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Filtrations ? temps discret nØgatif.
par StØphane LAURENT
TH¨SE
prØsentØe pour obtenir le grade de
DOCTEUR de l’UniversitØ Louis Pasteur, Strasbourg I
SpØcialitØ MATH MA TIQUES
Soutenue le Mercredi 30 Juin 2004 ? 9h00 devant la Commission d’Examen :
Michel MER Y Directeur de thŁse,
Jacques FRANCHI Rapporteur Interne,
Christophe LEURIDAN Membre du jury,
Pierre VALLOIS Rapporteur Externe,
Marc YOR Rapp Externe
IRMA - UMR 7501 CNRS/ULP
7 rue RenØ Descartes - 67084 Strasbourg Cedex, FRANCE2
Je remercie spØcialement Michel mery sans qui je n’aurais pu rØaliser cette thŁse. Sans
son aide, ses conseils, son in uence, son exigence, sans ses soins, je n’aurais pas toujours su
me dØbarrasser de la quincaillerie avec laquelle mes mathØmatiques Øtaient Øcrites parfois.
Je pense que celui de mes professeurs qui aura eu l’in uence la plus manifeste sur moi
lorsque j’ai choisi de m’orienter vers la thØorie des probabilitØs est Pierre Vallois; je le remercie
donc particuliŁrement pour cela et aussi parce qu’il a acceptØ de participer au jury de ma
thŁse. J’ai beaucoup d’estime pour Jacques Franchi, Christophe Leuridan et Marc Yor, que je
remercie aussi d’avoir acceptØ de faire partie du jury.
Je remercie Michel Coornaert que j’ai beaucoup c to yØ durant ma thŁse; il sera toujours
indissociable de mes souvenirs de ces annØes et le travail que nous avons partagØ m’aura donnØ
de hautes le ons en matiŁre d’enseignement des mathØmatiques.
Il y a beaucoup de prØsences avec lesquelles on vit. Pour leur prØsence durant ces annØes,
je remercie Anthony Phan, David Kurtz, CØline, ¨ve, L. Bagot, Myriam Ounaies, Corine, le
SØb. Et en n, je remercie mes parents.





TABLE DES MATI¨RES
partie I Introduction. 7
1. Introduction I et prØliminaires. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8
1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 PrØliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Introduction II et dØ nitions. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16
2.1 Vocabulaire sur les - algŁbres et les ltrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Vocabulaire sur les -algŁbres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Filtrations de type produit et de type produit local. . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 conditionnellement homogŁnes : dØ nitions. . . . . . . . . . . 17
2.2 Questions. L’exemple de Vinokurov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Le cas conditionnellement non-atomique : l’erreur de Wiener. . . . . . . . . . . 19
2.4 Contenu des parties II, III, IV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1 Partie II : CritŁre de Vershik de premier niveau et exemples. . . . . . . . 20
2.4.2 Partie III : de I-jonction en arbre et contre-exemples. . . . . . . 20
2.4.3 Partie IV : CritŁres de second niveau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
partie II Filtrations de type produit local. CritŁre de Vershik de premier
niveau. Exemples des mots gommØs et des mots dØcoupØs. 21
3. CritŁre de Vershik de premier niveau. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23
3.1 Innovations et critŁre de Vershik de premier niveau. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Ensembles substantiels de -algŁbres etC (F). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24loc
3.3 CritŁre de Vershik de premier niveau : Øquivalences . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Preuve de la proposition 3.1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Remarques sur le critŁre de Vershik de premier niveau. . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6 Cas d’une cha ne de Markov constructive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7 Cas d’une ltration de type produit local gØnØrale. . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Changement d’innovation. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34
4.1 - algŁbres isomorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Mesures borØliennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Innovations de - algŁbres : existence et description. . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Changement d’innovations de ltration et automorphismes d’arbre. . . . . . . . 42Table des matiŁres 4
5. L’exemple des mots gommØs. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48
5.1 PrØliminaire : notations sur les mots. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2 Le processus des mots gommØs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Cas uniforme sur un alphabet ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.1 Lemme de construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.2 Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3.3 Construction de (e ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54n n60
5.4 Cas d’autres alphabets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4.1 Cas de la mesure de Lebesgue sur [0;1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.2 Cas d’un alphabet essentiellement sØparable. . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.3 Cas d’unet non sØparable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6. L’exemple des mots dØcoupØs. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61
6.1 DØcoupage r -adique. Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61n
6.2 Le processus des mots dØcoupØs r -adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62n
6.3 Construction de (e ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64n n60
6.4 Les mots dØcoupØs dans [Ver]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7. Conclusion de cette partie. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68
partie III Couplage des ltrations de type produit local : couplage de Doeblin
et I-jonction en arbre. Le contre-exemple des mots dØcoupØs et des mots rongØs. 69
8. PrØliminaires : ltrations isomorphes et immersions des ltrations. : : : : 71
8.1 Filtrations isomorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.1.1 Copie d’une v.a. dans un espace mØtrique standard. . . . . . . . . . . . 71
