Filtrations temps discret négatif

Stéphane Laurent

Description

Niveau: Supérieur
Filtrations à temps discret négatif. par Stéphane LAURENT THÈSE présentée pour obtenir le grade de DOCTEUR de l'Université Louis Pasteur, Strasbourg I Spécialité MATHÉMATIQUES Soutenue le Mercredi 30 Juin 2004 à 9h00 devant la Commission d'Examen : Michel ÉMERY Directeur de thèse, Jacques FRANCHI Rapporteur Interne, Christophe LEURIDAN Membre du jury, Pierre VALLOIS Rapporteur Externe, Marc YOR Rapporteur Externe IRMA - UMR 7501 CNRS/ULP 7 rue René Descartes - 67084 Strasbourg Cedex, FRANCE

• découpage rn-adique


• chaîne de markov constructive


• filtrations isomorphes


• chaîne de markov


• vocabulaire sur les ?- algèbres


• filtration


• généralités sur les paramétrisations

Sujets

• Vallois
• Laurent
• Franchi

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 juin 2004
• Nombre de lectures: 43
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Filtrations ? temps discret nØgatif.
par StØphane LAURENT
TH¨SE
prØsentØe pour obtenir le grade de
DOCTEUR de l’UniversitØ Louis Pasteur, Strasbourg I
SpØcialitØ MATH MA TIQUES
Soutenue le Mercredi 30 Juin 2004 ? 9h00 devant la Commission d’Examen :
Michel MER Y Directeur de thŁse,
Jacques FRANCHI Rapporteur Interne,
Christophe LEURIDAN Membre du jury,
Pierre VALLOIS Rapporteur Externe,
Marc YOR Rapp Externe
IRMA - UMR 7501 CNRS/ULP
7 rue RenØ Descartes - 67084 Strasbourg Cedex, FRANCE2
Je remercie spØcialement Michel mery sans qui je n’aurais pu rØaliser cette thŁse. Sans
son aide, ses conseils, son in uence, son exigence, sans ses soins, je n’aurais pas toujours su
me dØbarrasser de la quincaillerie avec laquelle mes mathØmatiques Øtaient Øcrites parfois.
Je pense que celui de mes professeurs qui aura eu l’in uence la plus manifeste sur moi
lorsque j’ai choisi de m’orienter vers la thØorie des probabilitØs est Pierre Vallois; je le remercie
donc particuliŁrement pour cela et aussi parce qu’il a acceptØ de participer au jury de ma
thŁse. J’ai beaucoup d’estime pour Jacques Franchi, Christophe Leuridan et Marc Yor, que je
remercie aussi d’avoir acceptØ de faire partie du jury.
Je remercie Michel Coornaert que j’ai beaucoup c to yØ durant ma thŁse; il sera toujours
indissociable de mes souvenirs de ces annØes et le travail que nous avons partagØ m’aura donnØ
de hautes le ons en matiŁre d’enseignement des mathØmatiques.
Il y a beaucoup de prØsences avec lesquelles on vit. Pour leur prØsence durant ces annØes,
je remercie Anthony Phan, David Kurtz, CØline, ¨ve, L. Bagot, Myriam Ounaies, Corine, le
SØb. Et en n, je remercie mes parents.





