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FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2008-2009 2ème session 3ème semestre Licence Economie 2ème année Matière : Statistiques et probabilités Durée : 2H Les calculatrices programmables ou graphiques sont autorisées. Questions de cours (15 min, 3 points) Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes. 1) Dénir la loi du couple .X; Y / ? 2) Rappeler la dénition du coecient de corrélation linéaire. Que mesure-t-il ? 3) Comment dénit-on l'indépendance de X et Y ? Quelle est son interprétation ? 4) Quel est le rapport entre l'indépendance et la corrélation ? Exercice I (25 min, 4 points) Pour K 2 R, on considère la fonction f WR ! R dénie par f .x/ D Kx3 si x 2 Œ0; 1? et f .x/ D 0 sinon. 1) DéterminerK pour que la fonction f soit la densité fX d'une variable aléatoire continueX . Rappeler les propriétés de fX . 2) Calculer l'espérance E.X/ et la variance Var.X/ de X . 3) Déterminer la fonction de répartition FX.x/ de X en fonction de x. 4) Calculer les probabilités suivantes : P.X 6 1/ ; P.X > 1/ ; P.

  • faculte de droit et des sciences economiques

  • dénition du coecient de corrélation linéaire

  • support loi

  • récapitulatif des lois continues


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Ème 2 session
FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES
EXAMEN ANNEE 2008-2009
Ème Licence Economie 2annÉe
MatiÈre : Statistiques et probabilitÉsDurÉe : 2H
Les calculatrices programmables ou graphiques sont autorisÉes.
Questions de cours(15 min, 3 points) SoitXetYdeux variables alÉatoires discrÈtes. 1)DÉnir la loi du couple.X; Y /? 2)Rappeler la dÉnition du coecient de corrÉlation linÉaire. Que mesure-t-il ? 3)Comment dÉnit-on l’indÉpendance deXetY? Quelle est son interprÉtation ? 4)Quel est le rapport entre l’indÉpendance et la corrÉlation ?
Ème 3 semestre
Exercice I(25 min, 4 points) 3 PourK2R, on considÈre la fonctionfWR!RdÉnie parf .x/DKxsix2Œ0; 1etf .x/D0 sinon. 1)DÉterminerKpour que la fonctionfsoit la densitÉfXd’une variable alÉatoire continueX. Rappeler les propriÉtÉs defX. 2)Calculer l’espÉrance E.X /et la variance Var.X /deX. 3)DÉterminer la fonction de rÉpartitionFX.x/deXen fonction dex. 4)Calculer les probabilitÉs suivantes :P .X6P .X1/ ;>1/ ;P .XDP .1=21=2/ ;6X61/.
Exercice II(25 min, 4 points) Un entrepreneur doit nÉgocier un contrat de construction á long terme. Le revenuRpromis á l’entrepre-neur est de 2 000 000. Le coÛt de la constructionXne peut tre connu avec prÉcision sur le long terme, mais l’entrepreneur estime queXsuit une loi normale de moyenne 1 700 000et d’Écart-type 340 000. Le contrat sera protable (pour l’entrepreneur) si le revenu promis excÈde le coÛt de construction. 1)Quelle est la probabilitÉ que ce contrat soit protable ? 2)Quelle est la probabilitÉ que le projet se solde par un dÉcit de plus de 100 000pour l’entrepreneur ? 3)A la vue des rÉsultats prÉcÉdents, l’entrepreneur souhaite renÉgocier le contrat. Quel revenuRl’entre-preneur doit-il nÉgocier pour qu’il ait une probabilitÉ de 99 % de faire un prot ?
Exercice III(25 min, 4 points) Les microprocesseurs installÉs dans les ordinateurs d’un constructeur informatique proviennent de 3 usinesU1,U2etU3qui fournissent respectivement 50 %, 30 % et 20 % des microprocesseurs. â la li-vraison, chaque microprocesseur est vÉriÉ et il a ÉtÉ Établi que 4 % des microprocesseurs provenant de U1Étaient dÉfecteux, ainsi que 5 % de ceux deU2et10% de ceux deU3. 1)Retranscrire clairement l’ÉnoncÉ á l’aide d’ÉvÉnement et de probabilitÉs. 2)DÉterminer la probabilitÉ qu’un microprocesseur soit dÉfectueux. 3)Calculer la probabilitÉ qu’un microprocesseur dÉfectueux provienne de l’usineU1.
