La lecture en ligne est gratuite
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Partagez cette publication


Interactiondestourbillonsdanslesecoulementsplans faiblement visqueux
Thierry Gallay UniversitedeGrenobleI Institut Fourier, UMR CNRS 5582 BP 74 F-38402Saint-Martin-dHeres
1 Introduction OnsaitquelequationdeNavier-Stokesincompressibledansleplan R 2 possede une so-lution globale unique pour toute donnee initiale dont le tourbillon est une mesure nie, quellequesoitlavaleurduparametredeviscosite[14].Onpeutdonceˆtretentedetudier le comportement de cette solution dans la limite non visqueuse, au moins sur des exemples representatifs. Dans cet expose, on considere le cas tres particulier, mais aussi tres sin-gulier,ouletourbilloninitialestunecombinaisonlineaire niedemassesdeDirac.On montre alors que la solution faiblement visqueuse se comporte comme une superposition detourbillonsdOseenlegerementdeformes,dontlescentressuiventladynamiquedes tourbillons ponctuels de l’equation d’Euler. LequationdeNavier-Stokesdansleplan R 2 secrit ∂u (  r ) u =   u  r p  div u = 0 (1) ∂t + u ou u ( xt ) R 2 designelechampdevitessedu uide,supposehomogeneetincompressible, et p ( xt ) R sonchampdepression.Luniqueparametreestlaviscositecinematique  > 0,quelonpeuteliminerparchangementdechellemaisquelonconserveraicicaron sinteressejustementalalimitenonvisqueusedessolutionsde(1),lesdonneesinitiales etant xees.Parcommodite,ontravailleraenfaitsurlequationveri eeparletourbillon ω = 1 u 2  2 u 1 ,quiauneformeparticulierementsimple: tω + ( u  r ) ω =   ω . (2) On supposera toujours que le tourbillon ω ( xt ) R decroˆtsusammentvitelorsque | x | → ∞ pour que le champ de vitesse u ( xt ) R 2 puisseeˆtrereconstruitparlaloide Biot-Savart u ( xt ) = 2  1 Z R 2 ( | xx   yy ) | 2 ω ( yt ) d y  x R 2 (3) ou l’on a note x = (  x 2 x 1 ) si x = ( x 1 x 2 ) R 2 . 1
Dans la suite, on note M ( R 2 )lespacedesmesures(deRadon)reelles niessur R 2 , munidelanormedelavariationtotalequelondesignepar k  k vt . Si {  n } est une suite dans M ( R 2 ), on dit que  n converge faiblement vers  ∈ M ( R 2 ) si h  n  i → h  i lorsque n → ∞ pour tout  C 0 ( R 2 ). On note alors  n *  . Notre point de depart est le resultat suivant,quiarmequeleproblemedeCauchypourlequation(2)estglobalementbien pose dans l’espace M ( R 2 ). Theoreme 1 [14] Pour toute donnee initiale  ∈ M ( R 2 ) ,lequation(2)possedeune solution globale unique ω C 0 (]0 [ L 1 ( R 2 ) L ( R 2 )) (4) telle que k ω (  t ) k L 1  k  k vt pour tout t > 0 , et ω (  t ) *  lorsque t 0+ . Danscetenonce,onentendparsolutionde(2)unesolutiondelequationintegrale associee ω ( t ) = e  t    Z 0 t div e  ( t  s ) u ( s ) ω ( s ) d s  t > 0 (5) ou e t  designelesemi-groupedelachaleur.Ilestfaciledemontrerque,si  ∈ M ( R 2 ) et si ω veri e(4),alorslesdeuxmembresde(5)sontbiende nisetcontinusentempsa valeurs dans L 1 ( R 2 ). On peut toutefois se demander si l’unicite reste vraie si l’on suppose seulement que ω C 0 (]0 [ L 1 ( R 2 )), au lieu de (4). Dans ce cas, on ne peut plus se baser surlequationintegrale(5),maisonaencorelapossibilitedutiliserlaformulationfaible delequation(2).Luniciterestetoutefoisunequestionouverteaceniveaudegeneralite. L’ existence d’une solution globale de l’equation (2) pour toute donnee initiale dans M ( R 2 ) a ete etablie il y a plus de vingt ans par G.