FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2009-2010 2ème session 3ème semestre Licence Economie 2ème année Matière : Statistiques et probabilités Durée : 2H Les calculatrices programmables ou graphiques sont autorisées. Questions de cours (10 min, 2 points) Soit X une variable aléaloire continue. 1) Rappeler la définition de la fonction de répartition FX de X . 2) Rappeler la définition de la densité fX de X . 3) Donner la formule permettant de calculer l'espérance E.X/ de X . Exercice I (30 min, 5 points) On considère la variable aléatoire continue X dont la densité est représentée ci-dessous : 1 2 1 f X (t) t 0 3 0.5 1) Vérifier que le graphe ci-dessus correspond bien à une densité. 2) Déterminer graphiquement les probabilités suivantes : a) P.X 6 0/ b) P.X > 3/ c) P.2 6 X 6 3/ d) .P.1 6 X 6 2/ 3) Déterminer graphiquement la valeur de l'espérance de X . 4) Expliquer pourquoi X est nécessairement plus petit que 1:5. 5) Définir (à partir du graphique) l'expression de la densité de X (c'est-à-dire, donner l'expression de fX .

• faculte de droit et des sciences economiques


• coefficient de corrélation linéaire du couple


• support loi


• paiement quotidien par carte

Sujets

• MasterCard
• Pascal

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• Langue: Français

Extrait

Ème 2 session

FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

EXAMEN ANNEE 2009-2010

Ème Licence Economie 2annÉe

MatiÈre : Statistiques et probabilitÉsDurÉe : 2H

Les calculatrices programmables ou graphiques sont autorisÉes.

Questions de cours(10 min, 2 points) SoitXune variable alÉaloirecontinue. 1) Rappeler la dÉfinition de la fonction de rÉpartitionF X deX. 2) Rappeler la dÉfinition de la densitÉf X deX. 3) Donner la formule permettant de calculer l’espÉrance E.X /deX.

Exercice I(30 min, 5 points) On considÈre la variable alÉatoire continueXdont la densitÉ est reprÉsentÉe ci-dessous :

Ème 3 semestre

1) VÉrifier que le graphe ci-dessus correspond bien À une densitÉ. 2) DÉterminer graphiquement les probabilitÉs suivantes : a) P .X60/ b) P .X>3/ c) P .26X63/ d) .P .16X62/ 3) DÉterminer graphiquement la valeur de l’espÉrance deX. 4) Expliquer pourquoi X est nÉcessairement plus petit que1:5. 5) DÉfinir (À partir du graphique) l’expression de la densitÉ deX(c’est-À-dire, donner l’expression def X .x/) et cal- culer l’espÉrance deX.

Exercice II(45 min, 6 points) Le code confidentiel d’une carte bancaire est composÉ de 4 chiffres compris entre 0 et 9,supposÉs distinctset ordonnÉs. 1) Calculer le nombre de codes differents. 2) Calculer le nombre de codes ne comportant que des chiffres pairs (0, 2, 4, 6, 8). 3) Un individu ayant volÉ une carte bancaire essaye de l’utiliser en composant des codes au hasard. SoitYle nombre de tentatives nÉcessaires pour obtenir le bon code. a) DÉterminer la loi deY. b) Combien faut-il d’essais en moyenne pour obtenir le bon code ? c) Quelle est la probabilitÉ qu’il trouve le bon code en (strictement) moins de 4 essais ?