8.1.2 Filtrations isomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.2 Immersion, immersibilitØ, co mmersion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.2.1 DØ nition et caractØrisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.2.2 Lemmes utiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.2.3 Co mmersion de deux ltrations : caractØrisations. . . . . . . . . . . . . 77
8.2.4 CritŁre de Vershik de premier niveau pour une martingale. . . . . . . . . 78
9. Couplage de Doeblin. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 80
9.1 Notre premier couplage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.2 Cas des cha nes de Markov constructives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.3 Une condition su san te. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10.I-jonction en arbre. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85
10.1 Co mmersions en arbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.2 I-jonction en arbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.Le contre-exemple des mots dØcoupØs. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91
11.1 Co mmersions en arbre de deux processus de mots dØcoupØs. . . . . . . . . . . . 91
11.2 Le mØcanisme de dØcoupage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.3 Mots dØcoupØs non standard : lemme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.4 MotsØs non : preuve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Table des matiŁres 5
11.5 Quelques remarques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
12.Le contre-exemple des mots rongØs. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102
12.1 PrØliminaire : endomorphisme d’un espace de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . 102
12.2 Contenu de ce chapitre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1 112.3 La transformation [T;T ] et la cha ne de Markov [T;T ]. . . . . . . . . . . . 104
12.4 Les processus des mots dØcalØs et des mots rongØs. . . . . . . . . . . . . . . . . 106
13.Conclusion de cette partie. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 108
partie IV CritŁres de Vershik de second niveau. 109
14.I-confort.: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 111
14.1 DØ nition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14.2 Choix des variables alØatoires test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
14.3 PropriØtØs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
14.4 Exemple : couplage classique des cha nes de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . 116
15.Filtrations I-confortables et ltrations standard. : : : : : : : : : : : : : : : : 119
15.1 Cas r -adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119n
15.2 Cas conditionnellement homogŁne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
15.3 Filtrations standard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
15.4 Cas des ltrations conditionnellement sØparables. . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
15.5 ? propos de la sØparabilitØ conditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
16.ParamØtrisations I. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 130
16.1 GØnØralitØs sur les paramØtrisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
16.1.1 DØ nition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
16.1.2 ParamØtrisations et sØparabilitØ conditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . 131
16.1.3 Grossissement paramØtrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
16.1.4 P des cha nes de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
16.2 Conditions de Doeblin et paramØtrisation gØnØratrice. . . . . . . . . . . . . . . 133
16.2.1 PrØliminaires : familles de mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
16.2.2 Conditions de Doeblin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
16.2.3 Un exemple de Hanson et Rosenblatt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
16.2.4 Cas markovien homogŁne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
16.3 Application au I-confort des cha nes de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
16.3.1 I-confort des cha nes de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
16.3.2 Couplage ? partir d’un temps d’arrŒt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
17.ParamØtrisations II. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 144
17.1 PrØliminaire : concatØnation des paramØtrisations. . . . . . . . . . . . . . . . . 144
17.1.1 ParamØtrisations isomorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
17.1.2 ConcatØnation : cas local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
17.1.3 : cas global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
17.2 CritŁre de Vershik paramØtrique de premier niveau. . . . . . . . . . . . . . . . . 149
17.2.1 DØ nition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Table des matiŁres 6
17.2.2 PropriØtØs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
17.2.3 Lemmes et preuve de la proposition 17.2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . 152
17.2.4 Cas d’une cha ne de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
17.3 I-confort paramØtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
17.4 Preuve de la proposition 17.3.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
17.5 I-jonction en arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
17.5.1 Cas d’une ltration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
17.5.2 Cas d’une cha ne de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
17.6 Confort et paramØtrisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
17.7 I-confort des cha nes de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
partie V Deux courts chapitres. 161
118.Le I -confort et une application du lemme de Slutsky.: : : : : : : : : : : : 163
118.1 Le I -confort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
118.2 Plus que le I -confort. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
19.Le thØorŁme d’isomorphisme lacunaire. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 166
19.1 CritŁre de standarditØ de Vershik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
19.2 Le thØorŁme lacunaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167PremiŁre partie
INTRODUCTION.1. INTRODUCTION I ET PR LIMINAIRES.