TABLE DES MATI¨RES
partie I Introduction. 7
1. Introduction I et prØliminaires. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8
1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 PrØliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Introduction II et dØ nitions. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16
2.1 Vocabulaire sur les - algŁbres et les ltrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Vocabulaire sur les -algŁbres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Filtrations de type produit et de type produit local. . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 conditionnellement homogŁnes : dØ nitions. . . . . . . . . . . 17
2.2 Questions. L’exemple de Vinokurov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Le cas conditionnellement non-atomique : l’erreur de Wiener. . . . . . . . . . . 19
2.4 Contenu des parties II, III, IV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1 Partie II : CritŁre de Vershik de premier niveau et exemples. . . . . . . . 20
2.4.2 Partie III : de I-jonction en arbre et contre-exemples. . . . . . . 20
2.4.3 Partie IV : CritŁres de second niveau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
partie II Filtrations de type produit local. CritŁre de Vershik de premier
niveau. Exemples des mots gommØs et des mots dØcoupØs. 21
3. CritŁre de Vershik de premier niveau. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23
3.1 Innovations et critŁre de Vershik de premier niveau. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Ensembles substantiels de -algŁbres etC (F). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24loc
3.3 CritŁre de Vershik de premier niveau : Øquivalences . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Preuve de la proposition 3.1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Remarques sur le critŁre de Vershik de premier niveau. . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6 Cas d’une cha ne de Markov constructive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7 Cas d’une ltration de type produit local gØnØrale. . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Changement d’innovation. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34
4.1 - algŁbres isomorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Mesures borØliennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Innovations de - algŁbres : existence et description. . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Changement d’innovations de ltration et automorphismes d’arbre. . . . . . . . 42Table des matiŁres 4
5. L’exemple des mots gommØs. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48
5.1 PrØliminaire : notations sur les mots. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2 Le processus des mots gommØs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Cas uniforme sur un alphabet ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.1 Lemme de construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.2 Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3.3 Construction de (e ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54n n60
5.4 Cas d’autres alphabets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4.1 Cas de la mesure de Lebesgue sur [0;1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.2 Cas d’un alphabet essentiellement sØparable. . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.3 Cas d’unet non sØparable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6. L’exemple des mots dØcoupØs. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61
6.1 DØcoupage r -adique. Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61n
6.2 Le processus des mots dØcoupØs r -adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62n
6.3 Construction de (e ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64n n60
6.4 Les mots dØcoupØs dans [Ver]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7. Conclusion de cette partie. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68
partie III Couplage des ltrations de type produit local : couplage de Doeblin
et I-jonction en arbre. Le contre-exemple des mots dØcoupØs et des mots rongØs. 69
8. PrØliminaires : ltrations isomorphes et immersions des ltrations. : : : : 71
8.1 Filtrations isomorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.1.1 Copie d’une v.a. dans un espace mØtrique standard. . . . . . . . . . . . 71
8.1.2 Filtrations isomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.2 Immersion, immersibilitØ, co mmersion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.2.1 DØ nition et caractØrisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.2.2 Lemmes utiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.2.3 Co mmersion de deux ltrations : caractØrisations. . . . . . . . . . . . . 77
8.2.4 CritŁre de Vershik de premier niveau pour une martingale. . . . . . . . . 78
9. Couplage de Doeblin. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 80
9.1 Notre premier couplage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.2 Cas des cha nes de Markov constructives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.3 Une condition su san te. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10.I-jonction en arbre. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85
10.1 Co mmersions en arbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.2 I-jonction en arbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.Le contre-exemple des mots dØcoupØs. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91
11.1 Co mmersions en arbre de deux processus de mots dØcoupØs. . . . . . . . . . . . 91
11.2 Le mØcanisme de dØcoupage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.3 Mots dØcoupØs non standard : lemme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.4 MotsØs non : preuve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Table des matiŁres 5
11.5 Quelques remarques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
12.Le contre-exemple des mots rongØs. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102
12.1 PrØliminaire : endomorphisme d’un espace de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . 102
12.2 Contenu de ce chapitre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1 112.3 La transformation [T;T ] et la cha ne de Markov [T;T ]. . . . . . . . . . . . 104
12.4 Les processus des mots dØcalØs et des mots rongØs. . . . . . . . . . . . . . . . . 106
13.Conclusion de cette partie. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 108
partie IV CritŁres de Vershik de second niveau. 109
14.I-confort.: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 111
14.1 DØ nition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14.2 Choix des variables alØatoires test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
14.3 PropriØtØs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
14.4 Exemple : couplage classique des cha nes de Markov. . . . . . . . . . .