Exercice IV(30 min, 5 points) Dans une rÉgion franÇaise, on estime á 5 % le nombre de fausses piÈces de 1en circulation. SoitXle nombre de fausses piÈces de 1dans une recette deMeuros composÉe uniquement de piÈce de 1. 1)DÉterminer la loi deX. 2)Montrer que pourMgrand (50M >), on peut approcher la loi deXpar une loi de Poisson dont on prÉcisera le paramÈtre. 3)Calculer la probabilitÉ que sur une recette deMD80, il n’y ait que 2 fausses piÈces de 1, a)sans utiliser la question 2). b)en utilisant la question 2). 4)DÉterminer la probabilitÉ que le nombre de fausses piÈces d’une recette deMD120, soit infÉrieur ou Égal á 8. 5)Un commerÇant observe que 8 fois sur 10, sa recetteM(supposÉe xe et composÉe uniquement de piÈces de 1) contient au moins 7 fausses piÈces. Quelle est la recette de ce commerÇant ?
2
P./
Pascal
Poisson
GÉomÉtrique
G.p/
PascalX./.r; p/D fr; rC1; : : :g
X./DN
p2n; N; rŒ0; 12N > 0qD1p mDmax.0; nMN q/Dmin.n; Np/
Notation
Nom
  kk1 rr P .XDk/Dp q r1
E.X /D
Var.X /D
Bernoulli
RÉcapitulatif des lois discrÈtes
Binomiale
Loi
Support
EspÉrance
Loi/DensitÉ
X./D f0; : : : ; ng
Support
E.X /Dnp
  n knk P .XDk/Dp q k    Np Nq k nk P .XDk/D  N n
k P .XDk/De
2 aCb .ba/ 1 UniformeU.a; b/X./DfŒa; bX.x/Dsix2Œa; bE.X /DVar.X /D ba 2 12 1 1 x ExponentielleE./ X./DŒ0;C1Œ fX.x/De six>0E.X /DVar.X /D 2   2 .x/ 122 2 NormaleNX./.;  /DRfX.x/D pe E.X /DVar.X /D 2 n P 2 22 22 2 Khi-deuxK ./ .n/DŒ0;C1Œ KDZZi,!N.0; 1/ind. E.K /DnVar.K /D2n i iD1 ( Z Z,!Nn.0; 1/ Student.n/ T./DRTDpoÙ E.T /D0Var.T /D 2 2 2 K ,! .n/n2 K =n ( 2 2 22 K =n1K ,! .n1/ n2 2n2.n1Cn22/ 1 1 FisherF .n1; n2.// FDŒ0;C1Œ FDoÙ E.F /DVar.F /D2 2 2 2n1.n22/ .n24/ K ,! .n2/ n22 K =n2 2 2 a; b2Ra < b > 02Rn; n > 01; n22N
3
B.1; p/
B.n; p/
HypergÉomÉtriqueH.N; n; p/X./D fm; : : : ; Mg
RÉcapitulatif des lois continues
Variance
Nn E.X /DnpVar.X /Dnpq N1 1 q E.X /DVar.X /D 2 p p r rq E.X /DVar.X /D 2 p p
Var.X /Dnpq
Var.X /Dpq
Notation
Nom
X./DN
EspÉrance
Variance
k1 P .XDk/Dpq
P .XD0/Dq P.XD1/DpE.X /Dp
X./D f0; 1g
kn0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Fonction de rÉpartition de la loi de PoissonP./
  Exemple:PP.2;5/64D0;8912
kn0,1 0,2 0,3 0,4 00,818 70,904 80,670 30,740 8 10,938 40,995 30,963 10,982 5 20,996 40,992 10,999 80,998 9 31,000 00,999 20,999 70,999 9 40,999 91,000 01,000 01,000 0 51,000 01,000 01,000 01,000 0
kn0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 0,367 9 0,735 8 0,919 7 0,981 0 0,996 3 0,999 4 0,999 9 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0