1.1 Introduction.
La classi cation des suites dØcroissantes de partitions mesurables d’un espace de Lebesgue mise
au point dans les travaux de thŁse de Vershik est une continuation des travaux de Rokhlin. Elle
se traduit en thØorie des probabilitØs par la classi cation des ltrations ? temps discret nØgatif.
On considŁre une ltration F = (F ) dØ nie sur un espace probabilisØ ( ;A;P). Si pourn n60
tout n on a une variable alØatoire V indØpendante de F et telle que F _(V ) = F ,n n 1 n 1 n n
1nous dirons queF est de type produit local, queV est une innovation de F dans F et quen n 1 n
(V ) est un processus d’innovations de F. Sous ces conditions et mŒme dans le cas oø lan n60
tribuF :=\F est dØgØnØrØe, auquel cas nous dirons queF est kolmogorovienne, il est facile 1 n
de remarquer que F n’est pas nØcessairement la ltration engendrØe par la suite de variables
alØatoires indØpendantes (V ) (voir l’exemple en-dessous de la dØ niton 2.1.4 page 18).n n60
Aussi, nous verrons facilement que la ltration de type produit localF = (F ) de l’exemplen n60
de Vinokurov (page 18), est kolmogorovienne mais que F n’est pas de type produit, c’est- -dire
qu’elle n’est engendrØe par aucune suite de variables alØatoires indØpendantes. Notons qu’une
condition nØcessaire pour qu’une ltration de type produit local soit de type produit est qu’elle
soit essentiellement sØparable, c’est- -dire que la tribu nale F est engendrØe par une classe0
dØnombrable d’ØvØnements. L’existence d’une ltration de type produit local kolmogorovienne
et essentiellement sØparable mais qui n’est pas de type produit, devient un problŁme compliquØ
dans le cas des ltrations conditionnellement homogŁnes dØ nies comme suit. Une ltration
F = (F ) de type produit local pour laquelle il y a un processus d’innovations (V ) teln n60 n n60
que pour tout n,
V est uniformØment distribuØe sur un nombre ni r de valeurs, sera diter -adique, etn n n
dyadique dans le cas oø r 2;n
V estt distribuØe sur le segment [0;1], sera dite conditionnellement non-n
atomique ;
V est uniformØment distribuØe sur un nombre ni r de valeurs ou alors uniformØmentn n
distribuØe sur le segment [0;1], sera dite conditionnellement homogŁne.
Le premier exemple d’une ltration kolmogorovienne et conditionnellement homogŁne mais
qui n’est pas de type produit a ØtØ donnØ par Vershik. Il s’agit d’une ltration dyadique.
Vershik donne un critŁre, non trivial mais ØlØmentaire, caractØrisant les ltrations qui sont
de type produit parmi les ltrations r -adiques. Nous donnerons son analogue probabilisten
sous le nom de critŁre de Vershik de premier niveau, ØnoncØ plus gØnØralement pour toutes les
ltrations de type produit local.
