son intervalle de. DÉterminer n! n0 convergence. Lorsquecette sÉrie converge, que vaut-elle (en fonction dex) ?
Exercice 19 P n DÉterminer le rayon de convergence, puis l’intervalle de convergence de la sÉrie entiÈreanx n1 avec :
n n nn n1 1 a)an=n, b)an=, c)an= 3, d)an= 2+ 3, e)an=n n, f)an=n n, n+5! 3n3 +5 2n 1 1n1n2 g)an=n!, h)an=n, i)an=, j)an= (1), k)an= (1). n n!n! (2n)! Exercice 20 DÉterminer le rayon de convergence, puis l’intervalle de convergence de chacune des sÉries entiÈres suivantes : P PnPnP2n+1P2n (x+3) (x5) 1n nn xn x a)2n(x2), b)(1), c)n n, d)(1), e)(1). n3n3 +4(2n+1)! (2n)! n1n1n1n0n0
Exercice 21 ConsidÉrons la sÉrie de fonctions +X nx (1)(n+ 3)e n=0 de la variablexR. a) Prouver que (1) est divergente quel que soitx0. b) Prouver que (1) est absolument convergente quel que soitx <0. c) Dans ce dernier cas, Établir la formule +x X 32e nx = (n+ 3)e . x2 (1e) n=0
Exercice 22 Le but est ici de dÉterminer la solution du problÈme aux valeurs initiales (pourxR) 02 (2)y(x) =x+y(x), y(0) = 1 par la mÉthode des sÉries entiÈres.Soit X n (3)y(x) =anx . n0 a) Prouver que (3) est solution formelle de (2) si et seulement si 1an a0=a1= 1, a2=a3=, an+1=, 2n+ 1 la derniÈre relation ayant lieu quelque soitnN,n3. b) En utilisant le rÉsultat prÉcÉdent, dÉterminer explicitement tous les cœfficientsan, puis le rayon et l’intervalle de convergence de la sÉrie entiÈre (3) ainsi obtenue et enfin la solution dÉsirÉe.