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Math III-AlgÈbre - Automne 2007
UniversitÉ Claude Bernard Lyon 1
Mise en bouche   5   * Exercice 1.Un vecteur directeur de la droiteΔeste=3 .Comme la droiteΔn’est pas contenue dans 1 3 le planΠ,R=ΔΠ.   x   1. Laprojectionuenvoie le point P de coordonnÉesydans la base canonique sur le pointu(P)dont z   0 x 0   les coordonnÉesydans la base canonique sont caractÉrisÉs par les deux conditions suivantes : 0 z     0 x x5 0     (i)yyR3 0 z z1 0 0 0 (ii)x+3y+5z=0. Remarque:la premiÈre condition traduit le fait que le point u(P)appartient À la droite parallÈle ÀΔ passant parP; la seconde traduit l’appartenance du point u(P)au planΠ.    0 xx5 0    SoitλRtel queyy=λ3 ;on a alors(x+5λ) +3(y+3λ) +5(z+λ) =0, soit 0 zz1 1 λ= (x+3y+5z), et donc 19 014 15 25 x=xyz 19 19 19 0153 10 y=x+yz 19 19 19 01 314 z=xy+z 19 19 19 La matrice deudans la base canonique est par consÉquent   141525 1   3 1015. 19 13 14 2. Larestriction deuau planΠ(resp. À la droiteΔ) est l’identitÉ (resp. est identiquement nulle). Quelle que 3 soit par consÉquent la base(ε1,ε2)du planΠ,(ε1,ε2,e)est une base deRdans laquelle la matrice deu est   1 0 0   0 1 0. 0 0 0 * Exercice 2. n 1. Siun vecteurxdeCs’Écrit sous la formex=x1+x2avecx1Ker(uid)etx2Ker(u+id), alors u(x) =u(x1) +u(x2) =x1x2et donc x+u(x)xu(x) x1=,x2=. 2 2 RÉciproquement, comme x+u(x)xu(x)x+u(x)xu(x) Ker(uid),Ker(u+id)etx= + 2 22 2 n n pour tout vecteurxdeC, l’espaceCest la somme directe des sous-espaces vectoriels Ker(uid)et Ker(u+id).
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n 2. Siu6=id etu6=id, les deux sous-espaces vectoriels Ker(uid)et Ker(u+id)deCsont de dimen-sions respectivespetqavec 1p,qncomme la restriction de1 ;uau premier (resp. au second) est l’identitÉ (resp. l’opposÉe de l’identitÉ), ces sous-espaces sont stables paruet, si(e1, . . . ,ep)(resp. n (ep+1, . . . ,en)est une base du premier (resp. du second),la matrice deudans la base(e1, . . . ,en)deCest   Ip0 . 0Iq * Exercice 3. 1. CalculimmÉdiat.   1 2. Lerang de la matrice B, et donc de l’endomorphismeu, est 1 ; on a en outre Im(u) =Ker(u) =R. 1       1 11 11 3. Onau=2 etu=0 donc la matrice deudans la base,de 1111 1 2 Rest   0 2 . 0 0 * Exercice 4. 1. A=bJ+ (ab)In. k k1 2. OndÉmontre facilement par rÉcurrence sur l’entierkque J=nJ pour toutk. Comme les matricesJet Incommutent, k k A= (bJ+ (ab)In)   k k `k` ` =b(ab)J In ` `=0   k k `1k`k =n(ab)J+ (ab)In ` `=1 " #   k 1k `k`k k = (nb) (ab)(ab)J+ (ab)In n` `=0 h i 1 k kk = (a+ (n1)b)(ab)J+ (ab)In n * Exercice 5. 1. CalculimmÉdiat ; on trouveλ=1,µ=4. 2. Quelque soit l’entiern1, on note respectivement`(n;p,p), `(n;p,q), `(n;q,p),`(n;q,q)le nombre de chemins de longueurnentrepetp,petq,qetp,qetq. En observant qu’un chemin de longueurn+1 entrepetpest composÉ d’un chemin de longueur 1 entrepetppuis d’un chemin de longueurnentre petpou bien d’un chemin de longueur 1 entrepetqpuis d’un chemin de longueurnentreqetp, on obtient la formule de rÉcurrence `(n+1;p,p) =`(1;p,p)`(n;p,p) +`(1;p,q)`(n;q,p) =2`(n;p,p) +`(n;q,p). Un raisonnement analogue conduit aux formules `(n+1;p,q) =2`(n;p,q) +`(n;q,q), `(n+1;q,p) =3`(n;q,p) +2`(n;p,p) et `(n+1;q,q) =3`(n;q,q) +2`(n;p,q) et on en dÉduit immÉdiatement les nombres demandÉs : il y a `(2;p,p) +`(2;p,q) +`(2;q,p) +`(2;q,q) =32
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chemins de longueur 2, `(3;p,p) +`(3;p,q) +`(3;q,p) +`(3;q,q) =128 chemins de longueur 3 et `(;p,p) +`(4;p,q) +`(4;q,p) +`(4;q,q) =512 chemins de longueur 4. 3. Il est plus facile de calculer directement ces puissances plutÔt que d’utiliser D; l’intÉrt de l’Écriture 1n M=P DPapparat par contre si l’on veut une formule explicite pour M. On obtient     26 5322 21486 85 M=,M=et M=. 10 1142 43170 171 Il faut observer que, pourn∈ {2,3,4}, le nombre de chemins de longueurnest la somme des coefficients n de M. Ce fait est bien entendu gÉnÉral : les rÉcurrences du dÉbut peuvent en effet s’Écrire sous la forme     `(n+1;p,p)`(1;p,p)`(1;p,q)`(n;p,p) = `(n+1;q,p)`(1;q,p)`(1;q,q)`(n;q,p) et     `(n+1;p,q)`(1;p,p)`(1;p,q)`(n;p,q) =, `(n+1;q,q)`(1;q,p)`(1;q,q)`(n;q,q) soit encore    `(n+1;p,p)`(n+1;p,q)`(n;p,p)`(n;p,q) =M. `(n+1;q,p)`(n+1;q,q)`(n;q,p)`(n;q,q) On en dÉduit   `(n;p,p)`(n;p,q) n =M `(n;q,p)`(n;q,q) pour toutnNet on constate que le nombre de chemins de longueurndans le graphe est la somme des n coefficients de la matrice M. 4. Leraisonnement est le mme qu’avec le premier graphe. La matrice d’incidence du second graphe est    `(1;p,p)`(1;p,q)1n M= =. `(1;q,p)`(1;q,q)n1 Cette matrice est diagonalisable sous la forme   n+1 0 1 M=P P 0 1n   1 1 1 1 avec P=et P=P, ce qui permet de calculer explicitement la puissancek-Ème de M : 2 11   k kk k k1(1+n() +1n) (1+n)(1n) M= k kk k 2(1+n)(1n) (1+n) +(1n) et donc d’obtenir le nombre de chemins de longueurk:   1 k kk kk 2[(1+n() +1n) ]+2[(1+n)(1n=) ]2(n+1). 2