Nous donnerons un exemple non trivial d’une ltration r -adique de type produit dans len
chapitre 5, la ltration du processus des mots gommØs. Dans le chapitre 6, c’est la ltration
1 Pour cette introduction seulement ; plus tard nous dirons qu’elle est de type produit local et conditionnel-
lement sØparable.1. Introduction I et prØliminaires. 9
du processus des mots dØcoupØs qui sera ØtudiØe. Le processus des mots dØcoupØs r -adiquen
est dØ ni lorsque sont donnØs une suite (r ) et un alphabet probabilisØ (A;A;), et san n60
ltration est r -adique. Dans le cas dyadique (r 2), A ni, et uniforme sur A, il estn n
dØmontrØ dans [Smo] et [ES] que cette ltration n’est pas de type produit. Nous reprendrons
et gØnØraliserons cet exemple dans le chapitre 11. Nous expliquerons comment on peut savoir
a priori, en utilisant la thØorie de Vershik, qu’il existe des suites (r ) et des alphabetsn n60
(A;A;) pour lesquels la ltration du processus des mots dØcoupØs r -adique correspondantn
est de type produit, et nous donnerons alors des conditions su san tes pour que ce soit le cas
(conditions (r ) et (r), propositions 6.3.3 et 6.3.4).
Pour la clartØ de l’introduction, nous ØnumØrons ci-dessous les notions sur les ltrations
auxquelles nous nous intØresserons :
Le critŁre de Vershik de premier niveau (dØ nition 3.1.3).
Le de I-jonction en arbre (dØ nition 10.2.1).
Le critŁre de standarditØ r -adique de Vershik (que nous n’Ønoncerons pas).n
Le de de Vershik (dØ nition 19.1.1).
Le critŁre de I-confort (dØ nition 14.1.1).
La notion de ltration standard (dØ nition 15.3.2).
Le critŁre de standarditØ de Vershik donnØ dans [Ver] dØ nit un invariant des ltrations
? temps discret nØgatif gØnØrales. Il a ØtØ donnØ sous forme probabiliste dans [ES] sous le
mŒme nom. Pour l’Ønoncer, dans [Ver] comme dans [ES], il faut au prØalable dØ nir des
tours de mesures. Mais Vershik donne aussi des constructions combinatoires adaptØes aux
ltrations r -adiques correspondantes ? celles des tours de mesures, sur les orbites d’actionsn
des groupes des automorphismes d’arbre, dans un cadre trŁs ergodicien, et il est (sous-)entendu
que son critŁre s’Øcrit aussi en termes de ces constructions, en les substituant aux tours de
mesures, lorsqu’il concerne les ltrations r -adiques. Dans ce cas nous l’appelerons le critŁren
de standarditØr -adique de Vershik. C’est ce critŁre que Vershik, ainsi que d’autres ergodiciensn
comme Feldman, Heicklen, Ho mann, Rudolph, et plus rØcemment Karen Ball, utilisent pour
Øtudier des exemples de ltrations r -adiques. Nous donnerons un analogue probabiliste dun
critŁre de standarditØ r -adique de Vershik sous le nom de critŁre de I-jonction en arbre,n
homologue en termes de couplages de deux ltrations, du critŁre de Vershik de premier niveau.
Les auteurs de [ES] distinguent deux niveaux de la thØorie de Vershik ; le critŁre de Vershik
de premier niveau est du premier niveau, le critŁre de I-confort et le critŁre de standarditØ de
Vershik sont du second niveau. ? tout oser, nous dirions que le critŁre de I-jonction en arbre
est de niveau 3=2.
Le critŁre de I-jonction en arbre nous permettra dans le chapitre 11 de donner une condi-
tion su san te sur la suite (r ) et l’alphabet pour que la ltration du processus de motsn
dØcoupØs r -adique correspondant ne soit pas de type produit (condition (), propositionn
11.4.2). La ltration du processus des mots rongØs que nous verrons dans le chapitre 12 est un
autre exemple de ltration dyadique et kolmogorovienne qui n’est pas de type produit. Nous
expliquerons comment ramener la preuve ? un problŁme de nature combinatoire, mais nous
renverrons le lecteur ? [HH] pour sa rØsolution car nous verrons que la non-standarditØ de la
1transformation [T;T ] Øtablie dans [HH] avec le critŁre de standarditØ r -adique de Vershik,n
se traduit aussi par ce problŁme. Avec les rØsultats de second niveau de la thØorie de V
l’exemple de la ltration du processus des mots rongØs fournira toute une classe de ltrations
1de cha ne de Markov [T;T ] qui engendrent des ltrations dyadiques et kolmogoroviennes
qui ne sont pas de type produit.1. Introduction I et prØliminaires. 10
Le critŁre de I-confort est introduit dans le chapitre 14. Dans le chapitre suivant, par
un argument d’extrØmalitØ dans le cas r -adique, puis au moyen moyen d’approximations,n
nous montrerons que dans le cas des ltrations conditionnellement homogŁnes, le critŁre de
I-jonction en arbre permet de passer d’un niveau ? l’autre de la thØorie de Vershik : dans ce
cas les critŁres de I-jonction en arbre et de I-confort sont Øquivalents. Nous obtiendrons donc
assez ØlØmentairement le thØorŁme suivant.