Exercice III(20 min, 4 points) Une banque propose deux types de carte bancaire À ses clients : « VISA » et « MasterCard ». Parmi l’ensemble de ses clients, 50 % possÈdent une carte VISA, 40 % possÈdent une MasterCard et 25 % possÈdent les deux types de carte. SoitAl’ÉvÉnement « le client possÈde une carte VISA » etBl’ÉvÉnement « le client possÈde une carte MasterCard ». 1) Expliciter les ÉvÉnements suivants À l’aide du langage ensembliste et calculer la probabilitÉ correspondante, en jus- tifiant les calculs : a) « un client possÈde au moins un des deux type de carte » ; b) client ne possÈde aucun des deux types de carte » ;« un c) client ne possÈde qu’un seul type de carte ».« un 2) On considÈre un client qui possÈde une carte VISA. Quelle est la probabilitÉ qu’il possÈde aussi une carte Master- Card ? 3) On considÈre un client qui possÈde au moins une carte. Quelle est la probabilitÉ que ce soit une carte VISA ? Exercice IV(40 min, 6 points) Un organisme bancaire a Établi pour ses clients, le nombre moyen (Y) de paiements quotidiens effectuÉs par carte bancaire en fonction du nombre (X) de cartes possÉdÉes. La rÉpartition est rÉsumÉe dans le tableau suivant : X Y0 1 2 3 1 0.300.20 0.15 0.05 2 0.050.05 0.10? 1) ProbabilitÉs a) DÉterminer la valeur de la probabilitÉ manquante. b) Donner la probabilitÉ qu’un client possÈde 2 cartes et effectue 1 paiement quotidien par carte. c) Donner la probabilitÉ qu’un client possÈde 2 cartes. d) Calculer la probabilitÉ qu’un client effectue 1 paiement quotidien par carte sachant qu’il possÈde 2 cartes. 2) Lois marginales a) Calculer l’espÉrance et la variance deXetY. b) Quel est le nombre de paiements moyen quotidien ? 3) CorrÉlation & indÉpendance a) Calculer l’espÉrance deX Y. b) En dÉduire le coefficient de corrÉlation linÉaire du couple.X; Y /. c) InterprÉter le rÉsultat. d) Que pouvez-vous dire de l’indÉpendance des deux variables ?

2

RÉcapitulatif des lois discrÈtes

Support

E.X /D

Var.X /D

Variance

EspÉrance

  k1 r kr P .XDk/Dp q r1

Nn E.X /DnpVar.X /Dnpq N1 1 q E.X /DVar.X /D 2 p p r rq E.X /DVar.X /D 2 p p

Var.X /Dpq

P .XD0/Dq P.XD1/DpE.X /Dp

E.X /Dnp

 X./DN

k1 P .XDk/Dpq

X./D f0; 1g

  n k nk P .XDk/Dp q k    Np Nq  k nk P .XDk/D   N n

Bernoulli

Binomiale

Var.X /Dnpq

N.;  /

Notation

 p2n; N; rŒ0; 12Nq > 0D1p mDmax.0; nMN q/Dmin.n; Np/

E./

X./DN

U.a; b/

Uniforme

Nom

Loi

k   P .XDk/De kŠ

GÉomÉtrique

Poisson

aCb E.X /D 2 1 E.X /D 

Variance

2 .ba/ Var.X /D 12 1 Var.X /D 2 

Pascal.r; p/X./D fr; rC1; : : :g

P./

G.p/

x f X .x/De six>0

B.n; p/

B.1; p/

HypergÉomÉtriqueH.N; n; p/X./D fm; : : : ; Mg

RÉcapitulatif des lois continues

Exponentielle

X./DŒ0;C1Œ

3

Nom

Notation

EspÉrance

2 Var.X /D

2 .x/ 1  2 2 f X .x/ D p e  2

Support

E.X /D

X./DŒa; b

X./D f0; : : : ; ng

1 f X .x/Dsix2Œa; b ba

Loi/DensitÉ

Normale

Normale 1 2 z =2 N.0; 1/Z./DRf Z .z/ D p e E.Z/D0Var.Z/D1 standard (Z) 2 n P 2 22 2 2 2 2 Khi-deux (K) .n/K ./DŒ0;C1Œ KDZoÙZ i ,!N.0; 1/ind. E.K /DnVar.K /D2n i iD1 ( Z Z,!N.0; 1/ n Student (T)St.n/ T./DRTD p oÙ E.T /D0Var.T /D 2 2 2 K ,! n  .n/ 2 K =n ( 2 2 2 2 K =n 1 1 n 2 2 1 n 2 2/ K ,! .n 1 / 2n .nC 1 Fisher (F)F .n 1 ; n 2 .// FDŒ0;C1Œ FDoÙ 2 E.F /DVar.F /D 2 2 2 n .n2/ .n4/ K ,! .n / 1 22 K =n 2 2 2 n 2 2 2  a; b2Ra < b > 02R > 0n; n 1 ; n 2 2N

Pascal

X./DR