-H. Cottet [9], et independamment par Y.Giga,T.MiyakawaetH.Osada[20].Onpeutaussimentionnerletravailposterieur deT.Kato[25].Outrelexistence,cesauteursontmontrequelasolutionestuniquesi lapartieatomiquedelamesureinitialeestsusammentpetitedevantlaviscosite.Le casdunemassedeDiracdetaillequelconqueaetetraiteplusrecemment[18,15],dans le cadre d’une etude du comportement asymptotique en temps des solutions regulieres de(2).En n,lunicite dans le cas general a ete etablie en isolant les grandes masses de Diracdeladonneeinitialeetcombinantlesapprochesprecedentes[16,14].Mentionnons aupassagequelasolutionde(2)dependcontinˆumentdelamesureinitiale  dans la topologie forte de M ( R 2 ),uniformementsurtoutintervalledetemps[0 T ]. En outre, si {  n } estunesuitededonneesinitialesconvergeantfaiblementvers  etuniformement localiseedanslesenssuivant: lim s n u p N |  n | { x R 2 | | x | > R } = 0 R →∞ alors la solution ω n ( t ) issue de  n converge fortement vers ω ( t ) dans L 1 ( R 2 ) lorsque n → ∞ ,uniformementsurtoutintervalledetemps[ T 1 T 2 ]  ]0 [. Lorsque la donnee initiale  =  0 estunesimplemassedeDirac,placeeicialorigine des coordonnees, l’equation (2) developpe une solution autosimilaire appelee tourbillon d’Oseen etdonneeparlesformulesexplicites: ω ( xt ) =  tG xt  u ( xt ) = tv G xt (6) 2
ou | 2 / 4 G (  )=41 e |  | 2 / 4  v G (  ) = 2  1 |  | 2 1  e |    R 2 . (7)  Le parametre R 2 est appele le nombre de Reynolds de circulation . Les expressions (6), (7) montrent que estegalalintegraledutourbillon ω ( xt ) sur tout le plan R 2 , quantitequelonsaitconserveeaucoursdelevolution.LestourbillonsdOseensontles seulessolutionsautosimilairesdelequationdeNavier-Stokesdans R 2 dont le tourbillon soitintegrable[18].Ellesjouentunrˆoleprivilegiedansladynamiquedelequation(2), aussibienpourlestempscourts(lorsqueladonneeinitialecontientdesmassesdeDirac) que dans la limite des grands temps. On sait en particulier [18] que toute solution ω ( xt ) de(2)donneeparletheoreme1veri e t li + m ω (  t )   tG   t L 1 = 0 ou =  ( R 2 ) . Le theoreme 1 etablit l’existence d’une solution globale unique de l’equation (2) pour toutemesureinitialeettoutevaleurduparametredeviscosite.Ilesttresnatureldese demander ce que deviennent ces solutions dans la limite non visqueuse, car c’est dans ce regime que les structures presentes dans les donnees initiales (tourbillons ponctuels, nappesoupochesdetourbillon)subsistentsusammentlongtempspourˆetreobservees et pour in uencer la dynamique du systeme. Dans toute sa generalite, cette question estcertainementfortdelicate,carlalimiteformelledusysteme(2)lorsque  0 est lequationdEuler ωt + ( u  r ) ω = 0 (8) quelonnesaitpasresoudreacejourdansunespaceaussigrandque M ( R 2 ). On sait “seulement” que l’equation (8) possede une solution faible globale pour des donnees initiales  ∈ M ( R 2 ) H  1 ( R 2 )dontlapartiesinguliereestunemesuredesignebien de ni[12,28].Notonsquelhypothese  H  1 ( R 2 ) exclut en particulier toute masse de Dirac.Silonsouhaiteenoutregarantirlunicitedelasolution,commedansletheoreme1, on doit supposer que la donnee initiale est une fonction bornee [44] ou presque bornee [45, 43]. Dunpointdevueplusgeneral,laconvergencedessolutionsdelequationdeNavier-StokesverscellesdelequationdEulerlorsquelaviscositetendverszeroestrelativement facile a etablir si l’on se restreint aux solutions regulieres et si l’on travaille dans un domaine sans bord [13, 40, 24, 2]. En revanche, dans le cas d’un domaine a bord, si lonimposeauxsolutionsdelequationdeNavier-Stokeslaconditionclassiquedenon-glissement, l’apparition de couches limites dePrandtldansunvoisinagedelafrontiere constitue un obstacle redoutable, que l’on ne sait eviter qu’en se restreignant a des donnees analytiquesetbienpreparees[38,21].Meˆmeenlabsencedebords,lalimitenonvisqueuse peut presenter des dicult es considerables si l’on s’interesse a des solutions peu regulieres. On peut citer, dans un ordre decroissant de regularite : 1. Les poches de tourbillon , dont l’exemple le plus simple en dimension deux est celui ou le tourbillonestunmultipledelafonctionindicatricedundomaineborneregulier.Lechamp devitesseestalorslipschitzien,oupresquelipschitziensileborddelapochepresente
3