ThØorŁme 1.1.1. Sur un espace probabilisØ ( ;A;P), soit F = (F ) une ltr ation es-n n60
sentiellement sØparable et conditionnellement homogŁne. Alors F est de type produit si et
seulement si F est I-confortable.
Ce thØorŁme peut se dØduire des rØsultats de [ES] dans le cas des ltrations conditionnellement
non-atomiques, en passant par le critŁre de standarditØ de Vershik, et il est a rmØ sans Œtre
explicitement dØmontrØ dans le casr -adique. Avec ce thØorŁme, l’Øquivalence due ? [ES] entren
ltration I-confortable et ltration standard s’obtient facilement (corollaire 15.3.4), et nous la
gØnØraliserons au cas des ltrations conditionnellement sØparables (dØ nition 2.1.6, corollaire
15.4.1).
AprŁs avoir introduit la notion de paramØtrisations dans le chapitre 16, nous l’appliquerons
pour donner des exemples de ltrations standard, en nous aidant parfois de certains rØsultats
dans la littØrature qui ne concernent pas les ltrations tels qu’ils sont Øcrits. Dans le chapitre
17, nous montrerons qu’il est Øquivalent pour une ltration essentiellement sØparable d’Œtre
I-confortable ou d’admettre une paramØtrisation gØnØratrice. Ce rØsultat avait causØ quelque
confusion dans la littØrature ([Sch2], [FS02]). Nous Øtudierons aussi la gØnØralisation au cas
conditionnellement sØparable.
En n nous nirons par deux courts chapitres. Nous ferons une remarque sur le I-confort
dans le chapitre 18. Le critŁre de I-confort tel qu’il a ØtØ dØ ni dans [ES] est une variante
d’un critŁre introduit par B. Tsirelson dans [Tsi], et une modi cation faite dans [ES] en vue
de simpli er sa prØsentation du I-confort semble l’a aiblir. Nous montrerons qu’en fait cette
modi cation n’a ecte pas la dØ nition du I-confort. Ainsi on obtient une dØ nition Øquivalente,
qui est plus commode pour Øtablir certains ØnoncØs.
Le chapitre 19 est indØpendant. Nous espØrons que ses trois pages rendront hommage
au critŁre de standarditØ de Vershik, lequel n’aura pas fait apparition prØcØdemment; nous
y Ønoncerons le critŁre de standarditØ de Vershik et en admettant son Øquivalence avec le
I-confort, Øtablie dans [ES], nous donnerons une preuve rapide du thØorŁme d’isomorphisme
lacunaire, dont le point clef est inspirØ du lemme de Slutsky, utilisØ dans le chapitre prØcØdent.
1.2 PrØliminaires.
Espace de Borel. Soient (S;S) et (T;T) des espaces mesurables. Une injection bimesu-
rable de S dans T est une application mesurable injective : S ! T et telle que la bijection
1 : (S)!S est aussi mesurable.
La tribu borØlienne sur un espace mØtrique sØparable E est notØeB , ou alors elle n’estE
pas notØe puisque tout espace mØtrique sØparable sera tacitement muni de sa tribu borØlienne.
De mŒme lorsque (S;S) et (T;T) sont des espaces mesurables, le produitST est tacitement
muni de la tribu produit S
T.
On dira qu’un espace mesurable (S;S) est un espace de Borel s’il existe un espace mØ-
1trique sØparable E et une bijection bimesurablef : (S;S)! (E;B ) telle quef etf soientE