5,5 0,004 1 0,026 6 0,088 4 0,201 7 0,357 5 0,528 9 0,686 0 0,809 5 0,894 4 0,946 2 0,974 7 0,989 0 0,995 5 0,998 3 0,999 4 0,999 8 0,999 9 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0
1,5 0,223 1 0,557 8 0,808 8 0,934 4 0,981 4 0,995 5 0,999 1 0,999 8 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0
6 0,002 5 0,017 4 0,062 0 0,151 2 0,285 1 0,445 7 0,606 3 0,744 0 0,847 2 0,916 1 0,957 4 0,979 9 0,991 2 0,996 4 0,998 6 0,999 5 0,999 8 0,999 9 1,000 0 1,000 0 1,000 0
2 0,135 3 0,406 0 0,676 7 0,857 1 0,947 3 0,983 4 0,995 5 0,998 9 0,999 8 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0
6,5 0,001 5 0,011 3 0,043 0 0,111 8 0,223 7 0,369 0 0,526 5 0,672 8 0,791 6 0,877 4 0,933 2 0,966 1 0,984 0 0,992 9 0,997 0 0,998 8 0,999 6 0,999 8 0,999 9 1,000 0 1,000 0
2,5 0,082 1 0,287 3 0,543 8 0,757 6 0,891 2 0,958 0 0,985 8 0,995 8 0,998 9 0,999 7 0,999 9 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0
7 0,000 9 0,007 3 0,029 6 0,081 8 0,173 0 0,300 7 0,449 7 0,598 7 0,729 1 0,830 5 0,901 5 0,946 7 0,973 0 0,987 2 0,994 3 0,997 6 0,999 0 0,999 6 0,999 9 1,000 0 1,000 0
0,5 0,606 5 0,909 8 0,985 6 0,998 2 0,999 8 1,000 0
3 0,049 8 0,199 1 0,423 2 0,647 2 0,815 3 0,916 1 0,966 5 0,988 1 0,996 2 0,998 9 0,999 7 0,999 9 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0
7,5 0,000 6 0,004 7 0,020 3 0,059 1 0,132 1 0,241 4 0,378 2 0,524 6 0,662 0 0,776 4 0,862 2 0,920 8 0,957 3 0,978 4 0,989 7 0,995 4 0,998 0 0,999 2 0,999 7 0,999 9 1,000 0
4
0,6 0,548 8 0,878 1 0,976 9 0,996 6 0,999 6 1,000 0
3,5 0,030 2 0,135 9 0,320 8 0,536 6 0,725 4 0,857 6 0,934 7 0,973 3 0,990 1 0,996 7 0,999 0 0,999 7 0,999 9 1,000 0 1,000 0 1,000 0
8 0,000 3 0,003 0 0,013 8 0,042 4 0,099 6 0,191 2 0,313 4 0,453 0 0,592 5 0,716 6 0,815 9 0,888 1 0,936 2 0,965 8 0,982 7 0,991 8 0,996 3 0,998 4 0,999 3 0,999 7 0,999 9
0,7 0,496 6 0,844 2 0,965 9 0,994 2 0,999 2 0,999 9
4 0,018 3 0,091 6 0,238 1 0,433 5 0,628 8 0,785 1 0,889 3 0,948 9 0,978 6 0,991 9 0,997 2 0,999 1 0,999 7 0,999 9 1,000 0 1,000 0
8,5 0,000 2 0,001 9 0,009 3 0,030 1 0,074 4 0,149 6 0,256 2 0,385 6 0,523 1 0,653 0 0,763 4 0,848 7 0,909 1 0,948 6 0,972 6 0,986 2 0,993 4 0,997 0 0,998 7 0,999 5 0,999 8
0,8 0,449 3 0,808 8 0,952 6 0,990 9 0,998 6 0,999 8
4,5 0,011 1 0,061 1 0,173 6 0,342 3 0,532 1 0,702 9 0,831 1 0,913 4 0,959 7 0,982 9 0,993 3 0,997 6 0,999 2 0,999 7 0,999 9 1,000 0
9 0,000 1 0,001 2 0,006 2 0,021 2 0,055 0 0,115 7 0,206 8 0,323 9 0,455 7 0,587 4 0,70 6 0,80 3 0,875 8 0,926 1 0,958 5 0,978 0 0,988 9 0,994 7 0,997 6 0,998 9 0,999 6
0,9 0,406 6 0,772 5 0,937 1 0,986 5 0,997 7 0,999 7
5 0,006 7 0,040 4 0,124 7 0,265 0 0,440 5 0,616 0 0,762 2 0,866 6 0,931 9 0,968 2 0,986 3 0,994 5 0,998 0 0,999 3 0,999 8 0,999 9
9,5 0,000 1 0,000 8 0,004 2 0,014 9 0,040 3 0,088 5 0,164 9 0,268 7 0,391 8 0,521 8 0,645 3 0,752 0 0,836 4 0,898 1 0,940 0 0,966 5 0,982 3 0,991 1 0,995 7 0,998 0 0,999 1
10 0,000 0 0,000 5 0,002 8 0,010 3 0,029 3 0,067 1 0,130 1 0,220 2 0,332 8 0,457 9 0,583 0 0,696 8 0,791 6 0,864 5 0,916 5 0,951 3 0,973 0 0,985 7 0,992 8 0,996 5 0,998 4
t 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4
1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4
Fonction de rÉpartition de la loi de normaleN.0; 1/
0,00 0,500 0 0,539 8 0,579 3 0,617 9 0,655 4 0,691 5 0,725 7 0,758 0 0,788 1 0,815 9 0,841 3 0,864 3 0,884 9 0,903 2 0,919 2 0,933 2 0,945 2 0,955 4 0,964 1 0,971 3 0,977 2 0,982 1 0,986 1 0,989 3 0,991 8 0,993 8 0,995 3 0,996 5 0,997 4 0,998 1 0,998 7 0,999 0 0,999 3 0,999 5 0,999 7
0,01 0,504 0 0,543 8 0,583 2 0,621 7 0,659 1 0,695 0 0,729 1 0,761 1 0,791 0 0,818 6 0,843 8 0,866 5 0,886 9 0,904 9 0,920 7 0,934 5 0,946 3 0,956 4 0,964 9 0,971 9 0,977 8 0,982 6 0,986 4 0,989 6 0,992 0 0,994 0 0,995 5 0,996 6 0,997 5 0,998 2 0,998 7 0,999 1 0,999 3 0,999 5 0,999 7
  Exemple:PN.0; 1/61;33D0;908 2.
0,02 0,508 0 0,547 8 0,587 1 0,625 5 0,662 8 0,698 5 0,732 4 0,764 2 0,793 9 0,821 2 0,846 1 0,868 6 0,888 8 0,906 6 0,922 2 0,935 7 0,947 4 0,957 3 0,965 6 0,972 6 0,978 3 0,983 0 0,986 8 0,989 8 0,992 2 0,994 1 0,995 6 0,996 7 0,997 6 0,998 2 0,998 7 0,999 1 0,999 4 0,999 5 0,999 7
0,03 0,512 0 0,551 7 0,591 0 0,629 3 0,666 4 0,701 9 0,735 7 0,767 3 0,796 7 0,823 8 0,848 5 0,870 8 0,890 7 0,908 2 0,923 6 0,937 0 0,948 4 0,958 2 0,966 4 0,973 2 0,978 8 0,983 4 0,987 1 0,990 1 0,992 5 0,994 3 0,995 7 0,996 8 0,997 7 0,998 3 0,998 8 0,999 1 0,999 4 0,999 6 0,999 7
0,04 0,516 0 0,555 7 0,594 8 0,633 1 0,670 0 0,705 4 0,738 9 0,770 4 0,799 5 0,826 4 0,850 8 0,872 9 0,892 5 0,909 9 0,925 1 0,938 2 0,949 5 0,959 1 0,967 1 0,973 8 0,979 3 0,983 8 0,987 5 0,990 4 0,992 7 0,994 5 0,995 9 0,996 9 0,997 7 0,998 4 0,998 8 0,999 2 0,999 4 0,999 6 0,999 7
5
0,05 0,519 9 0,559 6 0,598 7 0,636 8 0,673 6 0,708 8 0,742 2 0,773 4 0,802 3 0,828 9 0,853 1 0,874 9 0,894 4 0,911 5 0,926 5 0,939 4 0,950 5 0,959 9 0,967 8 0,974 4 0,979 8 0,984 2 0,987 8 0,990 6 0,992 9 0,994 6 0,996 0 0,997 0 0,997 8 0,998 4 0,998 9 0,999 2 0,999 4 0,999 6 0,999 7
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